模n的剩余类环的子环

模n的剩余类环的子环

模n 的剩余类环的子环

作者：*** 指导老师：***

摘要：模n 剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证，剩余类环对Euler 函数关系式、Eis emstein 判别法、整数多项式无整数根、Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.

关键字：模n 剩余类环的子环 幂等元 理想

1 引言

环是有两个二元运算建立在群的基础上的

一个代数系统，因此它的许多基本概念与理论是群的相应内容的推广，同时环也有一些特殊的问题，例如因子分解问题等.

2 模n 的剩余类环的子环的性质和运用

2.1 基本概念 定义 2.1.1 任取正整数n , 令}1,,2,1,0{-=n Z

n 则n Z 为n 个剩余类的集合，对任意n Z j i ∈,，规定j i j i +=+，ij j i =⋅，则n

Z 关于这两个运算做成一个环, 且是一个具有单位元的交换环, 称之为以n 为模的剩 余类环, 或简称模n 剩余类环.

定义2.1.2 对任意n

Z i ∈, 若类i 中有一个整

数与n 互素, 则这个类中所有整数均同n 互素, 因此称类i 与n 互素.

定义2.1.3 称环n

Z 的一个非空子集A 叫做n Z 的一个理想子环, 假如:

(i)A a ∈][,A b a A b ∈-⇒∈][][

(ii)A a ∈][,A a b b a A b ∈⇒∈]][[],][[][ 在代数运算中, 我们都知道若0=a ,0=b , 则必有0=ab , 相反若0=ab , 则必有0=a 或0=b 成立, 而在环中是否还存在这样的运算性质呢?我们有 ：

定义 2.1.4 模n 剩余环n

Z 中, 如果任意元0][≠a ,0][≠b , 但0][=ab , 那么称][a 为n

Z 的一个左零因子,][b 为n Z 的一个右零因子, 若n Z 的左零因子

与右零因子都为][a ,称][a 为n

Z 的零因子. 定义 2.1.5 一个环⋅〉+〈,,n

Z 中若有元素e 使得n

Z a ∈∀][, 有][]][[]][[a e a a e ==, 那么称元素][e 叫做环

⋅〉+〈,,n Z 的单位元，记作1. 定义 2.1.6 在环⋅〉+〈,,n Z 中, 如果n

Z a ∈∀][, 满足: 任意n Z b ∈∀][, 有1]][[]][[==a b b a , 则称][a 是n Z

中的逆元，且][a 与][b 互逆.

定义 2.1.7 设R 为任意一个环,而I 是R 的理想.那么I R /称作R 关于理想的剩余类环(也叫商环或差环),其中I R /中, 每个元素叫作模I 的剩余类.

定义 2.1.8 模n 剩余环n

Z 的乘法群G (当n 为素数,n

Z 中的所有非零元作成乘法群, 当n 为合数,n

Z 中的所有可逆元作成乘法群)中, 适合a a =2的元素 a 称为环n

Z 的一个幂等元. 定义 2.1.9 设n Z b a ∈,,若存在n

Z q ∈使得q a b =, 则称a 整除b ,记为|a b --

,称a 为b 的因数,而称b 为a 的倍数. 否则,称a 不整除b .

2.2 剩余类环n Z 的基本性质

定理 2.2.1 在模 n 剩余环n

Z 中,若][][b a =,则有),2,1,1( --=+=k nk b a .

定理2.2.2在n

Z 中,每个元素的n 倍均为零.即]0[][][][][][==++=na a a a a n .

定理 2.2.3 设n

Z b a ∈,, 则|a b 的充要条件为(,)|a n b .

2.3 剩余类环n Z 的一般性质

利用已有的定义和基本性质,可以得出模n 剩余

环n

Z 的更一般的一些性质. ① 模n 剩余环n

Z 是交换环. ② 在模n 剩余环n

Z 中,所有左右零因子都是其零因子.

③ 模n 剩余环n

Z 是无零因子环的充分必要条件是n 为素数.

④ 设⋅〉+〈,,n Z

为无零因子环(n Z 模大于1),那么加群⋅〉+〈,,n Z 中每一个非零元素的阶必相同.

⑤ 模n 剩余环n Z 为整环的充分必要条件是n

为素数.

⑥ 对于p Z , (1)p

Z 是特征为p 的有单位元的可换环;

(2) 环p

Z 是域⇔p 为素数. ⑦ 模n 剩余类环n

Z 的所有子群(对加法)是循环子群. 例：设n

Z s ∈,若1),(=n s ,t s =,则1),(=n t . 证明: 因为t s = ,故)(|t s n -,从而有整数k 使 nk t s =- ,nk t s +=

如果1),(>=d n t ,则由上式可知,d 是s 与n 的一个

公因数,这与1),(=n s 矛盾.因此 1),(=n t .

2.4

群与其子群有相同的单位元，环与其子环有相同的零元，但子环不一定有单位元. 例如}6,4,2,0{1=S

是8Z 的子环，1S 无单位元，而且子环即使有单位元，单位元也不一定与环的单位元相同，}30{1，=S 与}4,2,0{2=S 都是6Z 的子环，但1S 的单位元是3，2S 的单位元是4，它们都与6S 的单位元1不同.

2.5

p 是素数的充要条件是模p 的剩余类环Z 是域.它的每个非零元都是可逆元，全体非零元关于环的乘法组成一个1-P 阶的群.由域是整环以及)/(n Z Z n =易证：当p 是素数时，（p ）是整数环的素理想，也是整数环Z 的极大理想，事实上，有Z 是含幺交换环，Z 的理想（p )是素理想⇔)/(p Z 是整环⇔p 是素数，由Z 是含幺交换环，Z 的理想（p )是极大理想⇔)/(p Z 是域⇔p 为素数.

另外，由域P Z 的特征数是素数p 且P

Z 是一个素数.任意一个素域F 的特征数或者为0或者为素数p ，当为0时，Q F ≅，当为素数p 时，Z F ≅.