化工压力容器习题解答

p + ρ g ( R − R cos ϕ − h0 ) σ ϕ p σ σ ϑ =r2 z − ϕ ÷ = r2 0 − ÷ r1 t r1 t 1 = 150.91 − 11.21cos ϕ − 2 ( 79.04 − 75.46 cos 2 ϕ + 3.72 cos 3 ϕ ) sin ϕ
ϕ1
=2π R 2 ∫ [ p cos ϕ + ρ g cos ϕ ( R ( cos ϕ1 − cos ϕ ) ) ]sin ϕ dϕ
ϕ ϕ1
2
1 1 1 = −2π R p cos 2 ϕ + ρ gR ( cos 2 ϕ cos ϕ1 − cos3 ϕ ) ÷ 3 2 ϕ1 2 1 1 1 = − 2π R cos ϕ p + ρ g R cos ϕ1 − cos ϕ ÷÷ 3 ϕ1 2 2
解：由题意可知
r1 = ∞, r2 = R, ϕ = ∴
π , pϕ = 0, p z = ρ g ( H − y ) 2 F = π R 2 ρ gH
F (ϕ) 2πsin rt ϕ
1
由薄膜理论可知
σϕ =
σ ϕ σ θ pz + = r1 r2 t
得到壳体中的薄膜应力为
σϕ =
F (ϕ) π R 2 ρ gH ρ gHR = = 2πsin rt ϕ 2 π Rt 2 t
=2π R 2 ( 0.2018 − 0.211cos 2 ϕ + 0.0104 cos3 ϕ ) =31.789-33.237 cos 2 ϕ +1.645cos3 ϕ
1 1 p ÷− ( p + ρ gR cos ϕ1 ) cos 2 ϕ + ρ gR cos3 ϕ 3 2
2π R 2 ( 0.2018-0.211cos 2 ϕ + 0.0104 cos3 ϕ ) F (ϕ) σφ = = 2πsin rt ϕ 2 π Rt sin 2 ϕ 1 = 72.17 − 75.46 cos 2 ϕ + 3.72 cos3 ϕ ) ( 2 sin ϕ
⑵ 对于
ϕ) ϕ
σϕ = σϑ =
p0 R 0.4 × 5007 = = 71.53MPa 2t 2 ×14
ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2时，h= pR z = p + ρ g ( h − h0 )
F ( ϕ ) = F I ( ϕ ) + F II ( ϕ ) = ∫
ϕ
( 1 − cos ϕ )
ϕ1
0
+∫
p + ρ gR ( cos ϕ1 − cos ϕ ) σϕ p σ σϑ =r2 z − ϕ ÷= r2 0 − ÷ r1 t r1 t 1 = 150.90 −11.21cos ϕ − ( 72.17 − 75.46 cos 2 ϕ + 3.72 cos3 ϕ ) sin 2 ϕ
ϕ
ϕ1
F I (ϕ ) = π R 2 sin 2 ϕ1 p = π R 2 （ p 1 − cos 2 ϕ1 )
F II ( ϕ ) = 2πcos ∫ rr1 ( pz sinϕ −dpφ
ϕ1
ϕ) ϕ
=2π ∫ rr1 p z cos ϕ dϕ
ϕ1 ϕ
ϕ
=2π ∫ R 2 sin ϕ ( p + ρ gR ( cos ϕ1 − cos ϕ ) ) cos ϕ dϕ
代入各量值即可求出应力，但要注意量纲一致性。
F ( ϕ ) = 2π R 2 ( 0.221 − 0.211cos 2 ϕ + 0.0104 cos3 ϕ ) = 34.812 − 33.237 cos 2 ϕ + 1.645cos3 ϕ
2π R 2 ( 0.221-0.211cos 2 ϕ + 0.0104 cos 3 ϕ ) F (φ) σφ = = 2πsin rt φ 2 π Rt sin 2 ϕ 1 = ( 79.04 − 75.46 cos2 ϕ + 3.72 cos3 ϕ ) sin 2 ϕ
2000 + 10 π = 1005mm, ϕ = , t = 10mm 2 2
pr2 1005 ×p = = 50.25 p 2t 2 ×10 由薄膜理论可知： σ θ = 2σ ϕ = 100.5 p
σϕ =
⑵ 对于薄壁椭球壳，由薄膜理论可知：
对于标准椭球壳 m=2，即
pRmψ 2t 1 σθ = σφ 2 − 2 ÷ ψ
ϕ
所以对于以上部分区域壳体的 ϕ F (ϕ ) = F I (ϕ ) + F II (ϕ )
又 cos ϕ1 =
5000 − 1500 7 = , 5000 10
sin 2 ϕ1 = 1 −
49 51 = 100 100
代入各量值即可求出应力，但要注意量纲一致性。
1 1 F ( ϕ ) = 2π R 2 ρ gR cos3 ϕ1 + 2 6
2 2
ϕ
ϕ
1 1 1 =2π R cos ϕ p + ρ g R cos ϕ1 − cos ϕ ÷÷ 2 2 3 ϕ 2
2 2 2 2
ϕ1
1 1 1 =2π R cos ϕ ( p + ρ gR cos ϕ1 ) − ρ gR cos ϕ 3 2 ϕ
10000 + 14 = 5007 mm 2
t = 14mm, ρ = 638kg / m 3 , h0 = 1500mm, p = 0.4 MPa, pϕ = 0, r = R sin ϕ
⑴ 对于 0 ≤ ϕ ≤ ϕ1时
ϕ
0
pz = p0
ϕ
ϕ1 ϕ2
F ( ϕ ) = 2πcos ∫ rr1 ( pz sinϕ −dpφ = π r 2 p0 ∴
容器内充满液体，液体密度为 ρ，分别悬挂在支座上，忽略容器自重，试问：
(a)
(b)
(c) 图 2-61
⑴ 三个容器分别在圆柱筒体 A-A 和 B-B 横截面上的经向薄膜应力 σ ϕ 是否相等？为什 么？ ⑵ 三个容器在同一高度的对应点上周向薄膜应力 σ ϑ 是否相等？为什么？ ⑶ 若将三个容器均直接置于平地上，则 A-A 横截面上的 σ ϕ 是否相等？为什么？ ⑷ 若三个容器内充满均匀气体压力 p 时， σ ϕ 如何变化？ ⑸ 若不忽略自重时， σ ϕ 如何变化？ ⑹ 若容器顶部压力为 P 时， σ ϕ 和 σ ϑ 如何变化？ 解：⑴ A-A 截面不相等，B-B 截面相等。 A-A 截面，对于(a) F (ϕ ) = 0 对于(b、c) F (ϕ ) ≠ 0
( )
pR t
对于 σθ 分别在顶点和赤道达到最大，即
( σ θ ) ϕ =0 = − ( σ θ ) φ =π 2 =
pR = 100.5 p t
2、如图 2-59 所示一装有液体的圆筒形敞口容器，上部周边自由悬挂，圆柱壳体 的中面半径为 R，壁厚为 t，液体密度为 ρ，试计算壳体中的 薄膜应力。
化工压力容器习题解答
第二章 回转薄壳理论 1、一乘受均匀气体压力 p 作用的圆筒形容器，其内直径 Di=2000mm，壁厚 t=10mm，使用无力距理论计算。 ① 离开端盖足够距离之筒体器壁中的周向应力和经向应力。 ② 若端盖采用标准椭圆形封头（壁厚同为 10mm），封头器壁中的薄膜的最大 值及其位置。 解：由题已知 P ϕ = 0, P Z = p ⑴ 对于圆筒体， r1 = ∞, r2 = R =
0
ϕ'
=2π ∫ R 2 sin ϕ ' p + ρ g R ( cos ϕ1 + cos ϕ ' )
ϕ'
0
(
(
) ) cos ϕ dϕ
'
‘ =2π R 2 ∫ [ p cos ϕ + ρ g cos ϕ ' ( R(cos ϕ1 + cos ϕ ' ) ) ]sin ϕ ' dϕ
ϕ'
0
1 1 1 = −2π R p cos 2 ϕ’‘’‘ + ρ gR ( cos 2 ϕ cosϕ1 + cos3 ϕ 3 2 2
σφ =
ψ =
1 ( m2 − 1) sin 2 φ + 1
12
pRmψ pRψ = 2t t 1 σθ = σφ 2 − 2 ÷ ψ 1 ψ= 3sin 2 ϕ + 1
σφ =
ϕ =0 = 100. σ ϕ5p。 = 显然，对于 σ ϕ当时，即顶点取得最大，
ϕ =0
2 1 F (ϕ ) a =π R 2 ρ gh − π R 3 ρ g − π R 2 ρ g ( h − R ) = π R 3 ρ g 3 3 1 2 F (ϕ )b =π R 2 ρ gh − π R 3 ρ g − π R 2 ρ g (h − R) = π R 3 ρ g 3 3 B-B 截面 F (ϕ )=π R 2 ρ gH π ϕ = ，又因 ⑵ 对于圆柱壳 r1 = ∞ 2 F (ϕ) σϕ = 2πsin rt ϕ p σ ϑ = r2 z ，所以与无关。 σϕ t
2
) ÷ 0
‘ ϕ
ϕ <
π 2 π 2
1 1 1 = − 2π R cos ϕ p + ρ gR cos ϕ1 − cos ϕ ÷÷ 3 π 2 2
2 2
来自百度文库
ϕ
ϕ>
1 1 1 =2π R cos ϕ p + ρ gR cos ϕ1 − cos ϕ ÷÷ 3 ϕ 2 2
⑶对
120°' ≤ ϕ时
ϕ'
pz = p + ρ g ( h − h0 ) = p + ρ gR (cos ϕ + cos ϕ1 ) h = R ( 1 + cos ϕ ' )
ϕ' ) ϕ
于
' F ( ϕ ) = 2πcos pφ ∫ rr1 ( pz sinϕ − d 0
ϕ' <
π 2
=2π ∫ rr1 pz cos ϕ ' dϕ
⑷ 讨论
ϕ<
π
2
ϕ>
π
2
ϕ
0
σϕ
71.53 71.53 72.17 70.45 52.6
4
σϑ
71.53 71.53 78.73 86.06 92.71
cos ϕ = 0.7
90 120 上 120 下
180
＋∞
－∞
补充题
如图 2-61 所示三个中面直径 D，壁厚 t 和高度 H 均为相同的密闭薄壁容器，
2 2
π
1 1 =2π R cos ϕ ( p + ρ gR cos ϕ13) − ρ gR cos ϕ 3 2 ϕ
2 2
π
1 1 1 1 1 =2π R 2 p + ρ gR + cos ϕ1 ÷÷− ( p + ρ gR cos ϕ1 ) cos 2 ϕ + ρ gR cos3 ϕ 3 3 2 2 2
方法二：
1 F ( ϕ ) = π r 2 pz + πρ gh 2 ( 3R − h ) 3 1 2 = π R 2 sin 2 ϕ ( p + ρ g ( R (1 + cos ϕ) − h0 ) + πρ gR 2 ( 1 − cos ϕ ) ( 3R − R(1 − cos ϕ) ) 3 1 1 = 2π R 2 (1 − cos 2 ϕ) （p + ρ gR (cos ϕ1 + cos ϕ)) + ρ gR (2 − 3cos ϕ + cos 3 ϕ) 6 2 1 1 1 1 1 =2π R 2 p + ρ gR + cos ϕ1 ÷÷− ( p + ρ gR cos ϕ1 ) cos 2 ϕ − ρ gR cos 3 ϕ 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 = 2π R 2 p + ρ gR + cos ϕ1 ÷÷− ( p + ρ gR cos ϕ1 ) cos 2 ϕ + ρ gR cos3 ϕ 3 3 2 2 2 = 2π R 2 ( 0.221 − 0.211cos 2 ϕ + 0.0104 cos 3 ϕ )
Rρ g ( H − y ) p σ rp σ ϑ = r2 z − ϕ ÷ = 2 z = r1 t t t
3、有一球形储罐，如图 2-60 所示。已知： Di=10m，壁厚 t=14mm，内储液氨，密 度为 638kg/m3，球罐上部尚留高度为 1500mm 的空间，其中气态氨的压力为 0.4MPa。 球罐沿平行圆 A-A 支承，其对应中心角为 120°。试确定该球罐壳体的薄膜应力。 解：由题意可知 r1 = r2 = R =