定理 2 二阶矩阵 A 为酉矩阵的充分必要条件

定理 2二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一:
( ⅰ) 1 cos α1 + i sin α1 0 ;
0 cos α2 + i sin α2 ( ⅱ) 1 0 cos β1 + i sin β1 cos β2 + i sin β2 0 ;
( ⅲ) 1
r (cos θ1+ i sin θ1 )
1 - r 2
(cos θ2 + i sin θ2) 1
Š
1
1 - r 2
(cos θ3 + i sin θ3) Š
r (cos θ4+ i sin θ4 )
这里 0 <r < 1, 且θ1+θ4 - θ2 - θ3 = 2 k π+ π, k 为整数。

定理1 二阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是为下列三种形式之一
（i ）1122cos sin 00cos sin i i αααα+⎛⎫
⎪+⎝⎭
（ii ）1122
cos sin cos sin 0i i ββββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭
（iii ）()()()1122
3344cos sin sin 1cos sin cos sin r i r i r i θθθθθθθ+⎛⎫
⎪-++⎝
⎭ 这里01,r <<且14232k θθθθππ+--=+为整数， 必要性设11122122a a A a a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
是二阶酉矩阵，于是，即
111211121112111221222122212221221001a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 展开得
22222222
11211222111222211112212212112221211222121121122210
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+=+=+=+=+=+=
由(1)式得2
2
111212211112
,,1,a a a a a a ==+=于是可设
()()()(
)11111122222133322444cos sin cos sin cos sin cos sin a r i a r i a r i a r i θθθθθθθθ
=+⎧⎪
=+⎪⎨
=+⎪⎪=+⎩ 其中12,r r 为非负实数，且
r1 = 0 时, 即可得定理中的形式( ⅱ) 。

r2 = 0 时, 即可得定理中的形式( ⅰ) 。

r1 ≠0 且 r2 ≠0 时。

显然, ( 2) 式中第一个等式与第二个等式等价, 把(3) 代入( 2) 的第一个 等式, 得
(cos θ1- i sin θ1 ) (cos θ2+ i sin θ2 ) + (cos θ3- i sin θ3 ) (cos θ4+ i sin θ4) = 01
根据实部、虚部同时为零, 有
cos θ1cos θ2 + sin θ1 sin θ2 + cos θ3cos θ4 +sin θ3sin θ4= 0 , cos θ1 sin θ2 - sin θ1cos θ2 + cos θ3 sin θ4 - sin θ3cos θ4 = 0
利用和差化积公式, 可得
cos (θ2 - θ1) + cos (θ4 - θ3) = 0 ,sin (θ2 - θ1) + sin (θ4 - θ3) = 01
以上两式左端平方求和, 可得 1 + 1 + 2cos (θ2-θ1)cos (θ4-θ3)+ 2sin (θ2-θ1)sin (θ4-θ3)= 01 再
次利用和差化积公式, 有 cos (θ2-θ1-θ4+θ3)= - 11 另外, (2) 中第三个等式与第四个等式等价,
把(3) 代入(2) 的第三个等式, 与上述推导同理可得 cos (θ1+θ4-θ2-θ3)= - 11 所以
θ1+θ4- θ2- θ3= 2k π+ π,k 为整数,
即可得定理中的形式(ⅲ)
充分性:设 A 为定理中的三种形式之一。

当 A 为形式(ⅰ) 或形式(ⅱ) 时 ,通过简单计算可 知:A 为酉矩阵。

当 A 为形式(ⅲ) 时, 由于在必要性的证明过程中, 每一步推导都是可逆推的, 因此可以全部反推回去, 即可得 A ′A = A A ′= I .所以A 为酉矩阵。