第七章 多目标函数的优化设计

0−x≤0
用误差容限法求：w j
Q x = 0时， f1 (0) = 1, f2 (0) = 3 x = 1时， f1 (1) = 2, f2 (1) = 1
根据 α j ≤ f j (x) ≤ β j α1 = 1, β1 = 2； α2 = 1， β2 = 3
∴
∆f1
=
β1 − α1 2
=
1 2
相对离差
∑ f (x) =
m
[
j =1
f
j
(x) −
f
∆ j
f
∆ j
]2
∑ 加权相对离差
f (x) =
m
λj[
j =1
f j (x) −
f
∆ j
f
∆ j
]2
平方和加权离差
m
∑ U (x) =
λ j ( f j (x) −
f
∆ j
)
2
j =1
绝对值离差
m
∑ U (x) =
λj
f j (x) −
f
∆ j
分目标函数：f1(x) = x2 +1 → min.
约束区域： D = {x 0 ≤ x ≤ 1}
f2 (x) = −2x + 3 → min.
( ) 解： min . F (x) = w1 f1(x)+ w2 f2 (x) = w1 x2 +1 + w2 (−2x + 3)
s.t.
x −1≤ 0
X ∈ R1
将各分目标转化后加权
先将各项设计指标都转化为统一的无量纲值，并且将 量级也限于某一规定范围之内．使目标规格化，然后再根 据各个目标（设计指标）的重要性用加权因子来组合“统 一目标函数”。
1、 目标函数的规格化
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。以 三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数值规范在 [0,1] 之间。
j =1
∑ ( ( ) ) w1j =
f j x(0)
q
f j x(0)
j =1
w2 j =
[ ( ) ] 1 f j x(0) − f j (x *)
1
[ ( ) ] q
∑ f j x(0) − f j (x *)
j =1
例：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此多 目标函数的选好解。
在前述的单目标优化方法的基础上，扼要介绍 多目标优化设计问题的一些基本概念、求解思路和 处理方法。
从上述有关多目标优化问题的数学模型可见，多目 标(向量)优化问题与单目标(标量)优化问题的一个本质 的不同点是：
多目标优化是一个向量函数的优化，比较向量函数 值的大小，要比标量值大小的比较复杂。在单目标优化 问题中，任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有 序的。可是对于多目标优化问题，任何两个解不一定都 可以比出其优劣，因此只能是个有序的。
要力求使各分目标仅可能接近各自的理想值，则可以认为达到
有效解中的选好解。
在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定出 一个合理的各分目标函数值构成理想解
F 0 = [ f10
f
0 2
L
f
0 m
]T
将
f
* j
与
f
0 j
在写法上统一为
f
∆ j
，在构造设计方案与理想
解之间的离差函数 f (x) 函数可取以下形式
4)传动效率尽可能高，亦即机械损耗率f4(x)尽可 能低，以节省能源。
此外，该变速箱设计时需满足轮齿不根切、不干 涉等几何约束条件，还需满足轮齿强度等约束条件， 以及有关设计变量的非负约束条件等。
按照上述要求，可分别建立四个目标函数： f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)。这几个目标函数都要 达到最优，且又要满足约束条件，则可归纳为
j =1
将式 min F (x) = [ f1 (x) f2 (x) L fm (x)]T 中的多目标函
数构造出以上几式的单目标函数作为评价函数，用评价目标函数
的解作为原多目标优化问题的最终解。其表达式为
minU (x) x∈ D ⊂ Rn
D： gu(x) ≥0
hv(x)=0
三、功效系数法
一. 基本思想：
第七章 多目标函数的优化设计方法
在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价 其优劣，往往要考虑多个目标。
例如，对于车床齿轮变速箱的设计，提出了下列要求：
1)各齿轮体积总和f1(x)尽可能小．使材料消耗减 少，成本降低。
2)各传动轴间的中心距总和f2(x)尽可能小，使变 速箱结构紧凑。
3)齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，使变速箱 运转噪声小。
给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数ηj (0≤dj ≤1)表示。对 于一个设计方案 xk , F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk), f2(xk),…, fq(xk), ，对 应q个功效系数 η1, η2,…, ηq 。
以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：
η = q η1 ⋅η2 Lηt 当 η → max. 时，
；
∆f
2
=
β2
− α2 2
= 1； 即
w1
=
1 ∆f12
=
4；
w2
=
1
∆f
2 2
=1
( ) F (x) = 4 f1(x)+ f2 (x) = 4 x2 +1 + (− 2x + 3) = 4x2 − 2x + 7
dF = 8x − 2 dx
令其为零， 得
x* =
1 ，
4
f1
(
x
*)
=
17 16
，
f2 (x*) =
例： 若能估计出上、下界，α j ≤ f j (x) ≤ β j
取规格化函数
f
' j
(x)
=

xj
2π

−
sin
tj
其中
xj
=
f j (x)−α j
β j −α j
2π
q
总目标函数： min .
F
(x)
=
∑
w
j
f
' j
(x
)
j =1
（二） 直接加权
1、容限值法：
目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量
另一种是将多目标(向量)优化问题转化为一系列单目标 (标量)优化问题来求解。
属于这一大类求解的前一种方法有：主要目标法，线性 加权和法，理想点法，平方和加权法，分目标乘除法，功效 系数法——几何平均法，极大极小法等等。属于后一种的有 分层序列法等。此外还有其它类型的方法，如协调曲线法等 等。
7.2 统一目标函数法
显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才 有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性 很小。
例7.1一个二维分目标（n=1，m=2） 的多目标优化问题为：
V − min F (x) = [ f1(x) f 2 (x)]T f1(x) = x2 − 2x f2 (x) = −x
D： 0 ≤ x ≤ 2
5 。
2
三，理想点法（目标规划）
多目标优化问题的一般式中，先求出各分目标函数在可
行域D内的最优解
(
x
* j
,
f
*)
j
（j=1，2……，m）具有函数值
向量
F* = [ f1*
f
* 2
L
f
* m
]T
上式称为理想解。
如果在本问题不存在绝对最优解的情况下，对于向量目标函
数 F (x) = [ f1(x) f2 (x) L fm (x)]T来说理想解似得不到的；但
V
−
min
F
x∈R n
s.t.
(x)
g
= min
j (x) ≥
[ f1
0
(x
(
)
j
f2 (x)
= 1,2,L,
f3(x)
p)
hk (x) = 0 (k = 1,2,L, q)
f
4
(x
)]T



在多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是， 在约束条件下，各个目标函数不是同等地被最优化，而 是按不同的优先层次先后地进行优化。例如:工厂生产： 1号产品，2号产品，3号产品，…，M号产品。应如何安 排生产计划，在避免开工不足的条件下，使工厂获得最 大利润，工人加班时间尽量地少。
2、两项加权因子： 用于一般情况
① 适用于有导数信息的情况：
wj = w1 j ⋅ w2 j
其中：w1 j是本征权，反应分目标函数的重要程度；
w2 j 是校正权，用于调整分目标函数的数量级，
w2 j =
1
∇f j (x) 2
② 适用于无导数信息的情况：
∑ ( ) wj =
w1 j ⋅ w2 j
q
w1 j ⋅ w2 j
求得最理想方案：x* = xk，F (x *)。
二. 功效系数和功效函数：
1、功效系数ηj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若ηj =1，表示效果最好，非常满意； dj =0，表示效果极差，方案不可取。
2、功效函数ηj=Φj(fj) ：描述ηj与fj之间的关系。有三
种类型：
η
η
η
a) 越大越好：fj ↑ ηj ↑， fj ↓ ηj ↓； b) 越小越好：fj ↑ ηj ↓， fj ↓ ηj ↑； c) fj 取合适的值时, ηj 最大，fj比此 区间大或小，ηj 均↓。
例：门式起重机变幅四杆机构的优化设计
有四个要求：
1. 要求E点走水平直线
f1 (x) = {max y − h}→ min ∆y = y − h
统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标优化 问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函 数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单 目标函数优化方法求解。
1．线性加权和法
线性加权和法又称线性组合法，它是处理多
目标优化问题常用的较简便的一种方法。这种方
法因为有一定理论根据，故已被广泛应用。但这
若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性 分成以下两个优先层次：第一优先层次——工厂获得最 大利润．第二优先层次——工人加班时间尽可能地少。 那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此 基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的 问题就是分层多目标优化问题。
多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最 优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但 是，一般比较困难，尤其是各个分目标的优化互相 矛盾时更是如此。譬如，机械优化设计中技术性能 的要求往往与经济性的要求互相矛盾。所以，解决 多目标优化设计问题也是一个复杂的问题。近年来 国内外学者虽然作了许多研究，也提出了—些解决 的方法，但比起单目标优化设计问题来，在理论上 和计算方法，都还很不完善，也不够系统。
< 0.1m
∆y
min
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
==
0.3m 0.5m
> 0.5m
d1 = 1 d1 = 0.7 d1 = 0.3 d1 = 0
多目标优化方法
多目标优化的求解方法甚多，其中最主要的有两大类。 一类是直接求出非劣解，然后从中选择较好解。属于这类方 法的如合适等约束法等。另一大类是将多目标优化问题求解 时作适当的处理。处理的方法可分为两种：一种处理方法是 将多目标优化问题重新构造一个函数，即评价函数，从而将 多目标(向量)优化问题转变为求评价函数的单目标(标量)优 化问题。
种方法的成功与否，在很大程度上取决于一个确
定方向的凸性条件。如果缺乏凸性，这种方法将
归于失败。所谓线性加权和法即将多目标函数组
成—综合目标函数，把一个要最小化的函数 F (x)
规定为有关性质的联合。
∑ min
x∈D
F
(x
)
=
min
x∈D

i
x =1
ωi
f
i
(x
)

使用这个方法的难处在于如何找到合理的权系 数，以反映各个单目标对整个多目标问题中的重要程 度。使原多目标优化问题较合理地转化为单目标优化 问题，且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问 题的好的非劣解。权系数的选取．反映了对各分目标 的不同估价、折衷，故应根据具体情况作具体处理， 有时要凭经验、凭估计或统计计算并经试算得出。
级的作用。
估计上、下界： α j ≤ f j (x) ≤ β j j = 1,2,L, q
( ) 若不易估计，可令α j = 0，β j = f j x(0) ；
令容限值
∆f
j
=
βj
−α 2
j
( ) 则加权因子
wj =
1 ∆f j 2
这种取法是基于要求在统一目标函数中的各项指标（分目标 函数）趋于在数量级上达到统一平衡，因此，当某项设计指标的 数值变化范围愈宽时，其目标的容限就愈大，加权因子就取较小 值；而数值变化范围愈窄时，目标的容限就愈小，加权因子就取 大值，以达到平衡各分目标函数量级的作用．
例如，设计某一产品时，希望对不同要求的A和B为 最小。一般说来这种要求是难以完美实现的，因为它们 没有确切的意义。除非这些性质靠完全不同的设计变量 组来决定，而且全部约束也是各自独立的。
对多目标设计指标而言，任意两个设计方案的优劣一 般是难以判别的，这就是多目标优化问题的特点。这样，在 单目标优化问题中得到的是最优解，而在多目标优化问题中 得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一个。如何求得 能接受的最好非劣解，关键是要选择某种形式的折衷。 所谓非劣解(或称有效解)，是指若有M个目标，f1( x0 )(i = 1,2,...m) 当要求(M—1)个目标值不变坏时，找不到一个x，使得另一 个目标函数值 fi (x)比 fi (x∗更) 好，则将此x*作为非劣解。