斜齿轮啮合刚度的计算

武汉工程职业技术学院学报
齿
数
模
数
螺旋角
压力 角
齿
宽
变位系数
主动齿轮
４８
０．２
７ １２。 ２０。 １０５
从动齿轮
８３
—０．２
５．２ 啮合刚度计算曲线 根据前面的分析，我们研制出斜齿轮啮合刚度计算程序，因而可得到啮合刚度计算曲线。
如图４：
‘
‘
‘ ＿、＼＼
，
５
５
Ｏ
‘■
１２●
工＇土
毫５‘
３ａ０
３●‘●●●
５■■
参考文献
［１］ 唐增宝等。齿轮传动的振动分析与动态优化设计，华中理工大学出版社，１９９４年３月 ［２］Ｕｍｅｚａｗａ，Ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｍｏｍｅｎｔｓ Ｄｕｅ ｔＯ ａ Ｃｏｎｃｅｒｔｒａｔｅｄ Ｌｏａｄ ｏｎ ａ Ｒａｃｋ—Ｓｈａｐｅｄ Ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ Ｐｌａｔｅ ｗｉｔｈ Ｆｉｎｉｔｅ Ｗｉｄｔｈ ｆｏｒ Ｇｅａｒｓ，ＪＳＭＥ．Ｖｏｌ
第１３卷第２期 ２００１年６月
武汉工程职业技术学院学报 Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｗｕｈａｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ
Ｖｄ．１３．ＮＯ．２ Ｊｕｎｅ．２００１
斜齿轮啮合刚度的计算
刘景军
（武钢职工大学机械系
武汉：４３００８０）
摘要根据梅泽清彦（Ｕｍｅｚａｗａ）斜齿轮振动模型，改进后得出齿轮传动中斜齿轮啮合刚度的计算公 式，为齿轮传动动态特性的研究打下基础。
我们知道，接触线上一点ｚ处的总压缩变形可写成：
来稿日期：２０００，１１．０７ 作者简介：刘景军．男，１９６８年生．工学硕士．讲师。从事机械振动、动态优化设计等方面的研完工作。
万方数据
武汉工程职业技术学院学报
比加象Ｌ掣秽器蚴础’础
（２）
式中：ｒ——距承载点距离
Ｇ——剪切弹性模量
可——泊松比 Ｃ（Ｘ）——边界影响修正系数 吼——接触域参数，其值为赫兹接触宽度ａＨ的一半
１５．Ｎｏ．７９．１９７２：Ｐ１１６—１３０ ［３］Ｕｍｅｚａｗａ Ｋ，ｅｔ ａＬ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｎ Ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｈｅｌｉｃａｌ Ｇｅａｒ Ｐａｉｒ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ Ｌｉｇｈｔ Ｌｏａｄ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＭＰＴ’９１，ＪＳＭＥ Ｉｎｔ
Ｃｏｎｆ．Ｏｎ Ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｏｗｅｒ Ｔｒａｎｓ．，１９９１，Ｈｉｒｏｓｈｉｍａ，Ｊａｐａｎ．
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｅｓｈｉｎｇ Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ Ｈｅｌｉｃａｌ Ｇｅａｒ
Ｌｚ“Ｊ ｚｎ９３“７２ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｏｒｉｇｉｎａｔｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｎ ｈｅｌｉｃａｌ ｇｅａｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｂｙ Ｕｍｅｚａｗａ．Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｍｅｓｈｉｎｇ ｒａｇｉｄｉｔｙ ｏｆ ｈｅｌｉｃａｌ ｇｅａｒ，ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｌａｉｄ ｄｏｗｎ ａ ｆｏｕｎ— ｄａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｇｅａｒ ｄｒｉｖｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｋｓ：Ｈｅｌｉｃａｌ ｇｅａｒ，ｍｅｓｈｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓｍ，ｇｅａｒ ｄｒｉｖｅ
（５）
其中，ｒ＝·岩·百Ｌ——单位宽度上单位载荷引起的接触变形
…一
１ ｍ∞ｎ
Ｐ（善）／Ｐ。。。——纯接触引起载荷分布，由式（４）计算
４ 齿轮变形和单对齿刚度的计算
斜齿圆柱齿轮啮合时，轮齿沿倾斜的直线接触。如图２所示。 设接触线长度为２６ ７，沿接触线的载荷分布为Ｐ（善’），则一对齿轮传递的总法向载荷为：
ｆ２．４０—０·４６７３３ｘ＋０．０１３４ｘ２＋０·０３５１ｘ３
（ｘ＜７－５）
Ｃ（Ｘ）＝．｛２．１６５８７—０．２７３５８７＋０．０２１６４８ｘ２—０．００５７３ｘ３ （７．５≤Ｘ＜７．５）
（３）
１１．ｏ
（ｘ≥１５）
利用数值方法解此方程组，即可得到纯接触载荷分布的相对值Ｐｊ及其平均值Ｐ。。。，实际上纯接触引起
图４ 啮合刚度曲线
６ 结束语
能否准确求解齿轮啮合刚度是解齿轮传动系统运动方程的前提，也是进行齿轮传动动态性能分析及优 化设计的基础。对不同齿轮参数的斜齿轮传动，啮合面上的接触线位置是不相同的，本文利用自己研制的程 序，只需输入一对斜齿轮的基本参数，就能按使用者要求计算出一对斜齿轮的啮合刚度，求解精度也有了较 大提高，因而为随后进行的动态性能优化设计奠定了良好的基础。
而导出了弯曲变形影响函数的近似表达式为：
ｖ（７）
Ｋｂ（ｘ，Ｙ，ｆ，７）＝Ｕ·
ｆ（ｘ’），（ｆ’）ｇ（ｙ）ｇ（叩）
（１）
厂（Ｉ ｚ’一｝’１）ｇ（Ｉ Ｙ～叩Ｉ）
式中各式含义见文献［２］
３ 接触变形影响函数
在斜齿轮啮合期内，两齿轮间几乎都是线接触，载荷沿接触线是变化分布的。为了简化起见，我们可把 沿接触线作用的载荷分布看作无数集中载荷的集合。
＼
＼
圈１ 图２ 斜齿轮传动的啮合
广６７
Ｆ。ｄ＝Ｉ尸（｝）·ｄｆ。
（６）
设沿接触线齿面间无间隙，若只考虑齿轮的弯曲变形和接触变形，则一对齿轮的总法向变形为：
叫互＝ｆ’。，Ｋ。（ｚ，ｙ，善，７）·Ｐ（｝’）·ｄ善’＋．『：，６，Ｋｃ（ｚ，了，ｆ，叩）·Ｐ（善’）·ｄ｝７
（７）
利用式（６）和（７）可求出沿接触线的载荷分布和齿轮变形。但上述公式不便积分，可采用数值积分方法
（本文采用１０节点Ｇａｕｓｓ求积公式）。式（７）可写成数值积分形式：
叫互＝等（Ｋ吲女）呶㈤＋Ｋｃｊｉ㈤
万方数据
刘景军：斜齿轮啮合刚度的计算
３５
‰㈤。１／（毒。Ｋ６０（ｋ
（９）
由上式可算出第Ｊ条接触线上各点的局部刚度。单对齿刚度为：
Ｋ（ｒ）＝去［序㈤匆＝去耋肌）一ｐｊｃｏｓｔ，ｂＪ 一ｂ一…’。 ｃｏｓ∥ｂ ＾＝ １
关键词斜齿轮啮合刚度齿轮传动 中图分类号：ＴＨ３１２文献标识码：Ａ
１ 概述
齿轮传动作为机械传动中的一种重要形式，它亦逐步向高速、重载、高可靠性等方面发展，人们对齿轮 传动过程中所呈现的动态效应（如振动、噪声）越来越重视。因而，在近几十年内，国内外学者在齿轮研究方 面做了大量的工作。
随着齿轮动力学的诞生，直到七十 年代初，才引起人们注意。而在求解斜齿轮传动系统的运动方程时，首先需要计算斜齿轮啮合刚度。日本 学者Ｈａｙａｓｈｉ在其论文中首次提出了斜齿轮传动中沿接触线的载荷分配计算法，从而为斜齿轮刚度的计算 提供了理论基础。真正获得重大突破的是日本东京工业大学的梅泽清彦等人，他们的理论比早期的“薄片” 理论等其它方法要先进、实用许多，但尚无法考虑齿轮结构尺寸的影响，因此仍需改进。
２弯曲变形影响函数
根据日本著名学者梅泽清彦的研究，斜齿轮问题的薄板理论是不适用的。只能从变厚板理论出发，结 合斜齿轮的特点，求出其近似解。如图１所示。
２．１弯曲变形影响函数的近似表达式
利用有限差分法计算弯曲变形影响函数，需解大型矩阵方程，计算量很大，且求出的结果仅限于有限个
节点，所以要计算任一点的弯曲变形影响函数很不方便。通过有限差分法解变厚板问题，经过归纳共性，从
万方数据
ｅ（弘）
（１０）
总啮合刚度为：
Ｎ
Ｋ＝三Ｋ（ｒ）
（１１）
ｉ＝１
其中，Ｎ为同时啮合齿对数，ｒ为啮合位置或时间ｔ的函数。斜齿轮啮合刚度计算程序框图见图３。
图３ 斜齿轮啮合刚度计算程序框图
５ 斜齿轮啮合刚度的计算
我们以武钢调车用内燃机车中间齿轮箱中的一对齿轮为例。 ５．１ 中齿箱齿轮参数如表１：
万方数据
３６
的载荷分布为：Ｐｉ／Ｐ。。。＝只／Ｐ。。。。
歹＝１，２，３，…１０１
（４）
我们知道，当一集中载荷作用于一齿轮表面时，只有载荷作用点附近受到影响而产生压缩变形。为使问
题简化，我们把载荷作用点附近的影响集中到承载点，在（２）式的基础上进行变换，可求出接触变形影响函
数：
Ｋ，（｝，７）＝Ｃ（７）２ｒ／（Ｐ（｝）／（１９。。。。）