第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.

关键词： 曲面积分；曲线积分

1 引 言

第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的

重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.

2 第二型曲线积分

例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线

o （0，0） 的弧.

方法一：利用格林公式法

L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫

∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的.

解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L ,

()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x

x

L I e y b x y dx e y ax dy

e y b x y dx e y ax dy

=-++---++-⎰⎰U

记为12I I I =- ，

则由格林公式得：()1cos cos x x

D D

Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ⎛⎫∂∂⎡⎤=-=---- ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰

()()22

D

b a dxdy a b a π

=-=

-⎰⎰

其中D 为1L L U 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

因而：()222I bx dx a b =-=-⎰ ，从而

()22231222222I I I a b a a b a b a π

ππ⎛⎫

=-=

-+=+- ⎪⎝⎭

方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解

（1） 若 P Q y x

∂∂=∂∂（与路径无关的条件）， 则 ()

()

()()1111

000

,01,,,A x y x y B x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰⎰

（2） ()(),x t y t φϕ==

()()()()()()()()'',,AB Pdx Qdy P t t t Q t t t dt β

α

φϕφφϕϕ⎡⎤+=+⎣⎦⎰⎰ α是起点 β是终点

解： ()()()sin cos x x L

I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰

()sin cos x x L

L

e ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰

记为12I I I =- ,

对于1I ，积分与路径无关，所以

()

()0,02,0sin cos sin 0x x x

a e ydx e ydy e y

+==⎰

对于2I ，取L 的参数方程sin sin x a a t

y a t

=+⎧⎨=⎩，t 从0到π，得

()()2

2

2

2

3230

223

sin sin cos sin

cos cos 11

222

L

b x y dx axdy a b t a b t t a b t a t a t dt a b a a π

ππ++=---++=--+⎰⎰

从而 23222I a b a ππ⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

对于空间第二曲线一般的解题过程为：L

Pdx Qdy Rdz ++⎰

若L 闭合，P,Q,R 对各元偏导数连续

L

dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

∑

∂∂∂

++=∂∂∂⎰

⎰⎰

若L 非闭，其参数方程为

()()()()()()()()()()()()()()(),,',,',,'P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

βα

⎡⎤++⎣⎦⎰

其中： ()

()()

x x t y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪

=⎩α，β分别为L 的起点，终点参数值.

例2 计算空间曲线积分I=

()()()y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰Ñ，其中曲线L

为圆柱面222x y a +=与平面1x z

a h

+=的交线()0,0a h >>，从X 轴正向看，

曲线是逆时针方向.

方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用[]0,2π上

三角函数的正交性.

解： 令 cos ,sin x a t y a t ==， 则

()cos 111cos x a t z h h h t a a ⎛⎫⎛⎫

=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

于是I=

()()()(){}()

sin 1cos sin 1cos cos cos cos sin sin 2a t h t a t h t a t a t a t a t h t dt a a h π--⋅-+--⋅+-⋅⎡

⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+⎰方法二：解 ：2dydz

dzdx dxdy

I dydz dzdx dxdy x y z y z

z x

x y

∑

∑∂∂

∂

==-++∂∂∂---⎰⎰

⎰⎰ {}()2

1,1,1,0,1212xy D D h h dxdy dxdy a h a a a π⎧⎫⎛⎫=-⋅=-+=-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝

⎭⎰⎰⎰⎰

3 第二型曲面积分