随机误差项的方差
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假设1：给定X1i， X2i，… Xki时，εi的条件分布均值 为零。 即：随机误差项具有零均值。
E( i | X 1i, X 2i,...Xki) 0
1 E( 1)
E(
)
E
2
E(
2)
0
n
E
(
n)
Cov(
2,
n)
0
2 L
M M M O
Var( n)
0
0L
0
0 M
2
I
n
2
u的方差协方差矩阵
2 0 .. 0
0
2 ...
0
经典假设
. . ... .
0 0 ... 2
2 1
0
1. 图形法 残差与X的散点图 自相关图(auto-correlation cofficient) 偏自相关图(partial auto-correlation cofficient)
例题：利用B2_lutkepohl.dta数据集建立 消费和收入之间的一元线性回归模型。并检 验是否存在自回归，是一阶还是高阶。
根据样本个数和自由度查表得到DL和DU，并 且构造不同的区域。
Reject H0 Uncertainty Accept H0 Uncertainty Reject H0
0
DL
DU
4-DU
4-DL
4
D.W. 统计量:
杜宾和沃特森他们成功地导出了临界值的下限dL和上限 dU ，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有 关，而与解释变量X的取值无关。
再比如大多数经济时间数据都有一个明显的特 点:惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。
例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：
Ct=0+1Yt+εt
t=1,2,…,n
由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则 可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。
t t 1 vt
其中ρ称为相关系数
Байду номын сангаас
Var(
|
X) 2In
0 M
2
M
L O
0
M
0
0
L
2
Var( ) E[ E()][ E()]' E( ')
Var(
)
E(
')
1
E
Mn
1L
n
2 1
E
i 1, 2,...n
假设2 随机误差项彼此之间不相关
Cov( i, j) 0 i j i, j 1,2,,n
假定3 球型扰动项(spherical disturbance)， 即 对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相 同的方差。扰动项满足“同方差”、“无自相 关”的性质
2 0 L 0
多阶自相关的数学形式
E( t) 0 Cov( t, t 1) E( t t 1) 2 Cov( t, t 2) E( t t 2) 2 2 Cov( t, t s) E( t t s) s 2
自相关的检验
时间序列数据的残差图
.04
.02
0
-.02
-.04
0
20
40
60
80
100
t
Residuals
Residuals
自相关包含一阶自相关和高阶自相关。 一阶自相关：
t t 1 vt
高阶自相关：
t t 1 2 t 2 ... vt
由于经济活动通常具有某种连续性或持 久性，自相关现象在时间序列中很常见。 比如，相邻两年的GDP 增长率、通货膨 胀率。又比如，某个意外事件或新政策 的效应需要逐步地随时间推移而释放出 来；滞后的调整过程，比如，最优资本 存量需要通过若干年的投资才能逐渐达 到。
1
.. n1
Var
(
)
2
2
.
1
...
n2
. ... .
n1 n2 ... 1
异方差经常出现在截面数据中，因为在截面数据中
经常会出现 i j 的情况。
解决方法：异方差稳健的标准差。 FGLS（可行性广义最小二乘法）
自相关经常出现在时间序列数据中，因为在时间序
列数据中，经常会出现的 Cov( i, j) 0
的情况。
面板数据可以看作是截面数据和时间序列的集合， 所以既有可能出现异方差，又有可能出现自相关。
截面数据的残差图
1000 1500
500
0
-500
0
20
40
60
80
id
Residuals
Residuals
. 0
0 .. 0
2 2
...
0
.
...
.
0
...
2 n
2 .. n1
2 ... n2
.
.
...
.
n1 n2 ... 2
异方差
自相关
如果存在自相关：随机误差项的方差-协方 差矩阵的非主对角线上的元素不为0 。
D.W检验步骤: （1）计算DW值
DW 2(1 )
（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界 值dL和dU （3）比较、判断
若 0<D.W.<dL
存在正自相关
dL<D.W.<dU
不能确定
dU <D.W.<4－dU
无自相关
4－dU <D.W.<4－ dL 不能确定
4－dL <D.W.<4
use B2_lutkepohl.dta, clear tsset year reg consum income predict e1, res scatter e1 income,yline(0) ac e1 pac e1
2。DW检验：只能检验一阶自相关的序列相 关形式，并且要求解释变量严格外生。
存在负自相关
不
正
能
相
确
关
定
0 dL dU
无自相关
2
不 能负 确相 定关
2
1
M
n 1
1 2
2 2
M
n 2
L L O L
1 n
2
n
M
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Var(1)
Cov(
2,
1)
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Cov(
n,
1)
Cov(1, 2) L Var( 2) L
MO
Cov( n, 2) L
Cov(1, n) 2 0 L
E( i | X 1i, X 2i,...Xki) 0
1 E( 1)
E(
)
E
2
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0
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(
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2,
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0
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M M M O
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0
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0
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2
I
n
2
u的方差协方差矩阵
2 0 .. 0
0
2 ...
0
经典假设
. . ... .
0 0 ... 2
2 1
0
1. 图形法 残差与X的散点图 自相关图(auto-correlation cofficient) 偏自相关图(partial auto-correlation cofficient)
例题：利用B2_lutkepohl.dta数据集建立 消费和收入之间的一元线性回归模型。并检 验是否存在自回归，是一阶还是高阶。
根据样本个数和自由度查表得到DL和DU，并 且构造不同的区域。
Reject H0 Uncertainty Accept H0 Uncertainty Reject H0
0
DL
DU
4-DU
4-DL
4
D.W. 统计量:
杜宾和沃特森他们成功地导出了临界值的下限dL和上限 dU ，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有 关，而与解释变量X的取值无关。
再比如大多数经济时间数据都有一个明显的特 点:惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。
例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：
Ct=0+1Yt+εt
t=1,2,…,n
由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则 可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。
t t 1 vt
其中ρ称为相关系数
Байду номын сангаас
Var(
|
X) 2In
0 M
2
M
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0
M
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2
Var( ) E[ E()][ E()]' E( ')
Var(
)
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1
E
Mn
1L
n
2 1
E
i 1, 2,...n
假设2 随机误差项彼此之间不相关
Cov( i, j) 0 i j i, j 1,2,,n
假定3 球型扰动项(spherical disturbance)， 即 对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相 同的方差。扰动项满足“同方差”、“无自相 关”的性质
2 0 L 0
多阶自相关的数学形式
E( t) 0 Cov( t, t 1) E( t t 1) 2 Cov( t, t 2) E( t t 2) 2 2 Cov( t, t s) E( t t s) s 2
自相关的检验
时间序列数据的残差图
.04
.02
0
-.02
-.04
0
20
40
60
80
100
t
Residuals
Residuals
自相关包含一阶自相关和高阶自相关。 一阶自相关：
t t 1 vt
高阶自相关：
t t 1 2 t 2 ... vt
由于经济活动通常具有某种连续性或持 久性，自相关现象在时间序列中很常见。 比如，相邻两年的GDP 增长率、通货膨 胀率。又比如，某个意外事件或新政策 的效应需要逐步地随时间推移而释放出 来；滞后的调整过程，比如，最优资本 存量需要通过若干年的投资才能逐渐达 到。
1
.. n1
Var
(
)
2
2
.
1
...
n2
. ... .
n1 n2 ... 1
异方差经常出现在截面数据中，因为在截面数据中
经常会出现 i j 的情况。
解决方法：异方差稳健的标准差。 FGLS（可行性广义最小二乘法）
自相关经常出现在时间序列数据中，因为在时间序
列数据中，经常会出现的 Cov( i, j) 0
的情况。
面板数据可以看作是截面数据和时间序列的集合， 所以既有可能出现异方差，又有可能出现自相关。
截面数据的残差图
1000 1500
500
0
-500
0
20
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Residuals
Residuals
. 0
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2 2
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.
...
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0
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2 n
2 .. n1
2 ... n2
.
.
...
.
n1 n2 ... 2
异方差
自相关
如果存在自相关：随机误差项的方差-协方 差矩阵的非主对角线上的元素不为0 。
D.W检验步骤: （1）计算DW值
DW 2(1 )
（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界 值dL和dU （3）比较、判断
若 0<D.W.<dL
存在正自相关
dL<D.W.<dU
不能确定
dU <D.W.<4－dU
无自相关
4－dU <D.W.<4－ dL 不能确定
4－dL <D.W.<4
use B2_lutkepohl.dta, clear tsset year reg consum income predict e1, res scatter e1 income,yline(0) ac e1 pac e1
2。DW检验：只能检验一阶自相关的序列相 关形式，并且要求解释变量严格外生。
存在负自相关
不
正
能
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确
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定
0 dL dU
无自相关
2
不 能负 确相 定关
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M
n 1
1 2
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1)
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