管理运筹学(第四版)第三章习题答案

3.1（1）解：
, 5
3351042..715min 212
1
1
21
21≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω
（2）解：
无限制
3213
21
3132
3213121,0,0 2
520474235323.
.86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω
3.4解：例3原问题
6
,,1,0603020506070
..min 166554433221654321Λ=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j
对偶问题：
6
,,1,0111111
..603020506070max 655443322161654321Λ=≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω
3.5解：
（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-316102
11
B 。

由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1
-='，5,,1,,1Λ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，
其中b 和j P 都是初始数据。

设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21b b b ，5,,1,21Λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-2525316102
1
211
b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=25316
12521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⇒='-021********
102
12322211312111
a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=0
31
6
112121
316121
211
316
1021
231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====12
1
130231322122111a a a a a a
()()()⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=---⇒'-=3161210212
1,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2
3
146121
421211
13132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c
所以原问题为：
,, 10
352.
.1026max 3213
2
1
32321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z
对偶问题为：
, 10
2263.
.105min 212
1
21221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω
（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*
=-=-=σσσc c C Y IB IB
3.6解：
（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。

3c 由13变为6在可变范围内，所以最优解不变，目标函数值减少()0061333=⨯-=⋅∆x c ，即目标函数最优值不变。

（2）因为2x 是基变量，所以2c 的变化会引起所有变量检验数的变化。

根据最优性准则，有：
()()()⎪⎩⎪
⎨⎧≤⋅-=≤⋅-=≤---=0
1003130
524
2321c c c σσσ，解得2c 的可变范围是53132≤≤c ，2c 由5变为4.5，在可变范围
内，所以最优解不变，目标函数值减少()10205.4522=⨯-=⋅∆x c ，即最优值为90。

（3）从最优单纯形表可以知道最优基的逆阵为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-14011
B
，要保证基变量的值非负，即要求： 020*********≥⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b B ，
即0802≥+-b ，802≥b ，所以2b 的可变范围为802≥b 。

第二个约束条件的右端项由90变为80，在可变范围内，所以最优基不变。

⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='-0208020140180201B b ，即0,2052==x x ，最优解为()T X 0,0,0,20,0*=，最优值为100。

（4）从最优单纯形表可以知道最优基的逆阵为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-14011B ，要保证基变量的值非负，即要求：
0901********≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b B ，即⎩⎨⎧≥+-≥0904011b b 解得24501≤≤b ，所以1b 的可变范围为
2
45
01≤
≤b 。

第一个约束条件的右端项由20变为30，超过了可变范围，所以最优基变化。

需用单纯形表重新计算。

（5）解：最优单纯形表如下：
从最优单纯形表可以知道最优基的逆阵为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ，1x 的系数列向量由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121变为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛50，根据公式可以计算出最优单纯形表
中1x 的系数列向量为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⇒='-5050140111
1P B P ，重新计算检验数，结果如下：
因为1x 的检验数为-5<0，所以原最优解不变，最优值不变。

最优解为
T
X⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=0,
15
,0,
2
5
,
2
25
,0
*，最优值为95。

最优解为()T
X 0,0,0,20,0*
=，最优值为100。

（8）解：
从最优单纯形表可以知道最优基的逆阵为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=-14
01
1B 。

根据题意在最优单纯形表中增加变量6x ，6x 的目标函数系数为4，6x 对应的列为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-23535140161
6P B P ，
6x 的检验数为()0212350,54666<-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--='-=P C c B σ。

1x 的目标函数系数-5变为3，其检验数为()081610,53111>=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--='-=P C c B σ，需在最
3.7解：
（1）对偶问题：
无限制
3213
2
1
321321321,,0 6
33252.
.101618min y y y y y y y y y y y y t s y y y ≥=++≥++≥++++=ω （2）令33
3x x x ''-'=，标准化后为 0,,,, 10
1633218
2..6635max 433
21332133214332133
21≥'''=''-'++=''-'++=+''-'++''-'++='x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 引入人工变量65,x x 后有
0,,,,,, 10
16332182..6635max 65433
216
33215332143321653321≥'''=+''-'++=+''-'++=+''-'++--''-'++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s Mx Mx x x x x z
运行结果为
其中11X x =，22X x =，33
X x ='，43X x =''，14slack x =，25artfcl x =，36artfcl x =，所以最优解为：()T
X 4,0,14*
-=，最优值为46。

最优单纯形表为
对偶问题的最优解为
()()()()()3,1,03,1,00,0,0,,,,765765*=---=-=-=σσσσc c c C Y IB IB
3.8解：
（1）原问题的最优解为：
()T
X 10,0,0,0,6*=，最优值为12
对偶问题的最优解为
()()()()()0,20,20,0,,5454*=--=-=-=σσσc c C Y IB IB
（2）计算1c 的可变范围
()()()⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-=≤-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-='-=≤--=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--='-=0
110,00
1110,10
1310,1114441133311222c c P C c c c P C c c c P C c B B B σσσ，解得11≥c 计算2c 的可变范围
()02310,222222≤-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='-=c c P C c B σ，解得22≤c
计算3c 的可变范围
()02110,233333≤-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-='-=c c P C c B σ，解得23≤c
（3）计算1b 的可变范围
通过最优单纯形表可以知道最优基的逆阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-11011B ，则
⎩⎨⎧≥+≥⇒≥⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='-0
400411011111b b b b B b ，解得01≥b 计算2b 的可变范围
06061101221
≥+⇒≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='-b b b B b ，解得62-≥b
3.9解：设一产品生产1x 单位，二产品生产2x 单位，三产品生产3x 单位，则数学模型为：
420
1013240085103001028.
.290020003000max 3
2
1
32132
1
321≥≤++≤++≤++++=j x x x x x x x x x x t s x x x z （1）QM 运行结果如下：
所以一产品生产22.53个单位，二产品生产23.2个单位，三产品生产7.33个单位，最大利润为135266.67元。

（2）可变范围
由于450027503<≤c ，所以三产品的单位利润在[2750,4500]区间内变化时，最优方案不变。

（3）即2c 从2000增至2200，仍在可变范围内，所以最优生产计划不变，总利润增加
()4.462.232022=⨯-百元，即4640元。

（4）设备A 的加工能力增加到400台时，即1b 增至400，还在可变范围内（71.46533.2631≤≤b ），当前基仍保持最优。

原问题运行后的最优单纯形表为
所以最优基的逆阵为：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=-0333.01667.02.006.01.014.00567.01833.009.01
B 1b 增至400后的最优解为：
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=='-306.272.9506.134204004000333.01667.02.006.01.014.00567.01833.009.01b B b
最优值为：4.138105306.2729002.92000506.133000=⨯+⨯+⨯元
（5）设备C 的加工能力减少到180台时，即3b 减至180，超出了可变范围（65.8172003≤≤b ），最优基会变化，需要重新计算。

计算结果为：
（6）从2b 的灵敏度分析可以知道，租金要小于266.67元，即266.67元/台时才合算，应租借444-400＝44台时。

（7）即增加一个约束103≥x ，计算结果为：
（8）设产品四生产4x 单位，产品五生产5x 单位，若其的检验数大于0，则说明原最优单纯形表不是最优表，即投产是合算的。

下面分别计算54,x x 的检验数： 原问题运行后的最优单纯形表为
所以最优基的逆阵为：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-0333.01667.02.006.01.014.00567.01833.009.01
B
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=='-8995.158.07305.010*******.01667.02.006.01.014.00567.01833.009.014b B P
()05705.05705.21218995.158.07305.029,20,3021444<-=-=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---='-=P C c B σ
所以投产产品四不合算。

⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=='-5328.056.03072.012440333.01667.02.006.01.014.00567.01833.009.01
5b B P
()02648.14352.177.185328.056.03072.029,20,307.18555>=-=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--='-=P C c B σ
所以投产产品五合算。

（9）由于1x 是基变量，改变其列向量将要重新计算，计算结果为：
3.10解：设j x 为第j 个地点运来的矿石量。

4
,,1,0 1303720254510017575150905
28310..500600400800min 43214321432143214321Λ=≥=+++≥+++≥+++≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z j
注：第4个约束为四种配料合计为一吨。

（1）运行结果为：
即成本最低的混料配比为0.2593: 0.7037:0.037:0。

（2）基本元素A 的含量为：10×0.2593＋3×0.7037＋8×0.037=5.0001（公斤） 基本元素B 的含量为：90×0.2593＋150×0.7037＋75×0.037=131.667（公斤） 基本元素C 的含量为：45×0.2593＋25×0.7037＋20×0.037=30.001（公斤）
（3）基本元素A 的最低需要量降低到4.75公斤，成本改善（减少）（4.75-5）×（-44.4444）=11.1111（元）； 基本元素A 的最低需要量提高到8公斤，超过了1b 的变化范围，因此最优基改变，需重新计算。

（4）不能，因为该约束条件的影子价格为0。

（5）2c 的变化范围是[100.0001, 466.8478]，而2c 从400增加到450，还在变化范围内，所以
最优解不变，即最优配料配比不变，总成本增加（450-400）
×0.7037=35.185元
（6）当8889.4084>c 时最优基会发生改变，因此从地点4来的矿石成本要降低（500-408.8889=91.1111元），才能使最优混合料中含有该种矿石。

3.11解：设j x 为第j 种产品生产的单位数。

目标函数＝批发收入－原材料费－加工费用
批发收入765432115.555.505.4850515.5550x x x x x x x z ++++++= 原材料费用765432125.195.1615215.285.2224x x x x x x x z ++++++= 加工费用
()()()()()()()7
6543217654321311102.94.148.122.92.112.18.188.17.15.62.126 5.19.1115.18.15.99.08.15.65.17.18x x x x x x x x x x x x x x z ++++++=++++++++++++++++++++=
目标函数765432125243.246.147.98.238.14x x x x x x x z ++++++= 约束条件：
（1）针织机工时、环织机工时和检验工时限制； （2）库存限制。

模型：
()3500005.195.1615215.285.22243
1
360004.006.004.005.005.003.005.0500009.008.01.0095.009.009.0085.042000
8.065.06.01.195.065.08.01000
10001000100010001000
1000
..25243.246.147.98.238.14max 765432176543217654321765432176543217654321≤++++++≤++++++≤++++++≤++++++≥≥≥≥≥≥≥++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x z
（1）唯一最优解。

（2）305<c ，现行生产方案保持最优；即单位价格小于30+9.2+15=54.2元时，现行生产方案保持最优。

（3）由于环织约束的影子价格为300，而针织和检验的影子价格为0，因此应增加环织的限额，增加量为5003.33-5000=3.33工时。

当单位支付费用小于300元时就是合算的。

（4）总利润为()()0266.14473600265.144720095010002.3=+-⨯-元 （5）不能，因为针织资源的影子价格为0。

（6）最优方案变化，重新计算。

（7）
c变为19.8，没有超过上限25.5，因此最优生产方案不变，总利润提高(55-50)×1000=5000 1
元。

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