7 边界条件——工程热力学课件PPT
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Φ(x, y) Φ(r,θ) 直角坐标方程 圆柱坐标方程
(u) (rv) (w)
x
rr
r
x
x
u''
rr
r(
r
v' ')
r
r
w''
S
坐标变换
r
Physical space
(x, y) (r,θ)
θ putational space
复杂形状-贴体坐标
y
η
y=f(x)
x
ζ
Φ(x, y) Φ(ζ, η)
ζ=x η=y / y max
曲线坐标体系下的控制方程
存在一般变换:
(x, y) ( ,) x x( ,), y y( ,) (x, y), (x, y)
则控制方程 F ( , ) x
x x x
J x y x y
固体边界
➢平行于壁面的速度分量，例如u，其壁面值取0， 湍流粘性系数采用壁面函数处理（在壁面附近，速 度分布已知，采用对数分布）
➢与壁面垂直的速度分量，例如v，取v＝0，对于动 量方程则采用v的法向梯度为0
➢对于k，采用k的法向梯度为0
➢对于ε，采用混合长理论处理
➢对于温度，要考虑与壁面的热量交换（第二、三 类边界，一般采用附加源项法）
y / J x
x / J
y
y / J
x
x / J y
微分方程法
从物理空间到变换空间的变换不是唯一的
ζ=x η=y / y max
ζ=x+1 η=y / y max
ζ=x η=y / y max *C1 +C2
采用偏微分方程也可以定义变换关系
Laplace 方程最为简单:
2(x, y) 0
x2 y2 x x y y x2 y2
Poisson 方程
2 (x, y) P( ,) 2(x, y) Q( ,)
通过源项控制网格的分布
结构化网格
Pro: Structured solvers are very efficient.
Pro: Good control over hex cell quality including stretching.
)
p xi
x j
(
u j xi
)
(1)
方程是非线性的，比如对流项有三个应变量，是三次项。
非线性方程需要用迭代方法求解。
各方程之间是互相耦合的。求解时，需对所有方程进行联 立求解。
形式相同，故可用通用程序求解
二、积分区域的离散化
积分区域的离散化
积分区域的离散化，把参数连续变化的流场用有限个点来 代替
➢组分给定
对称边界
➢对于所有的变量，在对称边界上取一阶导数为0
出口边界
➢有回流的化学反应流体系的控制方程是关于空间 坐标的椭圆型方程，数学上要求每个坐标方向上都 有2个边界条件 ➢流场在理论上是无限延伸的，实际计算时计算区 域仅仅取某一有限处 ➢如果有实验测量结果，可以直接给。但是出口边 界在大多数情况下是未知的。
aE De A(| P |) [[Ce ,0]]
局部单向化假设 假定出口无回流（没有从下游向上游的对流），且 忽略扩散
对P点控制容积，取aE＝0。
➢充分发展假设 假定出口流动已经充分发展，则在出口界面上，变 量的梯度为0，类似与对称边界。
0
n
➢对流边界条件（无反射边界） 出口界面上控制单元的法向速度和标量采用仅仅保 留对流项和时间项的守恒关系
()
div(u)
div(
grad)
S
定解条件包括初始条件和边界条件
初始条件的给定不存在特殊的困难,边界条件的处理则各有不同 的情况
进口边界 进口边界上被求量的值要给定 速度、温度、浓度给定值 K和ε通过经验公式给
k
(0.5
~
1.5%)
1 2
um2
k 1.5(um2Ti )2
c3/ 4
k 3/ 2 0.07l
y
2(x ,y ) xx yy 0 2(x ,y ) xx yy 0
可以建立离散的映射关系
x
(xi , yi ) ( i ,i )
求解 Laplace 方程.
y
η
1
x
0
1ζ
把 Laplace 变换到 (ζ, η) 空间
x 2x x 0
2 (x, y) 0
y 2y y 0 where :
Pro: Methods are mature.
Con: Structured grids take a long time to generate because of topology.
非结构化网格
混合网格
边界条件：
进口边界 固体边界 出口边界 对称边界
对于控制方程：
t
基本方程组的数值求解
一、引言
控制层流和湍流燃烧的微分方程组的几个特点： 方程很复杂，无法得到分析解，需要数值求解。 各个方程的结构相似，都包含时间导数项、对流项、扩散
项和源项几部分。因此，各个方程可以用相同的方法求解。 其中动量方程可写成
t
( ui
)
x
j
(u jui )
x j
(
ui x j
c 0
t x
C一般取通道平均流速 相当于假设出口边界上为无扩散的纯对流问题 可以允许出口界面上回流的存在（一般在大涡模拟 中采用）
交线的交点称为网格的结点 两相邻结点之间的距离称为网格步长 时间坐标上定出有限个离散点，相邻两离散点间的距离为
时间步长
X3 X2
P
X1
图1 网格结点的符号
简单规则区域的正交离散
y
y
y
x
x
x
பைடு நூலகம்
y
y
➢区域离散要保证 离散边界和物理边 界相似,这样边界条 件可以精确
x
x
坐标变换 –圆柱坐标
y
x
(u) (rv) (w)
x
rr
r
x
x
u''
rr
r(
r
v' ')
r
r
w''
S
坐标变换
r
Physical space
(x, y) (r,θ)
θ putational space
复杂形状-贴体坐标
y
η
y=f(x)
x
ζ
Φ(x, y) Φ(ζ, η)
ζ=x η=y / y max
曲线坐标体系下的控制方程
存在一般变换:
(x, y) ( ,) x x( ,), y y( ,) (x, y), (x, y)
则控制方程 F ( , ) x
x x x
J x y x y
固体边界
➢平行于壁面的速度分量，例如u，其壁面值取0， 湍流粘性系数采用壁面函数处理（在壁面附近，速 度分布已知，采用对数分布）
➢与壁面垂直的速度分量，例如v，取v＝0，对于动 量方程则采用v的法向梯度为0
➢对于k，采用k的法向梯度为0
➢对于ε，采用混合长理论处理
➢对于温度，要考虑与壁面的热量交换（第二、三 类边界，一般采用附加源项法）
y / J x
x / J
y
y / J
x
x / J y
微分方程法
从物理空间到变换空间的变换不是唯一的
ζ=x η=y / y max
ζ=x+1 η=y / y max
ζ=x η=y / y max *C1 +C2
采用偏微分方程也可以定义变换关系
Laplace 方程最为简单:
2(x, y) 0
x2 y2 x x y y x2 y2
Poisson 方程
2 (x, y) P( ,) 2(x, y) Q( ,)
通过源项控制网格的分布
结构化网格
Pro: Structured solvers are very efficient.
Pro: Good control over hex cell quality including stretching.
)
p xi
x j
(
u j xi
)
(1)
方程是非线性的，比如对流项有三个应变量，是三次项。
非线性方程需要用迭代方法求解。
各方程之间是互相耦合的。求解时，需对所有方程进行联 立求解。
形式相同，故可用通用程序求解
二、积分区域的离散化
积分区域的离散化
积分区域的离散化，把参数连续变化的流场用有限个点来 代替
➢组分给定
对称边界
➢对于所有的变量，在对称边界上取一阶导数为0
出口边界
➢有回流的化学反应流体系的控制方程是关于空间 坐标的椭圆型方程，数学上要求每个坐标方向上都 有2个边界条件 ➢流场在理论上是无限延伸的，实际计算时计算区 域仅仅取某一有限处 ➢如果有实验测量结果，可以直接给。但是出口边 界在大多数情况下是未知的。
aE De A(| P |) [[Ce ,0]]
局部单向化假设 假定出口无回流（没有从下游向上游的对流），且 忽略扩散
对P点控制容积，取aE＝0。
➢充分发展假设 假定出口流动已经充分发展，则在出口界面上，变 量的梯度为0，类似与对称边界。
0
n
➢对流边界条件（无反射边界） 出口界面上控制单元的法向速度和标量采用仅仅保 留对流项和时间项的守恒关系
()
div(u)
div(
grad)
S
定解条件包括初始条件和边界条件
初始条件的给定不存在特殊的困难,边界条件的处理则各有不同 的情况
进口边界 进口边界上被求量的值要给定 速度、温度、浓度给定值 K和ε通过经验公式给
k
(0.5
~
1.5%)
1 2
um2
k 1.5(um2Ti )2
c3/ 4
k 3/ 2 0.07l
y
2(x ,y ) xx yy 0 2(x ,y ) xx yy 0
可以建立离散的映射关系
x
(xi , yi ) ( i ,i )
求解 Laplace 方程.
y
η
1
x
0
1ζ
把 Laplace 变换到 (ζ, η) 空间
x 2x x 0
2 (x, y) 0
y 2y y 0 where :
Pro: Methods are mature.
Con: Structured grids take a long time to generate because of topology.
非结构化网格
混合网格
边界条件：
进口边界 固体边界 出口边界 对称边界
对于控制方程：
t
基本方程组的数值求解
一、引言
控制层流和湍流燃烧的微分方程组的几个特点： 方程很复杂，无法得到分析解，需要数值求解。 各个方程的结构相似，都包含时间导数项、对流项、扩散
项和源项几部分。因此，各个方程可以用相同的方法求解。 其中动量方程可写成
t
( ui
)
x
j
(u jui )
x j
(
ui x j
c 0
t x
C一般取通道平均流速 相当于假设出口边界上为无扩散的纯对流问题 可以允许出口界面上回流的存在（一般在大涡模拟 中采用）
交线的交点称为网格的结点 两相邻结点之间的距离称为网格步长 时间坐标上定出有限个离散点，相邻两离散点间的距离为
时间步长
X3 X2
P
X1
图1 网格结点的符号
简单规则区域的正交离散
y
y
y
x
x
x
பைடு நூலகம்
y
y
➢区域离散要保证 离散边界和物理边 界相似,这样边界条 件可以精确
x
x
坐标变换 –圆柱坐标
y
x