第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.

关键词：曲面积分；曲线积分

1 引言

第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的

重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.

2 第二型曲线积分

例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线

o （0，0）的弧.

方法一：利用格林公式法

L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ??

??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的.

解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L ,

()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x

L I e y b x y dx e y ax dy

e y b x y dx e y ax dy

=-++---++-??U

记为12I I I =- ，

则由格林公式得：()1cos cos x x

D D

Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ???????????

()()22

b a dxdy a b a π

=-=

-??

其中D 为1L L U 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

因而：()222I bx dx a b =-=-? ，从而

()22231222222I I I a b a a b a b a π

ππ??

=-=

-+=+- ???

方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解

（1）若 P Q y x

??=??（与路径无关的条件），则 ()

()

()()1111

000

,01,,,A x y x y B x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy +=+???

（2） ()(),x t y t φ?==

()()()()()()()()'',,AB Pdx Qdy P t t t Q t t t dt β

φ?φφ????+=+???? α是起点 β是终点

解： ()()()sin cos x x L

I e y b x y dx e y ax dy =-++-?

()sin cos x x L

e ydx e ydy b x y dx axdy =+-++??

记为12I I I =- ,

对于1I ，积分与路径无关，所以

()

()0,02,0sin cos sin 0x x x

a e ydx e ydy e y

+==?

对于2I ，取L 的参数方程sin sin x a a t

y a t

=+??=?，t 从0到π，得

()()2

3230

223

sin sin cos sin

cos cos 11

222

b x y dx axdy a b t a b t t a b t a t a t dt a b a a π

ππ++=---++=--+??

从而 23222I a b a ππ??

=+- ???

对于空间第二曲线一般的解题过程为：L

Pdx Qdy Rdz ++?

若L 闭合，P,Q,R 对各元偏导数连续

dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

∑

???

++=????

若L 非闭，其参数方程为

()()()()()()()()()()()()()()(),,',,',,'P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

βα

??++???

其中： ()

()()

x x t y y t z z t =??

=??

=?α，β分别为L 的起点，终点参数值.

例2 计算空间曲线积分I=

()()()y z dx z x dy x y dz -+-+-??，其中曲线L

为圆柱面222x y a +=与平面1x z

a h

+=的交线()0,0a h >>，从X 轴正向看，

曲线是逆时针方向.

方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用[]0,2π上

三角函数的正交性.

解：令 cos ,sin x a t y a t ==，则

()cos 111cos x a t z h h h t a a ????

=-=-=- ? ?????

于是I=

()()()(){}()

sin 1cos sin 1cos cos cos cos sin sin 2a t h t a t h t a t a t a t a t h t dt a a h π--?-+--?+-??

???????=-+?方法二：解：2dydz

dzdx dxdy

I dydz dzdx dxdy x y z y z

z x

x y

∑

∑??

==-++???---??

?? {}()2

1,1,1,0,1212xy D D h h dxdy dxdy a h a a a π????=-?=-+=-+?? ????

?????

3 第二型曲面积分

例 3 计算曲面积分

(

)

z x dydz zdxdy +-∑

??，其中∑为旋转抛物面

()2

212

z x y =

+ 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.

方法一：利用两类曲面积分的联系

()cos cos cos Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds αβγ++=++???? ()1

其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑上点（x ，y ，z ）处的法向量的方向余弦.

解： {},,1n x y =-v

，

{

}

cos ,cos ,cos n αβγ=??=r (

)

(

2z x dydz zdxdy z x z ds ∑

∑??+-=+-?????

222∑

∑

(

)22

21D

x x y +

()22212D x x y dxdy ??=

++???

??? 222

cos 82r d rdr π

θθπ??

+=????

方法二：分面投影法

如果∑由(),z z x y =给出，则

()(),,,,,xy

D R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±????∑

???? ()2

如果∑由(),x x y z =给出，则

()(),,,,,yz

D P x y z dydz P x y z y z dydz =±?

???∑

???? ()3 如果∑由(),y y z x =给出，则

()(),.,,,zx

D Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx =±?

???∑

???? ()4 等式右端的符号这样规定：如果积分曲面∑是由方程

()()()

(),,,,x x z y y y x z z z x y ===

所给出的曲面上（前，右）侧，应取“+”，否则取“-”. 解：(

)(

)

z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑

∑

+-=+-??????

()

()()2

22z x dydz z x dydz z x dydz

∑

∑∑=+=+++??????后

前

(

(22yz

D D z dydz z dydz =--????

20244yz

D dy π===?

()22

12xy

D zdxdy x y dxdy ∑

=-+????22300142d r dr πθπ=-=-??

所以

(

)

8z x dydz zdxdy π∑

+-=??

方法三：合一投影法

前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.

事实上，如果∑的方程(),z z x y =， (),xy x y D ∈，（xy D 是∑在xoy 面上的投影区域），函数,,P Q R 在∑上连续时，则单位法向量为

n e u u r

={}cos ,cos ,cos αβγ

Z ??-=± 由于投影元素 cos dydz ds α=， cos dzdx ds β=，cos dxdy ds γ=，于是得到

cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x y dydz ds ds dxdy Z dxdy dzdx ds ds dxdy Z dxdy

αα

αγγγ

ββ

βγγγ==

==-====-

所以

()()()()()()()(){}

()(),,,,,,,,,,,,,,,,,xy

x y D x y D P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

P x y z x y Z x y Q x y z x y Z x y R x y z x y dxdy P Z Q Z R dxdy

∑

++??=±?-+-+???????

?????????????=±?-+?-+???????? 等式右端的符号这样确定：如果∑是由方程所给出的曲面上侧，取“+”，否则取“-”. 当∑可用显示方程(),y y z x =或(),x x y z =表示时，只需注意到此时∑的法向量为{},1,x x y y y ---或{}1,,y z x x --，可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.

解：()221

z x y =+，∑在xoy 面上的投影区域：xy D =(){}

22,4x y x y +≤，

又∑的下侧，x z x =，故由上式可得：

(

)

()()()()22222222222222

114212cos 82xy xy D D z x dydz zdxdy x y x x x y dxdy

x x y dxdy

r d r rdr π

θθπ∑

????

+-=-++--+?????

?????

=-++??????=+=????

????????

方法四：高斯公式

,,P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω??

???++= ?????

??????ò 解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面12z =∑的上侧，则

用高斯公式

()1

00z

x dydz zdxdy dv Ω

++-==∑∑?????

所以 ()()1

22z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy +-=-+-∑∑????

又

()1

028xy

D z

x dydz zdxdy zdxdy dxdy π+-=-

-=-∑∑??????

所以 ()

8z x dydz zdxdy π∑

+-=??

4 小结

从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且

吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用. （指导教师：吕国亮）

参考文献

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[5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001. 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科

学学报》，1989，5（2）：106-112.

[8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007(1):12-15.