高考三角函数与解斜三角形知识点总结复习

三角函数与解三角形知识点总结
一、三角函数的基本概念
1.角的概念的推广：
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个 角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2.象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 任何象限。

3. 终边相同的角的表示：
（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔，
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔. （3）α终边在x 轴上的角可表示为： （4）α终边在y 轴上的角可表示为：
（5）α终边在坐标轴上的角可表示为：
4.α与2
α的终边关系：
由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则
2
α
是第_____象限角
5.弧长公式：=l ，扇形面积公式：=s .例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，则扇形的面积为____。

6.任意角的三角函数的定义：
设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原
点的距离是0r =>，那么=αsin ，=αcos ，
=αtan ， (0)y ≠。

注：三角函数值与角的大小 关，与终边上点P 的位置 关。

例如：已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，
且sin 5
θ=-
，则y = 基本知识方法
1.各象限角的三角函数值符号规律 ：正弦……上为正，下为负，横为零
余弦……右为正，左为负，纵为零 正切……一三为正，二四为负，横为零，纵不存在
2.要正确利用三角函数线解答“三角函数值的大小比较”和“解简单三角不等
式”
二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： （2）倒数关系： （3）商数关系：
例如：(1)已知11tan tan -=-αα，则α
αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2
++ααα＝
_________。

(2)
已知sin cos αα-()0,απ∈，则tan α=
.A 1- .
B .
C
.D 1 2.三角函数诱导公式（2
k
πα+）的本质是：奇 偶 （对k 而言，指k 取奇
数或偶数），符号 （看原函数，同时可把α看成是锐角）.
诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：
例如：
()()()()3tan cos 2sin 2cos sin ππαπαααππα⎛
⎫---+
⎪
⎝⎭----=
基本知识方法：
1.利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；
2.诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内角的三角函数值，其
解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，运用时应充分注意符号；
3.利用商数关系、倒数关系能够完成切割化弦；
4.涉及sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采
用“1”代换法求解；
5.涉及sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅的问题常采用平方法求解；
三、三角函数图像及性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：___________________.
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：__________________. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
1.例如：（1）函数522y s i n x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的奇偶性是______。

（2）函数
)c o s (s i n c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、
____________。

（3）函数2
5f (x )sin x cos x cos x =-x R )∈的单调递增区间为___________。

3.用五点法画sin()y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：
即五点的横坐标总由ϕω+x ＝ππ22
20、
、、、来确定. 4.函数sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤：
由于x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y 的图象主要有下列两种方法: ①x y sin =（相位变换）→ (周期变换) → (振幅变换)→ ；
②x y sin =(周期变换)→ （相位变换）→ (振幅变换)→ .
例如：（1）
将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，
所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） .
A 12
π
.
B 6
π
.
C 3
π
.
D 56
π
（2）为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所
有的点 。

5.当函数sin()y A x ωϕ=+(0,0A ω>>，x ∈[)0,+∞表示一个振动时，A 叫做振
幅，2T π
ω
=
叫做周期，1
f T
=
叫做频率，x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．
例如：已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动
的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ）
.A 6T =，π6ϕ=
；.B 6T =，π3ϕ=；.C 6πT =，π6ϕ=；.D 6πT =，π
3
ϕ= 基本知识方法 1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，五个特殊点通
常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
2.给出图象求sin()y A x B ωϕ=++的解析式的难点在于,ωϕ的确定，本质为待定
系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω；③“对应点法”．
3.对称性:()1函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2
x k π
ωϕπ+=+
()k Z ∈解出；对称
中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k Z ∈的解，对称中心的纵坐标为0.( 即整体代换法)
()2函数()cos y A x ωϕ=+对称轴可由x k ωϕπ+=()k Z ∈解出；对称中心的纵坐
标是方程2
x k π
ωϕπ+=+()k Z ∈的解，对称中心的横坐标为0.( 即整体代换
法)正、余弦函数在对称轴处（最值处）的导数值为零.
()3函数()tan y A x ωϕ=+对称中心的横坐标可由2
k x ωϕπ+=()k Z ∈解出，
对称中心的纵坐标为0，函数()tan y x ωϕ=+不具有轴对称性.
4.0A >时，()sin y A x ωϕ=+，当22
x k π
ωϕπ+=+
()k Z ∈时，有最大值A ， 当22
x k πωϕπ+=-()k Z ∈时,有最小值A -；0A >时，与上述情况相反. 5.求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求
sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；
6.三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x ωϕ=+（其中()f x 为三角函数，0ω>）．
7.sin()y A x ωϕ=+为奇函数k ϕπ⇔=；函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数2
k π
ϕπ⇔=+
cos()y A x ωϕ=+为偶函数k ϕπ⇔=；函数c o s ()y A x ωϕ=+为奇函数2
k π
ϕπ⇔=+
8.函数s i n (y A x ωϕ=+(0,A ω>
>的单调增区间可由
222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+解出，单调减区间可由3222
2
k x k π
ππωϕπ+
≤+≤+
解出； 函数c o s (y A x ωϕ=+(0,0
A ω<>的单调增区间可由22k x k ππωϕππ-≤+≤+解出，单调减区间可由22k x k πωϕππ≤+≤+解出. 四、两角和与差、二倍角的三角函数
1.sin()αβ±= ；cos()αβ±= ；
tan()αβ±= 例如：
（1）已知2tan()5αβ+=，1
tan()44
πβ-=，那么t an ()4π
α
+的值是_____。

（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，
3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______。

2.“化一公式”：sin cos a b αα+= （其中 ）.
2.例如：（1）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=_____。

（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______。

3.二倍角公式：cos 2α= = =
sin 2α= ， tan 2α=
4.降次公式：2cos α= ，2sin α=
基本知识方法
1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确
运用公式；
2.三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、
幂的变换等方面；
3.掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等；
4.应注意的几点:()1熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.
()2注意拆角、凑角技巧，如()ααββ=+-，()()2ααβαβ=++-等.
()3注意倍角的相对性，如3α是2
3α
的倍角. ()4要时时注意角的范围的讨论. 5.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子的结构
与特征.
6.解决给角求值问题的基本思路：()1化为特殊角的三角函数值；()2化为正负相消的项，消去求值；()3化分子、分母出现公约数进行约分求值.
7.求角问题，先求此角的某个三角函数值，然后根据角的范围求出角.应根据条
件选择恰当的函数.()1已知正切函数值，选正切函数；()2已知正、余弦函数值，
选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，
选余弦函数；若角的范围是,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，选正弦较好.
五、正弦定理、余弦定理及其应用 1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ．其中R 是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式：
①a ＝2R sin A ，b ＝____________，c ＝____________；
②sin A ＝a
2R ，sin B ＝ ，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________. 2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝________，b 2＝________，
c 2＝________.若令C ＝90°，则c 2＝________，即为勾股定理．
(2)余弦定理的变形：cos A ＝________，cos B ＝________，cos C ＝________. 若C 为锐角，则cos C >0，即a 2＋b 2______c 2；若C 为钝角，则cos C <0，即a 2＋b 2______c 2.故由a 2＋b 2与c 2值的大小比较，可以判断C 为锐角、钝角或直角．
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，类似地，sin 2B ＝_______________；sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件A ＋B ＋C ＝π. 3．解三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有________________________．如在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如表：
(3)(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．
4．三角形中的常用公式及变式
(1)三角形面积公式S △＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．
(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝__________，A
2＝__________，从而sin A ＝
____________，cos A ＝____________，tan A ＝____________；sin A
2＝__________，cos A 2＝__________，tan A
2＝__________.tan A ＋tan B ＋tan C ＝____________. 5.解三角形在实际问题中的应用
南偏西n °
i ，则i ＝h
例如：（1）设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若
2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C = .
A 3π
.
B 23π.
C 34π.
D 56
π
（2）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边， 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC △的形状为 （ ） .A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 不确定
（3）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边．若π2,4a C ==
，5
5
22cos =B ，则ABC △的面积S =__________.。