静力学第三章平面任意力系)

平面任意力系平衡方程讨论：

x
Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例2 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连
接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图 所示。已知AC=CB；杆DC与水平线成45o角； 载荷F=10 kN，作用于B处。设梁和杆的重量 忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的 力。
FAx A
B l
60

D
M F 0
A
l
l
FB l
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4 l 0
解方程得:
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN m
例7 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
3、联立求解。
1 FA 2G1 2.5G2 5.5G 3.8
G3 A FA G1 B
G2 G 3.0 m
1.8 m
2.0 m 2.5 m FB
4、不翻倒的条件是： FA≥0， 所以由上式可得
1 2G1 2.5G2 7.5 kN G≤ 5.5
故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN
例4 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，
F1=2 kN，F2=1.5 kN，M =1.2 kN· m， l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及
支座B的约束力。
ll
A l2 F1 M B F2
60
l1
解：1、
F1
取梁为研究对象，受力分析如图。
2、 选取坐标系，列平衡方程。
ll A l2 M B l1 F1 M B FAx FBy F2
第三章 平面任意力系
本章重点：
1、平面任意力系的简化
2、平面任意力系的平衡方程
3、物体系统平衡问题分析
4、平面桁架内力分析
平面任意力系问题的提出
§3-1
B A F′
力线平移定理
F F
F B
M
A
M M B F
作用于刚体上的力可平移至该刚体上任一点， 但须增加一附加力偶才能与原力等效，此附加力 偶的力偶矩矢等于原力对新的作用点的矩矢。
FR′≠ 0 O M ≠0 o
合力矩定理 M O FR M O Fi
平面任意力系的合力对作用面内任一点的 矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
简化中心点O到合力的作用线距离d ：
d
M F
O i
FR
简记
d
MO FR
合力作用线在
o 的哪侧，按转向一致原则确定。
利用合力矩定理对线性分布力系简化
例6 图示组合梁，已知：F = 20 kN，均布
载荷q = 10 kN/m，M = 20 kN•m，l =1 m。 30 求：A处的约束力。 q M F

解：1、取梁CD为研究对象
A
C
B l
60

D
M F 0
C
l
l
l
l FB sin 60 l ql F cos 30 2 l 0 2 F
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
6m 6m
F D G
A C
3m 1m
E
G
B
6m
解：
1、取整体为研究对象。 受力分析如图。
D
6m
6m
F C
3m 1m
E
G A
FAx FAy
A C F B
D
A
C
F B
解： 1、取AB杆为研究对象，
受力分析如图。 2、 列平衡方程:
D
建立如图所示的坐标系
y
FAy AF
Ax
F
l
45
x
0,
0,
FAx FC cos 45 0
FAy FC sin 45 F 0
l FC
C
B F
F x
y
M F 0,
主矢与简化中心无关； 主矩一般与简化中心有关（除？外）。
请思考： 固定端的约束力为何可表示
成两个力和一个力偶？
F
F A FAx
MA A FAy
平面任意力系简化结果分析
主矢：
Fi FR
i 1
n i 1
n
FR O Mo
主矩 ： M O M O Fi
平面任意力系简化结果：
解：
1、取梁AB 为研究对象，
受力分析如图。
2m FAy A FAx A
q
M B 1m
D
F
D C
M B
FD
其中F = q×AB = 300 N ，作用在 AB 的中点C。
2、选图示坐标系，列平衡方程。
y FAy
F
D FAx
x y
M B x
q A
M
B 1m
A
C
D
2m
F F
0 0
A
FAx 0
FR FR
Mo
O
FR
FR
C
x
§3-3 平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充分必要条件：
F 0
' R
Mo 0
平面任意力系平衡方程基本形式： （一矩式）

Fx = 0 Fy = 0 MO（F）= 0
三个独立的平衡方程，可解3个未知量。

平衡方程其他形式：
Fx = 0 MA（F）= 0 MB（F）= 0 MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0
FAy F FD 0
AB F FD 2 m M 0 2
FAx= 0 ， FAy= －175 N
FD
M F 0
FD= 475 N，
3、联立求解，可得
§3-4 物体系统平衡问题
物体系统： 是指由几个
物体通过约束组成的系 统。
特点：整体系统平衡，每个物体也平衡，局 部也平衡。可取整体或部分系统或单个物体 或局部为研究对象。
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
C
B A C
（三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
平面任意力系平衡方程讨论：

Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
三个独立的平衡方程，可解3个未知量 平面任意力系：
二个独立的平衡方程，可解2个未知量 平面汇交力系：
平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量 平面力偶系： 一个独立的平衡方程，可解1个未知量。
B
F
y
0,
FAy ql F sin 45 0
l M A F 0, M A ql 2 F cos 45 l M 0
y
q FAx MA
M
3、 解方程，得
45
F x
FAx F cos 45 0.707 F
FAy ql 0.707 F
G
B FBx
6m
M F 0,
1 2 M A ql 0.707 Fl M 2
A
FAy
l
B
课堂练习：梁AB上受到一个均布载荷和一
个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位 长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小 M = 500 N· m。求活动铰支座 D 和固定铰支座 A的约束力。
q A DΒιβλιοθήκη Baidu2m M B
1m
60
F
x
0
FAx F2 cos 60 0
A
M
(F ) 0
FBy l2 M F1l1 F2 (l1 l2 )sin 60 0
F2
y
FAy A
F
60 Ay
y
0
F FBy F1 F2 sin 60 0
x
3、解方程，得
FAx 0.75 kN
FAy 0.261 kN
都不是
( c)
静定问题
(a)
超静定问题
(b) (d)
超静定问题
物体系统平衡问题求解方法及步骤：
1、判断系统是否为静定结构；
2、选取研究对象（整体或构件或部分构件）， 作出受力图，并判断是否能解出未知力；若
否，进行第三步； 3、选取其它研究对象，进行步骤2，直到能解出
全部未知力； 4、列平衡方程，求出未知力。

C
30

代入数据，得
y
q
F
B
60

FB 45.77 kN
FCx C
D
FB
2、取整体为研究对象
M A

q
30

F
F
F
x
0

C
l
B
60

D
FAx FB cos 60 F sin 30 0
y
l
M q C
l
l
30

0
MA
FAy
F
FAy FB sin 60 2ql F cos 30 0
FBy 3.56 kN
例5 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设
梁上受强度为 q 的均布载荷作用，在自由端B 受一集中力 F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为 l，求固定端的约束力。
q
A l M
45
F
B
1、 解：
取梁为研究对象，受力分析如图
M
F
2、 选取坐标系，列平衡方程
q
A
l
45
F
x
0, FAx F cos 45 0
0.768 kN
主矢的大小
FRy Fy
F F 0.973 kN FR
2 Rx 2 Ry
主矢的方向：
y A 2m
F2 60° F1
2、求主矩： MO M O F
FRx cos FR , i 0.614 FR FRy cos FR , j 0.789 FR
例3 一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起
重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固 定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸 臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试 求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。
G3 A 1.8 m FA
G2
G1
2.0 m
G
2.5 m 3.0 m
y
A F2 B F3
60°
2m
F1
O C
F4
3m
30°
x
解： 求向O点简化结果
FRx Fx
1、求主矢
2m
y A
F2 60°
B
F3
F1
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598 kN
F4 C 3m 30° x
O
F1 F2 sin 60 F4 sin 30
q
ql
l
l/2
q
ql 2
2l / 3
l
q2
q1 q1
l
q2
l
q1l
(q2 q1 )l 2
2l / 3
q1l
(q2 q1 )l 2
l /3
l/2
l/2
例1 在长方形平板的O，A，B，C
点上分别作用 着有四个力：F1= 1 kN，F2= 2 kN，F3=F4= 3 kN （如图），试求以上四个力构成的力系对 O 点的 简化结果，以及该力系的最后合成结果。
§3-2
F2
平面力系向一点简化
F1
O Fn F2 M2 O M1 Mn Fn FR′ O Mo
F1
平面任意力系可简化为 平面汇交力系和平面力偶
系的组合。
力系主矢FR′ 力系主矩MO
FR Fi
i 1

n
FR′
M O M O Fi
i 1
n
O
Mo
点 O ─简化中心
请思考： 力系主矢和主矩是否与简化中心有关？

B
F3
F4 3m C
O
30°
x
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
y
A B
3、合成结果分析：
由于主矢和主矩都不为零，所以最后 合成结果是一个合力FR 如右图所示。
MO 到O 点的距离： d 0.51 m 合力 FR FR
A
FC cos 45 l F 2l 0
y FAy AF
Ax
l

l
x
45
C FC
B F
3、解平衡方程，可得
FC 2 F cos 45 28.28 kN
FAx FC cos 45 2 F 20 kN
FAy F FC sin 45 F 10 kN
B FB
解： 1、取汽车及起重机为研
究对象，受力分析如图。 2、列平衡方程。
A G1 1.8 m G3 B 2.0 m 2.5 m FB G2 G
F 0
M F 0
B
FA
3.0 m
FA FB G G1 G2 G3 0
G(2.5 m 3 m) G2 2.5 m G1 2 m FA (1.8 m 2 m) 0
①力偶：FR 0
，M
o
0 ②平衡： FR 0 ，M

o
0
③合力：其它情况
请思考：一平面力系向O点简化后
如图，则结论正确的有（ D ）
A、合成一个力偶
B、合成作用线在O左边的一个合力 C、合成作用线在O右边的一个合力 D、MO=0时，合成作用线经过O的一个合力 分析：如果MO≠0，则B正确； D 显然正确。 FR FR′≠ 0 O M o
整体平衡，局部必然平衡。
静定与静不定问题
静定问题 (statically determinate problem) —由平衡方程可解出全部未知数。
静不定问题(statically indeterminate problem) — 由平衡方程无法求出全部未知数。
请思考：下列问题属于静定还是超静定问题