重庆市开县实验中学2013-2014学年高二下学期期末训练数学试题(一) Word版含答案

重庆开县实验中学2014级高二下期末训练（一）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．复数2
i i z +=在复平面内所对应的点位于第（ ）象限. A ．一 B ．二 C ．三
D ．四
2．函数)(x f 可导，则 x
f x f ∆-∆+3)
2()2(等于：（ ） A ．)2(f '
B ．)2(3f '
C ．
)2(3
1
f '
D ．)2(f '
3．函数)4
3(sin 3
π
+
=x y 的导数是：（ ）
A ．)4
3cos()4
3(sin 32
π
π
++x x
B ．)4
3cos()4
3(sin 92
π
π
+
+
x x
C ．)4
3(sin 92π
+x
D ．)4
3cos()4
3(sin 92
π
π
+
+
-x x
4．
⎰
+1
2 ）（dx x e x 等于：
（ ） A ．1
B ．1-e
C ．1+e
D ．e
5．如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导函数)(x f y '=的图象可能是：（ ）
6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： （1）→
→→
→⋅=⋅a b b a
（2）)()(→
→→→→
→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a （3）→
→→→→→
→⋅+⋅=+⋅c a b a c b a )(
（4）由)0(→
→
→→→
→≠⋅=⋅a c a b a 可得→
→
=c b
以上通过类比得到的结论正确的有：（ ）
A ．１个
B ．２个
C ．３个
D ．４个
7．（1）若C z ∈，则02
≥z ；
（2）R b a ∈,且b a =是i b a b a )()(++-为纯虚数的充要条件； （3）当z 是非零实数时，21
≥+
z
z 恒成立； lim x ∆→0
（4）复数的模都是正实数. 其中正确的命题有（ ）个.
A ．０
B ．１
C ．２
D ．３
8．函数x y x y cos ,sin ==在区间)4
5,4(
π
π内围成图形的面积为：（ ）
A ．2
B ．22
C ．23
D ．24
9．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数
⎩⎨
⎧≤=,)(),()(M M
x f x f x f M ，取函数x e x x f ---=2)(，若对任意的R x ∈恒有)()(x f x f M =，则：（ ） A ．M 的最大值为2
B ．M 的最小值为2
C ．M 的最大值为1
D ．M 的最小值为1 10．设c bx ax x x f +++=
22131)(2
3，当)1,0(∈x 时取得极大值，当)2,1(∈x 时取得极小值，则1
2--a b 的取值范围为：（ ）
A ．)4,1(
B ．)1,21(
C ．)1,41(
D ．)2
1
,41(
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡相应位置上）。

11．已知
ni i
m
-=+11，其中m 、n 为实数，则=+n m . 12．已知ax e x f x -=)(在0=x 时有极值，则=a . 13．
⎰
-=-+3
2
2616 dx x x .
14．已知c ＞10，1,1--=-+=c c N c c M ，则M 、N 的大小关系是M N . 15．曲线)12ln(-=x y 上的点到直线082=+-y x 的最短距离是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

16．（本小题满分13分）
已知函数a x x x x f +++-=93)(2
3
. （1）求)(x f 的单调区间和极值；
（2）若方程0)(=x f 有三个不等的实根，求实数a 的取值范围.
)(x f ＞M
17．（本小题满分13分）
已知函数x x x x f 116)(23+-=，其图象记为曲线C . （1）求曲线C 在点))3(,3(f A 处的切线方程l ；
（2）记曲线C 与l 的另一个交点为))(,(22x f x B ，线段AB 与曲线C 所围成的封闭图形的
面积为S ，求S 的值. 18．（本小题满分13分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且满足n a ＞0，*)(22
N n n a S n n ∈+=.
（1）求321,,a a a ；
（2）猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 19．（本小题满分12分）
已知函数nx x m x x f +-+=
23)1(2
1
31)(（m 、n 为常数）. （1）若)(x f 在1=x 和3=x 处取得极值，试求n m ,的值；
（2）若)(x f 在),(1x -∞、),(2+∞x 上单调递增，且在),(21x x 上单调递减，又满足
12x x -＞1.求证：2m ＞)2(2n m +.
20．（本小题满分12分）
已知函数143
41ln )(-+-
=x
x x x f .
（1）求函数)(x f 在)2,0(上的最小值；
（2）设42)(2-+-=mx x x g ，若对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒
成立，求实数m 的取值范围. 21．（本小题满分12分）
给出定义在),0(+∞上的三个函数：x x f ln )(=，)()(2x mf x x g -=
x m x x h -=)(，已知)(x g 在1=x 处取极值.
（1）求m 的值及函数)(x h 的单调区间； （2）求证：当),1(2e x ∈时，恒有)
(2)
(2x f x f -+＞x 成立.
重庆开县实验中学2014级高二下期末训练（一）答案
一、选择题（每小题5分）
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 9．D 10．C 提示：９．M x f M x f ≤⇔≤⇔max )()(恒成立原命题
x e x f -+-='1)( 0,0)(,00)(><'<>'x x f x x f 得令得令 1,1)(max ≥∴=∴M x f
10．)
2,1(),1,0(02)(21212
∈∈=++='x x x x b ax x x f 其中，的两根分别为由题意得：则0
)2(0)1(0
)0(>'<'>'f f f ⇔04220120>++<++>b a b a b 然后用线性规划解出答案
二、填空题（每小题5分） 11．3 12．1 13．
π4
25
14．< 15．52 提示：14．假设M<N,则c c c c c c c 21111<++⇔-<-+－－
平方得：c c c c c c c <-⇔<-++-++14112112
再平方得：N M ,122<∴<-立显然成立，所以假设成c c 15．设切点坐标),(00y x ，由题意得21
22)(00=-=
'=x x f k
525
8
012)0,1(,10=+-⨯=
=∴d x 式得，由点到直线的距离公切点坐标为
三、解答题 16．（13分）
解：（１）.963)(2++-='x x x f ………………………………………………………２分
).3,1()(.31,0)(-<<->'的单调递增区间为所以函数解得令x f x x f ………………4分 ),3(),1,()(.31,0)(+∞--∞>-<<'的单调递减区间为所以函数或解得令x f x x x f ……
…………………………………………………………………………………………………６分
27)3()(,5)1()(+=-=-∴a f x f a f x f ＝＝极大值极小值…………………………………８分
（２）由（１）知若有三个不等的实根，则方程,0)(=x f
05-a 027a {<>+ …………………………………………………………………………………11分
解得-27<a<5 …………………………………………………………………………………12分 所以a 的取值范围是（-27,5）………………………………………………………………13分 17．（13分）
解（１）,6)3(,2)3(,11123)(2
=='+-='f f x x x f 又
.2),3(26x y x y l =-=-∴即为切线方程………………………………………………６分
（２）
x
x x y x y 116223{
+-==)0,0(B 得……………………………………………………10分
…………………………13分
1８．（13分）
解：（１）分别令n=1,2,3得
∵
，∴
，
，
．…………………………………………………3分
n a n =猜想：)2(……………………………………………………………………………４分
下面用数学归纳法证明：
（1）成立；
时，当111==a n ……………………………………………………………５分 .)2(k a k n k ==时，假设当………………………………………………………………６分
k a s k n k k +=+=221时，则 12211++=++k a s k k
122211+-=++k k k a a a 两式相减得：………………………………………………………8分 0122121=-+-∴++k a a k k
0)1)(1(11=--+-∴++k a k a k k …………………………………………………………10分 01,011>+-∴>++k a a k k
1,0111+=∴=--∴++k a k a k k …………………………………………………………11分
时等式成立1+=∴k n ……………………………………………………………………12分
由（1）（2）可得成立都有对任意的n a N n n =∈*……………………………………13分 19．（12分）
解：（１）n x m x x f +-+=')1()(2
…………………………………………………1分 据题意知１、3是方程　的两根0)1(2=+-+n x m x ……………………………………３分
3,3,331,4311=-==⨯==+=-∴n m n m 即………………………………………５分 （２）由题意知，当;0)(),(),(21>'+∞-∞∈x f x x x 时，、 0)(),(21<'∈x f x x x 时，当
的两根是方程0)1(,221=+-+∴n x m x x x
n x x m x x =-=+2121,1则…………………………………………………………………７分 2121),(1x x n x x m =+-=∴
n m m n m m 42)2(222--=+-∴21212214)](1[2)](1[x x x x x x -+--+-=……９分 1)(212--=x x ………………………………………………………………………………11分
∵
，∴
，∴)2(22n m m +> ………………………………12分
20．（12分） 解：(1)243
411)(x
x x f --=
' …………………………………………………………1分 2
2434x
x x --=……………………………………………………………2分 1
00)(210)(20<<<'<<>'<<x x f x x f x 得令得令
)1,0(),2,1()(单调递减区间是的单调递增区间是函数x f ∴………………………４分 点极小值点是惟一的极值是函数极小值点，这个上，在函数1)2,0()(==∴x x f y
2
1
)1()2,0()(-
==∴f x f y 上的最小值是在函数也就是最小值点…………………５分 解法一：
（２）恒成立，
不等式若对任意　)()(],2,0[),2,0(2121x g x f x x ≥∈∈ max 2min 1)()(x g x f ≥⇔……………………………………………………………………６分 ]2,1[,42)(2∈-+-=x mx x x g
52)1()(1max -==<m g x g m 时，当
1522
1
{<-≥-m m 1<⇔m ……………………………………………………………………７分 4)()(212max -==≤≤m m g x g m 时，当
214
2
12
{≤≤-≥-m m 214
1≤≤⇔m ………………………………………………………………８分 84)2()(2max -==>m g x g m 时，当
2
842
1
{
>-≥-m m 不存在m ⇔…………………………………………………………………９分 2
14
≤
m 即…………………………………………………………………………………11分 ]2
14
(，
－的取值范围是实数∞∴m ………………………………………………………12分 解法二：
解：∵)(x f 在)2,0(上的最小值为2
1
-
， ∴对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立。

∴21)()(1min 2-=≤x f x g 即2
1
4222
2
-≤-+-mx x 恒成立
2
47
22x x m +≤
]2,1[2∈x 而
2
1424722472222=⋅≥+x x x x 当且仅当
2
47
22x x + 即2142=x 时取等号： ∴
2
14
24722472222=⋅≥+x x x x ∴m 的范围为]2
14
,
(-∞ 分则即由已知则由题设，解：分）
、（2...................................................................2,02,0)1(2)(ln )()1(12212==-='-
='-=m m g x
m
x x g x m x x g
分
上是减函数上是增函数，在　在则于是5...............................................)1,0(),1()(1
001
1)(1
01
1)(11)(,2)(+∞∴<<⇒<-='>⇒>-
='-='-=x h x x
x h x x
x h x
x h x x x h 分
即证只需证欲证即时，当8 (1)
)
1(2)()
(2)](2[)
(2)
(22
)(02ln 0),1()2(2+->+<->-+<<<<∈x x x f x f x f x x x f x f x f x e x 分
故
即时，从而当分上为增函数在区间时，当设12......................................................................................................)
(2)
(21
)
1(2)(,0)1(F )(F ),1(10............................................................................),1()(F 0
)(F 1)1()1()1()1(2)1(21)(1
)
1(2ln 1)1(2)()(F 22
22
2
2x x f x f x x x f x e x e x x e x x x x x x x x x F x x x x x x f x >-++->=>∈∴>'<<+-=
+--+-='+--=+--
=。