向量的数量积运算律

b (2a b) 0
3.若 c a, 且 a 1, b 2, c a b, 求向量 a, b 的夹 角。
a, b 1200
课后巩固
1.已知
a 6, b 8, a, b 120 ，
0
求
a b , a b.
2
2.用内积运算，证明长方形的两条对角线相等。
AB BC
2
19
AC 19 即边长AC = 19
·
探究四 数量积的运算律应用（三）
已知 a 6, b 4,
求（1） a 2b a 3b


a 与 b 的夹角为60°，

（2） 当且仅当 k 为何值时，a 2b 与 k a b 互相垂直？
思路探究（1）用向量数量积定义及运算律
2 2
求证：
2
2
2
证明： 1
a b a b
2 2
a a a b b a bb a 2a b b
(2) （a+b） （ a b） a a a b b a bb a b
2 2
探究三 数量积的运算律应用（二）
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已知：ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线 求证： AC BD
思路探究：将线线垂直转化为向量垂直
证明：
AC = AB AD， BD AD AB
2 2
AC BD ( AB AD) ( AD AB) AD AB AD AB AC BD 0 AC BD
知识回顾
1. 向量的数量积定义
a ·b=|a| |b|cos<a,b>
(1)e a a e | a | cos a , e
(2)a b a b 0 2 (3)a a | a | 或 | a | a b (4) cos | a || b | (5) | a b || a || b |
a, b, c
和实数 ，则向量的数量积满足：
a b b a
（交换律）
（2） ( a) b (a b) a (b) （数乘结合律） （ 3）
(a b) c a c b c （分配律）
探究二 数量积的运算律应用（一）
（ 1 ） ab
| a | 2a b | b | a b a b | a | | b | （2）
(a b) c a c b c （分配律）
当堂检测
1. 已知向量 a, b 的夹角为600 ，且 a 3, b 3,则 a b =（ A ） A 3 3 B 3 C 3 2 D 2 3 0 120 2. 已知向量 a, b的夹角为 ，且 a b 4, 求 b (2a b)
a b a b 0 （2）
（ 1） 解析： a 2b a 3b =a
2
2
3a b +2a b 6b
2
2
a a b 6b 72
36 6 4 cos 600 6 16 （2）若 a 2b k a b , 则 a 2b k a b =0
小结：先将几何问题转换为向量问题， 再利用 向量数量积及运算律解决此问题.
跟踪练习
在 ABC中，已知边长AB=3，BC =5，ABC=600， 求边长AC.
解析： AC AB BC ,
AB BC
2
AB 2 AB BC BC
2
2
32 2 3 5cos1200 52 19 AB BC
将结合律中的某一向量换成数
？ ？ ( a) b (a b) a (b) ？ ？ (a b) c a c b c ？
分配律：
探究一 分配律的证明 思路探究：
(a b) c a c b c
a e
只需证
a e | a | cos a, l
求：（1） a b （2） (a b) (a 2b) .
思路探究（1）利用向量数量积定义及运算律
利用 a （2）
a 求解
2
课堂小结
平面向量数量积的运算律
已知向量 （1）
a, b, c
和实数 ，则向量的数量积满足：
a b b a
（交换律）
（2） ( a) b (a b) a (b) （数乘结合律） （ 3）
l
(a b) c0 a c0 b c0
分配律证明：
任取点O，作OA a,AB b,OC c
设点O,A,B在向量c上的射影为O,A1,B1, 根据向量的数量积的定义,
有 a c0 OA1 c0 OA1
b c0 AB c0 A1B1
A
(a b) c0 OB c0 OB1 又 OB1 OA1 A1 B1
(a b) c0 a c0 b c0
上式两边同时乘以|c|， 得 (a b) c a c b c
b a
A1 C0 B
O
c
B1
C
平面向量数量积的运算律
已知向量 （1）
结合律：
（ a b ） c a (b c)
将结合律中的某一向量换成数
分配律：
？ ？ ( a) b (a b) a (b) ？ ？ (a b) c a c b c ？
讨论结果 探 究
交换律
a b b a
数乘结合律 结合律：
（ a b ） c a (b c)



2


a 2b k a b =k a + 2k 1 a b 2b
36k 12 2k 1 32 60k 44 0 k 11 时，a 2b k a b 15
2



跟踪练习
已知： a 4, b 2, a, b 1200
2.数量积的重要性质
a a
我们小学时学过数与数相乘，它们满足哪些运算律？
1.交换律 ab ba 2.结合律 a bc ab c b ac 3.分配律 a b c ac bc
探 究
向量的数量积是否具有类似 于数量乘法那样的运算律？
交换律
a b b a