图的矩阵表示(1)

定理 设D = (V, E)为有向图, V={v1,v2,⋯,vn}, A是D的 邻接矩阵，则A的m次幂中的(i, j)元素等于从顶点 vi到vj的长度为m的途径数。
定义10.7.4 设D = (V, E)为有向图, V={v1,v2,⋯,vn},
1 从vi到vj可达 pij 0 从vi到vj不可达
则称n阶(0,1)-矩阵P =(pij)为D的可达矩阵，记作 P(D)。 在有向图D中，若有从u到 v的途径，则必有从u到 v的路，而D中任意一条路P的长度l(P) ≤ n-1， 故B = A +A2+ ⋯ + An-1的(i, j)元素表示从顶点vi到vj 的长度不大于n-1的途径数。 ∴ P(D) = E ∨ B
e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 1 0 0 1 M ( D ) v2 1 1 0 0 0 0 v 3 0 0 0 1 1 1 v 4 0 0 1 1 1 0
e1
v1
e2 v2
e6
v3
e
5
e3
e
4
v4
图D
设D = (V, E)为有向图, V={v1,v2,⋯,vn}, aij=从vi到vj 的弧数，则称n阶方阵A(D)=(aij)为D的邻接矩阵。 特别地，当D没有多重弧时，A(D)是一个(0,1)-矩 阵。
图的矩阵表示
定义 设G = (V, E)为无环图, V={v1,v2,⋯,vn}, E={e1,e2,⋯,em}, 则(0,1)-矩阵M(G)=(mij)称为G的关 联矩阵，其中 1 vi与ej关联
mij 0 vi与ej不关联
在图中图G的关联矩阵为
e1 v1 M (G ) v2 v3 v4 v5 1 1 0 0 0 e2 e3 e4 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
v1 e1 v2 e3 e2
e4 v3
v5 v4
无向图的关联矩阵有下列性质： （1）M(G)中每列恰有两个1，即每条边与两个顶点 关联； （2）每一行元素之和等于对应顶点的度数； （3）M(G)中元素之和等于G中顶点的度数总和； （4）多重边对应的列相同； （5）若G有w个连通分支G1, G2,⋯,Gw, 则有准分块 对角阵
M (G1 ) M (G2 ) M (G ) M (Gω )
设D = (V, E)为无环有向图, V={v1,v2,⋯,vn}, E={e1,e2,⋯,em}, 则(0,-1,1)-矩阵M(D)=(mij)称为D 的关联矩阵，其中
1 vi 是e j的始点； mij 0 vi 是e j的不关联； 1 vi 是e j的终点。
v1 v2 v1 A( D) v2 v3 v4 0 0 0 0 v3 v4 2 0 1 0 0 1 。 0 0 1 0 1 1
v1
v3
v2 图10.7.3
v4
有向图D的邻接矩阵有下列性质。 （1）每一行元素之和为对应顶点的出度； （2）每一列元素之和为对应顶点的入度； （3）A(D)中所有元素之和为D中长度为1的途径数
图中wenku.baidu.com有向图D的邻接矩阵
0 0 A 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 , A 0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 3 0 0 1 0 0 3 , A 0 0 1 0 0 2 3 1 1 2 4 2 。 2 3
0 0 2 3 B A A A 0 0
2 0 0 0
2 2 2 4
8 4 , 4 6
1 0 ∴P 0 0
1 1 0 0
1 1 1 1
1 1 。 1 1