数列复习知识点总结

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数列复习知识点总结 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

数列

一、知识梳理

1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.

2.通项公式:如果数列

{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即)(n f a n =.

3.递推公式:如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项),且任何一项n a 与它的前一项1-n a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ,那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中,12,11+==n n a a a ,其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.

4.数列的前n 项和与通项的公式

①n n a a a S +++= 21; ②⎩⎨⎧≥-==-)

2()

1(11n S S n S a n n n .

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.

③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使

+∈≤N n M a n ,.

⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得

M a n >.

等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式d n a a n

)1(1-+=,1a 为首项,d 为公差.

⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=

或d n n na S n )1(2

1

1-+=.

3.等差中项

如果b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.

即:A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ,A ,b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法 ⑴定义法:d a a n n =-+1

(+∈N n ,d 是常数)⇔{}n a 是等差数列; ⑵中项法:212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.

5.等差数列的常用性质

⑴数列

{}n a 是等差数列,则数列{}p a n +、{}n pa (p 是常数)都是等差数列;

⑵在等差数列{}n a 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列,公差为kd .

⑶d m n a a m n

)(-+=;b an a n +=(a ,b 是常数);bn an S n +=2(a ,b 是常数,0≠a )

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n

m ,则q p n m a a a a +=+;

⑸若等差数列

{}n a 的前n 项和n S ,则⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 是等差数列;

⑹当项数为)(2+∈N n n ,则n

n a a S S nd S S 1

,

+==-奇偶奇偶;

当项数为)(12+∈-N n n ,则n n S S a S S n 1

,-=

=-奇偶偶奇. 等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ,这个数列叫做等比数

列,常数q 称为等比数列的公比.

2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式:1

1-=n n q a a ,1a 为首项,q 为公比 .

⑵前n 项和公式:①当1=q

时,1na S n =

②当1≠q 时,q

q

a a q q a S n n n --=--=11)1(11.

3.等比中项

如果b G a ,,成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即:G 是a 与b 的等差中项⇔a ,

A ,b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

q a a n

n =+1

(+∈N n ,0≠q 是常数)⇔{}n a 是等比数列; ⑵中项法:22

1++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.

5.等比数列的常用性质

⑴数列

{}n a 是等比数列,则数列{}n pa 、{}n pa (0≠q 是常数)都是等比数列;

⑵在等比数列{}n a 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列,公比为k

q .

⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n

m ,则q p n m a a a a ⋅=⋅;

⑸若等比数列

{}n a 的前n 项和n S ,则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.

二、典型例题

A 、求值类的计算题(多关于等差等比数列)

1)根据基本量求解(方程的思想)

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,63,6,994=-==n S a a ,求n ;

2、{}n a 中,410a =且3610a a a ,,成比数列,求数列{}n a 前20项的和20S .

3、设{}n a 是公比为正数的等比数列,若16,151==a a ,求数列{}n a 前7项的和.

4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.

2)根据数列的性质求解(整体思想)

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ;

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{bn}的前n 项和,3

2

7++=n n T S n n ,则=55b a .

3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5

935,95

S S a a 则( )

4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n

T n =+,则n n

a b =( )

5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(,m n n S m S m n ≠==,则=+n m S .

6、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。

7、已知数列{}n a 是等差数列,若 471017a a a ++=,45612131477a a a a a a +++

+++=且13k a =,

则k =_________。

8、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=n S ,602=n S ,则=n S 3 .

9、在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为( )

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