第一章集合与常用逻辑用语

第一章 平面向量

专题二 平面向量的基本定理及坐标表示

归纳点1 平面向量的基本定理

(1)1e 和2e 必须是同一平面内的两个不共线向量：如果1e 和2e 共线，由共线向量定理，存在唯一的实数λ使12e e λ=，则12222121212()a e e e e e λλλλλλλλ=+=+=+，再由共线向量定理知a 与2e 共线，即1212e e λλ+只能表示平面内与1e 和2e 共线的向量．

(2)有且只有一对实数1λ、2λ的含义：如果1212a e e λλ=+且12a me ne =+，那么

1m λ=且2n λ=，逆过来如果1m λ=且2n λ=，当然有221121e e me ne λλ+=+，即12211212m e e me ne n λλλλ=⎧+=+⇔⎨=⎩．特别有112122

000e e λλλλ=⎧+=⇔⎨=⎩．

(3)向量的线性相关：如果两个非零向量a 与b 有线性关系=+μλ，式中不全为零，则称这两个向量共线；反之亦成立，称向量和 线性相关.

如果两个非零向量与有线性关系0=+b a μλ，且只有在0=λ和0=μ时才成立，则称向量a 和 b 线性无关.

(4)如G 是∆ABC 的重心，则平面上任一点O ，总有

()

OC OB OA OG ++=

31

(5)在一个平面图形中,用待定系数法通过两个不共线的向量确定另一个向量.

归纳点1 平面向量的坐标表示

(1)如果()11,y x OA =，()22,y x OB =，C 为AB 的中点，则),(2

1

2121y y x x OC ++=

. (2)如果G 是∆ABC 的重心，()11,y x = ，()22,y x =，()33,y x =，则

),(3

1

321321y y y x x x OG ++++=.

(3)向量平行的坐标表示：设向量()11,y x =，()22,y x =，如果OA ∥OB ，那么01221=-y x y x ；反之，如果01221=-y x y x ，那么∥ .

为了便于记忆，可以

把01221=-y x y x 改写为

2

1

21y y x x =

，但应注意分母不为零. 如果,02=x 则01=x .如果,02=y 则01=y .

(4)相等向量的坐标是相同的，但起点、终点坐标可以不同，如A (3，5)，B (6，8)，

()33，AB =； C (-5，3)，D (-2，6)，()33，CD =.显然=AB CD ，但A 、B 、C 、D 四点坐

标各不相同.

(5)两个向量共线或相等的问题,常可利用向量的坐标形式进行判断与计算.

常考点2 平面向量的坐标表示

【剖析】 向量的坐标表示是向量表示的一种重要形式，借助于这个工具，可以有效地

实现向量问题与几何问题的相互转化，利用向量的坐标法处理共线问题是高考的重点之一，

往往出现在选择题或填空题中，属于中低档题.要认真掌握好坐标形式的向量加减法及数乘运算，善于将相关问题转化为坐标形式进行解答，提高解题的效率.

典例6 (2008·江苏徐州模拟) 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i ，j 分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量AB ＝i －2j ，BC ＝i ＋ｍj ，那么是否存在实数ｍ，使A 、B 、C 三点共线，即AB ∥BC

方法一 假设满足条件的ｍ存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB ∥BC ，

∴存在实数λ，使AB ＝λBC ，i －2j ＝λ(i ＋ｍj )，⎩⎨⎧-==2

1

m λλ ，∴ｍ＝－

∴当ｍ＝－2时，A 、B 、C

方法二 假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：i ＝(1，0)，j ＝(0，1)， ∴AB ＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，BC ＝(1，0)＋ｍ(0，1)＝(1，ｍ)， 由A 、B 、C 三点共线，即AB ∥BC ，故1·ｍ－1·(－2)＝0解得ｍ＝－

∴当ｍ＝－2时，A 、B 、C

【点评】 共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，一是向量的线性关系，二是坐标关系，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择.本题是存在性探索问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时.本题在解题过程中，首先假设满足条件的ｍ存在，由A 、B 、C 三点共线⇔AB ∥BC ⇔存在实数λ，使AB ＝λBC ，从而建立方程来进行求解.

第二章 平面解析几何初步

专题一 平面向量的基本定理及坐标表示

常考点1 平面向量的数量积运算

【剖析】 平面向量的数量积是一个重要的概念，是它沟通了向量与实数的关系，为解

决平面几何、不等式等问题提供了强有力的理论依据，因此复习时要清晰地理解概念，掌握

运算律的形式及内容，熟悉计算数量积的公式，并会正确运算.

典例1 (原创题)对于如下命题：①a ·0＝0；②0·a

＝0；③0－AB ＝BA ；④｜

a ·

b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a

与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b

是两个单位向量，则a ２＝b ２

.判断正误，并简要说明理由.

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a

＝0；

对于②：应有0·a

＝0；

对于④：由数量积定义有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜·｜cos θ｜≤｜a

｜｜b ｜，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜a ·b ｜＝｜a

｜·｜b ｜；

对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b

＝０； 对于⑥：由a ·b ＝０可知a ⊥b

可以都非零；

对于⑦：若a 与c 共线，记a

＝λc 则a ·b

＝(λc )·b ＝λ(c ·b )＝λ(b ·c )，

∴(a ·b )·c ＝λ(b ·c )c ＝(b ·c )λc ＝(b ·c )a

. 若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠(b ·c )a

.

上述8个命题中只有③⑧正确.

【点评】 本题主要考查了平面向量数量积的基本知识，处理问题时要注意把握好数量积的定义、性质、运算律等，还应该把平面向量的数量积同前面的数乘区别开来，加强对特殊向量的理解和运用.