数列复习知识点总结

数列复习知识点总结 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
数列
一、知识梳理
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列
{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.
3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.
4.数列的前n 项和与通项的公式
①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)
2()
1(11n S S n S a n n n .
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.
③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使
+∈≤N n M a n ,.
⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得
M a n >.
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式
⑴通项公式d n a a n
)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.
⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=
或d n n na S n )1(2
1
1-+=.
3.等差中项
如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.
即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.
4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1
（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列
{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .
⑶d m n a a m n
)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )
⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n
m ，则q p n m a a a a +=+；
⑸若等差数列
{}n a 的前n 项和n S ，则⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列；
⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n
n a a S S nd S S 1
,
+==-奇偶奇偶；
当项数为)(12+∈-N n n ，则n n S S a S S n 1
,-=
=-奇偶偶奇. 等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数
列，常数q 称为等比数列的公比.
2.通项公式与前n 项和公式
⑴通项公式：1
1-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .
⑵前n 项和公式：①当1=q
时，1na S n =
②当1≠q 时，q
q
a a q q a S n n n --=--=11)1(11.
3.等比中项
如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，
A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.
4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：
q a a n
n =+1
（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：22
1++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列
{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k
q .
⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n
⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n
m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；
⑸若等比数列
{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.
二、典型例题
A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；
2、{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{bn}的前n 项和，3
2
7++=n n T S n n ，则=55b a .
3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5
935,95
S S a a 则（ ）
4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n
T n =+,则n n
a b =（ ）
5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .
6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

7、已知数列{}n a 是等差数列，若 471017a a a ++=,45612131477a a a a a a +++
+++=且13k a =,
则k =_________。

8、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .
9、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）
10、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += . 11、已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a
12、等差数列{}n a 中，已知84816
1
,.3S S S S =求
B 、求数列通项公式
1） 给出前几项，求通项公式
1,0,1,0,…… ,,21,15,10,6,3,1
3，-33,333，-3333,33333……
2）给出前n 项和求通项公式 1、⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2*12333()3
n n
a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式
3）给出递推公式求通项公式
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
例：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；
b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法.1
1
22332211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----
例、已知数列{}n a 满足：
111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；
c 、构造新数列
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除1n p +或待定系数法求解
例、n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.
3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，利用待定系数法求解 例、已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.
4°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.
例2、数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ，求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系
例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n n n S b 3-=， 求数列{}n b 的通项公式．
例2、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212
≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=n S a S n n n
. ⑴求{}n a 的通项；
⑵设1
2+=n S b n
n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
C 、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=
N n n
S b n
n .求证：数列{}n b 是等差数列. 例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2
1.求证：{n
S 1
}是等差数列；
2）证明数列等比
例1、设{a n }是等差数列，b n ＝n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21，求证：数列{b n }是等比数列；
例2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=-
⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式 例3、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ ⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.
D 、求数列的前n 项和
基本方法： 1）公式法， 2）拆解求和法.
例1、求数列n {223}n +-的前n 项和n S .
例2、求数列 ，，，，，)2
1
(813412211n n +的前n 项和n S .
例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n （n+3）
2）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1
； 例1、求和：S =1+n +++++
+++++ 3211
3211211 例2、求和：n
n +++++++++11
341231121 . 3）倒序相加法，
例、设2
2
1)(x x x f +=，求： ⑴)4()3()2()()()(21
3141f f f f f f +++++；
⑵).2010()2009()2()()()()(21
312009120101f f f f f f f ++++++++
4）错位相减法，
例、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .
5）对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2
，求数列{|a n |}的前n 项和T n .
E 、数列单调性最值问题
例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n . 例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；
例3、数列{}n a 中，12832+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值. 例4、数列{}n a 中，22+-=n n a n ，求数列{}n a 的最大项和最小项. 例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围． 例6、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.
例7、非等比数列{}n a 中，前n 项和21(1)4
n n S a =--， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
(3)
n n b n a =
-(*)n N ∈，12n n T b b b =++
+，是否存在最大的整数m ，使得对任意的n 均有
32
n m
T >
总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由。