谈数列单调性的判定方法-递推数列单调性的判断方法
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厂（ ）：２０ 一３ ：，显 然 当 ０＜ ＜ 时 ，，（ ）＞０；当 ＞
时 （ ）＜０，．．．，（ ）在区间ｆ ０， １上是增函数，在区间
ｆ ，‘＋。。１上是减函数．对于 Ｎ ，，（ ）： （１０一 ），
‘‘ ．
＿厂（７）＝１４７＞
６）＝１４４，故
。１＜０２＜…
＜口６＜０７＞口８＞ｎ９＞
ａ１ｑ ＝ｃｑ ｆ＼ ｃ＝ １，如果ｃ，ｑ＞０，ｑ≠１．其对应的图像与指 ｇ ，
数 函数 的 图像联 系 ，根据 指数 函数 性质 ，不难 得 到如 下结 论 ：
静
当 。１＞０，ｑ＞１或 者 。１＜０，０＜ｇ＜１时 ，数 列 ｛。 ｝递 增 ；
．
堍 ， 当 ａ ＜０，ｑ＞１或 者 口 ＞０，０＜ｑ＜１时 ，数 列 ｛口 ｝递 减 ；
断数 列 ｛ｏ ｝的单 调 性．
解析
。 ：
： １ ＋
ｎ 一 ９９
， 设 函 数 ， （ ） ： １ ＋
ｎ 一 ９９
，作 出 ＿厂（ ）的 图像 （如 图 ）， 一 ，／９９ 对 称 中 心 （ ，１）．由 图像 可 知 ：函 数 ＿厂（ ）在 （０， 万 ）上 单 调 递 减 ，在 （ ，＋ ）上 单 调 递 减 ．＿．．当 ｎ ［１，９］且
… ，即数 列 ｛ｎ ｝先 增 后 减 ，且 在 第 ７项 处 最 大． 当然 我们 也 可 以 借 助 函数 单 调 性 定 义 、复 合 函 数 单 调
性 的判 断 方法 等 得 到 数 列 背 景 函 数 单 调 性 ，从 而 得 到 数 列
的单 调 性 ．但 是 ，在 数 列 ｛ｏ ｝中 ｎ必 须 为 正 整 数 ，所 以 用 函
懊 鳓
解 题 技 巧 与 方 法
壤
魔您
◎ 孟 庆 东 （江 苏省 淮 阴 中 学 ２２３００２）
在 高 中数 学 的 学 习 过 程 中 ，经 常 会 借 助 数 ：列 的单 调 性 来 解 决 数 列 的 最 大 项 与 最 小 项 、数 列 与 不 等 式 、数 列 与 函 数 、数 列 中 恒 成 立 等 综 合 问题 ，把 握 住 数 列 单 调 －眭 的 常 用 判 定 方 法 ，常 常 对 问 题 的 解 决 起 到 事 半 功 倍 的效 果 ．本 文 结 合 具 体 例 题 ，给 出 数 列 单 调 性 判 定 的 几 种 常 用 方 法 ．
可 试 用 “前 后项 比较 法 ”，即 确 定 使 ａ ＜ｏ ＋ 成 立 的 ｎ的集
合 ，从 而判 定 数 列 ｛ｏ ｝的单 调 性 ．定 义 ：若 对 ｎ∈Ｎ 有 。 ＜
ｏ 恒 成 立 ，则 称 ｛ｎ ｝为单 调 递 增 数 列 ；若 对 ｎ Ｎ 有 ｏ ＞
ｎ ＋。恒 成 立 ，则 称 ｛。 ｝为单 调 递 减 数 列 ；若 对 ｎ∈Ｎ 有 ｎ ＝
一 、 利 用 数 列 的 背 景 函数 来 研 究 其 单 调 性 数 列 是 一 种 定 义 域 为 正 整 数 集 Ｎ （或 它 的有 限 子 集 ｛１，２，３，… ，ｎ｝）的 特 殊 函 数 ，具 有 函 数 的 一 些 固 有 特 征 ，在 解 决 数 列 问题 时 常 利 用 函数 的性 质 去 分 析．定 义 ：如 果 数 列 ｛ｎ ｝的 通 项 公 式 为 ｏ ＝＿厂（ｎ），则 称 函 数 ），＝／（ ）（ ≥ １）为 数 列 ｛。 ｝的 背 景 函数 ．下 面 给 出 几 种 通 过 数 列 的 背 景 函 数 来 研 究 其 单 调 性 的 方 法 ． １．直 接 利 用 背 景 函 数 的 图 像 对于 等差 数 列 ｔ。 ｝，设 首 项 。 ，公 差 ｄ，则 通 项 公 式 ｎ ＝ ｏ．＋（ｎ一１）ｄ＝ｄｎ＋（ｎ，一ｄ），其 图 像 为 一 条 直 线 Ｙ＝ｄｘ＋ （。 一ｄ）上 一 系 列 离 散 的 点 ，当 ｄ＞０时 ，数 列 ｛ｆｚ ｝单 调 增 ； 当 ｄ＜０时 ，数 列 ｛ｏ ｝单 调 减 ；当 ｄ＝０时 ，数 列 ｛ｎ ｝为 常 数
当 ｑ＝１时 ，数 列 ｛。 ｝为 常 数 列 ；
当 ｑ＜０时 ，数 列 ｛。 ｝为 摆 动 数 列 ．
等 比数 列 的前 ｎ项 和 与 函 数 的 关 系 ，可 以 根 据 具 体 问
题 具 体 分 析 ．
例 １ 已知 数 列 ｛ａｎ｝的 通 项 ａｎ＝
（ ∈Ｎ ），判
ｎ一 √９９
ｎ∈Ｎ 数 列 ｛。 ｝单 调 递 减 ，当 ｎ∈ ［１０，＋。。）ｎ∈Ｎ 数 列 ｛。 ｝单 调 递 减 ，最 大项 是 。。。，最 小 项 是 ｎ。．
２．利 用 导 数 来 研 究 背 景 函 数 的 单 调 性 例 ２ 已知 数 列 ｛ｏ ｝的通 项 。 ＝ 。（１０一ｎ）（ｎ∈Ｎ ）， 判 断数 列 ｛ｎ ｝的单 调 性 ． 解 析 构 造 辅 助 函 数 ｆ（ ）＝ （１０ 一 ）（ ＞０），则
。 ＋。恒 成 立 ，则 称 ｛。 ｝为常 数 列 ．下 面 给 出 几 种 确 定 ｎ 与 ｎ 的 大小 的方 法 ．
１．用 作 差 法 或 作 商 法 确 定 ｏ ＋。与 。 的大 小
侈０ ３ 已知 无 穷 数 列 ｛。 ｝的通 项 公 式 。 ＝
列 ．等差 数 列 ｛ｏ ｝的前 ｎ项 和 Ｓ ＝ｎｎ。＋
ｄ＝ ｎ ＋
ｆ 、 。 一— １ ， ｎ，当ｄ≠０时，其图像为二次函数． ＝导二 ＋
，
、
ｌ ｎ 一—｝ｌ 图像上一系列离散的点，不难研究数列｛ｏ ｝的
、
， ｝，设 首项 ｏ ，公 比 ｑ，则 通 项 公 式 ｎ ＝
数 思 想 解 题 时要 注 意 函数 的最 值 取 得 点 的横 坐标 是 否 是 正 整 数 ，如 不 是 ，则 要 通 过 比较 其 邻 近 的 正 整 数 对 应 函 数 值 的
大小 再 作 确 定 ．
二 、利 用 ｏ ＋ 与 ｎ 的 大 小 判 定数 列 的 单调 性
事 物 总是 具 有 特 殊 性 的 ，数 列 也 具 有 自 己的 特 点 ．我 们
时 （ ）＜０，．．．，（ ）在区间ｆ ０， １上是增函数，在区间
ｆ ，‘＋。。１上是减函数．对于 Ｎ ，，（ ）： （１０一 ），
‘‘ ．
＿厂（７）＝１４７＞
６）＝１４４，故
。１＜０２＜…
＜口６＜０７＞口８＞ｎ９＞
ａ１ｑ ＝ｃｑ ｆ＼ ｃ＝ １，如果ｃ，ｑ＞０，ｑ≠１．其对应的图像与指 ｇ ，
数 函数 的 图像联 系 ，根据 指数 函数 性质 ，不难 得 到如 下结 论 ：
静
当 。１＞０，ｑ＞１或 者 。１＜０，０＜ｇ＜１时 ，数 列 ｛。 ｝递 增 ；
．
堍 ， 当 ａ ＜０，ｑ＞１或 者 口 ＞０，０＜ｑ＜１时 ，数 列 ｛口 ｝递 减 ；
断数 列 ｛ｏ ｝的单 调 性．
解析
。 ：
： １ ＋
ｎ 一 ９９
， 设 函 数 ， （ ） ： １ ＋
ｎ 一 ９９
，作 出 ＿厂（ ）的 图像 （如 图 ）， 一 ，／９９ 对 称 中 心 （ ，１）．由 图像 可 知 ：函 数 ＿厂（ ）在 （０， 万 ）上 单 调 递 减 ，在 （ ，＋ ）上 单 调 递 减 ．＿．．当 ｎ ［１，９］且
… ，即数 列 ｛ｎ ｝先 增 后 减 ，且 在 第 ７项 处 最 大． 当然 我们 也 可 以 借 助 函数 单 调 性 定 义 、复 合 函 数 单 调
性 的判 断 方法 等 得 到 数 列 背 景 函 数 单 调 性 ，从 而 得 到 数 列
的单 调 性 ．但 是 ，在 数 列 ｛ｏ ｝中 ｎ必 须 为 正 整 数 ，所 以 用 函
懊 鳓
解 题 技 巧 与 方 法
壤
魔您
◎ 孟 庆 东 （江 苏省 淮 阴 中 学 ２２３００２）
在 高 中数 学 的 学 习 过 程 中 ，经 常 会 借 助 数 ：列 的单 调 性 来 解 决 数 列 的 最 大 项 与 最 小 项 、数 列 与 不 等 式 、数 列 与 函 数 、数 列 中 恒 成 立 等 综 合 问题 ，把 握 住 数 列 单 调 －眭 的 常 用 判 定 方 法 ，常 常 对 问 题 的 解 决 起 到 事 半 功 倍 的效 果 ．本 文 结 合 具 体 例 题 ，给 出 数 列 单 调 性 判 定 的 几 种 常 用 方 法 ．
可 试 用 “前 后项 比较 法 ”，即 确 定 使 ａ ＜ｏ ＋ 成 立 的 ｎ的集
合 ，从 而判 定 数 列 ｛ｏ ｝的单 调 性 ．定 义 ：若 对 ｎ∈Ｎ 有 。 ＜
ｏ 恒 成 立 ，则 称 ｛ｎ ｝为单 调 递 增 数 列 ；若 对 ｎ Ｎ 有 ｏ ＞
ｎ ＋。恒 成 立 ，则 称 ｛。 ｝为单 调 递 减 数 列 ；若 对 ｎ∈Ｎ 有 ｎ ＝
一 、 利 用 数 列 的 背 景 函数 来 研 究 其 单 调 性 数 列 是 一 种 定 义 域 为 正 整 数 集 Ｎ （或 它 的有 限 子 集 ｛１，２，３，… ，ｎ｝）的 特 殊 函 数 ，具 有 函 数 的 一 些 固 有 特 征 ，在 解 决 数 列 问题 时 常 利 用 函数 的性 质 去 分 析．定 义 ：如 果 数 列 ｛ｎ ｝的 通 项 公 式 为 ｏ ＝＿厂（ｎ），则 称 函 数 ），＝／（ ）（ ≥ １）为 数 列 ｛。 ｝的 背 景 函数 ．下 面 给 出 几 种 通 过 数 列 的 背 景 函 数 来 研 究 其 单 调 性 的 方 法 ． １．直 接 利 用 背 景 函 数 的 图 像 对于 等差 数 列 ｔ。 ｝，设 首 项 。 ，公 差 ｄ，则 通 项 公 式 ｎ ＝ ｏ．＋（ｎ一１）ｄ＝ｄｎ＋（ｎ，一ｄ），其 图 像 为 一 条 直 线 Ｙ＝ｄｘ＋ （。 一ｄ）上 一 系 列 离 散 的 点 ，当 ｄ＞０时 ，数 列 ｛ｆｚ ｝单 调 增 ； 当 ｄ＜０时 ，数 列 ｛ｏ ｝单 调 减 ；当 ｄ＝０时 ，数 列 ｛ｎ ｝为 常 数
当 ｑ＝１时 ，数 列 ｛。 ｝为 常 数 列 ；
当 ｑ＜０时 ，数 列 ｛。 ｝为 摆 动 数 列 ．
等 比数 列 的前 ｎ项 和 与 函 数 的 关 系 ，可 以 根 据 具 体 问
题 具 体 分 析 ．
例 １ 已知 数 列 ｛ａｎ｝的 通 项 ａｎ＝
（ ∈Ｎ ），判
ｎ一 √９９
ｎ∈Ｎ 数 列 ｛。 ｝单 调 递 减 ，当 ｎ∈ ［１０，＋。。）ｎ∈Ｎ 数 列 ｛。 ｝单 调 递 减 ，最 大项 是 。。。，最 小 项 是 ｎ。．
２．利 用 导 数 来 研 究 背 景 函 数 的 单 调 性 例 ２ 已知 数 列 ｛ｏ ｝的通 项 。 ＝ 。（１０一ｎ）（ｎ∈Ｎ ）， 判 断数 列 ｛ｎ ｝的单 调 性 ． 解 析 构 造 辅 助 函 数 ｆ（ ）＝ （１０ 一 ）（ ＞０），则
。 ＋。恒 成 立 ，则 称 ｛。 ｝为常 数 列 ．下 面 给 出 几 种 确 定 ｎ 与 ｎ 的 大小 的方 法 ．
１．用 作 差 法 或 作 商 法 确 定 ｏ ＋。与 。 的大 小
侈０ ３ 已知 无 穷 数 列 ｛。 ｝的通 项 公 式 。 ＝
列 ．等差 数 列 ｛ｏ ｝的前 ｎ项 和 Ｓ ＝ｎｎ。＋
ｄ＝ ｎ ＋
ｆ 、 。 一— １ ， ｎ，当ｄ≠０时，其图像为二次函数． ＝导二 ＋
，
、
ｌ ｎ 一—｝ｌ 图像上一系列离散的点，不难研究数列｛ｏ ｝的
、
， ｝，设 首项 ｏ ，公 比 ｑ，则 通 项 公 式 ｎ ＝
数 思 想 解 题 时要 注 意 函数 的最 值 取 得 点 的横 坐标 是 否 是 正 整 数 ，如 不 是 ，则 要 通 过 比较 其 邻 近 的 正 整 数 对 应 函 数 值 的
大小 再 作 确 定 ．
二 、利 用 ｏ ＋ 与 ｎ 的 大 小 判 定数 列 的 单调 性
事 物 总是 具 有 特 殊 性 的 ，数 列 也 具 有 自 己的 特 点 ．我 们