二次根式的运算中要注意哪些问题？.
二次根式混合运算的解题技巧
二次根式混合运算的解题技巧搞定二次根式混合运算其实没有那么复杂，只要掌握几个简单的技巧，绝对能让你在考试中游刃有余。
今天，我们就来聊聊如何在这个看似“高深”的领域里游泳。
1. 理解二次根式的基本概念1.1 什么是二次根式？首先，二次根式就是像√a这样的表达式。
√表示根号，a是根号下面的数。
比如√9，就是3，因为3*3=9。
说白了，根号里的数你要找出一个平方等于它的数。
1.2 根式的简化简化根式就像整理房间，找出里面的“垃圾”并处理掉。
比如√18，可以分解成√(9*2)，再把它分成√9和√2，最后得到3√2。
这样一来，根式就变得更简洁啦！2. 二次根式混合运算的基本技巧2.1 加减运算的规则加减根式的时候，根号里的数得相同。
就像“吃瓜群众”只能看同一个热搜，才能讨论。
比如√2 + 3√2 = (1+3)√2 = 4√2。
如果根号下的数不同，就得先简化，或者把它们转化为相同的根式。
2.2 乘除法的应用乘法比较简单，像√a * √b = √(a*b)。
举个例子，√3 * √6 = √18。
再简化一下，√18 = 3√2。
除法也类似，√a / √b = √(a/b)。
比如√20 / √5 = √4 = 2。
运算时，把复杂的根式搞定，结果就会变得清晰明了。
3. 综合运算的解题思路3.1 先简化再运算混合运算的时候，先把每一项尽量简化。
比如√50 √18 + 2√2。
我们先把√50和√18都简化，√50 = 5√2，√18 = 3√2。
然后带入原式变成5√2 3√2 + 2√2，最后合并同类项得到4√2。
简化后的运算就容易多了。
3.2 注意符号和分母的处理如果遇到分母里有根号的情况，记得有理化分母。
比如1 / √2，可以通过√2 /√2 变成√2 / 2，这样分母就没有根号啦。
搞定这些细节问题，运算才能最终完美无瑕。
4. 练习题目，稳扎稳打别忘了，多做练习是最重要的。
就像练瑜伽，开始可能觉得难，但坚持下去，就能越来越熟练。
二次根式数学知识点
二次根式数学知识点二次根式数学知识点11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式数学知识点2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。
二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0，b=0；若√a+|b|=0，则a=0，b=0；若√a+b2=0，则a=0，b=0。
初中数学中的二次根式的易错点和考试重点，你都知道吗？
初中数学中的⼆次根式的易错点和考试重点，你都知道吗？
说到数学的⼆次根式的，很多⼩伙伴都表⽰累觉不爱，今天晓⽼师和凯哥就和⼤家梳理下相关
知识，赶紧收藏吧！
在学习⼆次根式中，有三⼤易错点：
1、求⼆次根式中字母的取值范围，忽略了分母不为0的情况；
2、忽视隐含的条件；
3、错误运⽤了结合律.
⽽接下来这⼆⼤知识点主要为⾼频考点中考频率五星
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知识点1：⼆次根式的化简
最简⼆次根式：在根号内不含分母，不含开的尽⽅的因数或因式叫做最简⼆次根式.
凯哥点评：判断最简⼆次根式的过程中要注意：
（1）在⼆次根式的被开⽅数中，只要含有分数或⼩数，就不是最简⼆次根式；
（2）在⼆次根式的被开⽅数中的每⼀个因式（或因数），如果幂的指数⼤于或等于2，也不是最简⼆次根式．
知识点2 ⼆次根式的混合运算
1、⼆次根式的混合运算包括⼆次根式的加、减、乘、除、乘⽅、开⽅运算.
2、⼆次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和⽆理数的混合运算.
因此：
（1）运算顺序与有理数的混合运算；
（2）运算律仍然适⽤；
（3）与多项式的乘法和因式分解类似，可以利⽤乘法公式与因式分解的⽅法来简化⼆次根式的有关运算；
（4）对于分母含有⼆次根式的代数式，要掌握有理化的⽅法，化分母为整式。
凯哥点评：本题要注意运算顺序．分母有理化是根据平⽅差公式使分母不含⼆次根式．。
二次根式的运算中要注意哪些问题？
一、二次根式的运算
面积是 2 的正方形的边长是多少？面积是 8 的正
方形的边长是多少？
8 2
因为一个面积是 8 的大正方形可以分成 4 个面积是 2 的小正方形，所以大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍，即 8=2 2．
一、二次根式的运算
小正方形的面积是 a，大正方形的面积是 4a，那 么大正方形的边长又是小正方形的几倍呢？
（1）二次根式相加减，先化简每个二次根式，再 合并同类二次根式．防止：
①该化简的没化简；
计算： 8－ 12＝
．
②不该合并的合并；
不是同类二次根式的二次根式不能合并，
如 2＋ 3，应为最终结果，而有的错误的合并为 5．
五、二次根式运算注意事项
（2）乘法公式在二次根式运算中的运用
计算：（1）( 2＋ 3)( 2－ 3)； （2）( 2＋ 3)2．
五、二次根式运算注意事项
（3） a b有意义，那么 ab一定有意义；反之，
ab有意义， a b不一定有意义，因为 a、b 可以同为
负数，同样， a有意义，那么 b
ab一定有意义；反之，
ab有意义，
a不一定有意义，因为 b
a、b
可以同为负
数．
错误： （－4）×（－9）＝ （－4）× （－9）
三、二次根式化简
5．被开方数是隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
∴a －1a＝a
(－1 a)＝a
(－a) (－a) (－a)
＝a
(－－aa)2＝a
－a
－a
＝－aa －a＝－ －a．
中考数学复习指导：二次根式运算的“四注意”
二次根式运算的“四注意”二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点：一、注意运算顺序问题二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．例1(2．=．解：原式===33=+就说明：计算时注意运算顺序，另外，除法没有分配律，(21错了．二、注意运算法则问题在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式可以看作“多项式”，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式等）在二次根式的运算中仍然适用．例2．计算：（2+3―6）（2―3―6）．解：原式=〔（2―6）＋3〕〔（2―6）―3〕=（2―6）2―（3）2=8―23―3=5―23．三、注意熟练进行二次根式计算和化简在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧． １．因式分解法 例４．化简：yy ++χχ+χχχy y y+2解：原式=yy ++χχ+()yy y+χχχ2=yyy +++χχχ2=yy ++χχ2)(=χ+y２．观察法例５． 设等式y a a x a y a a x a -+-=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ,x ,y 实数，则22223yxy x y xy x +--+的值为（ ）． 解：由二次根式定义知：a －y ≥0,x －a ≥0,a (x －a )≥0,a (y －a )≥0, ∴a ≥0且a ≤0∴a =0∴已知等式可化为o y x =-，∴x = -y . ∴222222)()(3y y y y y y ++----=223y y =31．３．凑零法 例６． 已知χ=132- 求2χ+1+χ的值．解：由χ=132-=13+，得31=-χ，两边平方后整理得0222=--χχ,∴原式=34313003)22(2=+++==-+--χχχ．４．倒数法例７． 当32-=χ时，求代数式3)32()347(2++++χχ的值． 解：由32-=χ，得321+=χ，∴原式=323113113)32()32(2222+=++=+⋅+⋅=+++⋅+χχχχχχ．５．整体代入法 例８． 已知2323-+=χ，2323+-=y ，求代数式22)()(y y y y +-++χχχχ的值．解：由已知得625+=χ，625-=y ，∴10=+y χ，1=y χ，∴原式=9910110110122-=-+． ６．换元法例９．已知11122=-+-a b b a ，求22b a +的值． 解：设=-21a χ＞0，则122χ=-a ，由已知得χb b a -=-112两边平方得222221χχb b b a a +-=-，)(212222χχ++--a b b a =0， 0222=+-∴b b χχ，0)(2=-χb ，b =χ,b a =-∴21,122=+∴b a ．四、探索与思考：１．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”．①322322=+（ ） ②833833=+（ ） ③15441544=+（ ） ④24552455=+（ ） （2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n 的式子将其规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．２．如图１，所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．图１３．细心观察如图２，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+ S 1=21； 31)2(2=+ S 2=22； 41)3(2=+ S 3=23…… （1）请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长．（3）求出210232221S S S S ++++ 的值． ４．先将23222xx xx x -÷--化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值． 答案与提示：１．答案为①∨②∨③∨④×．（2）、（3）略。
二次根式易错点和典型题
二次根式易错点和典型题二次根式是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。
然而，学生在学习二次根式时常常会遇到一些易错点和典型题。
本文将针对二次根式的易错点和典型题进行详细的讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
易错点一：二次根式的化简在化简二次根式时，学生常常容易遗漏或错误地进行操作。
化简二次根式的基本原则是尽量将根号内的式子化为最简形式，常用的化简方法有去除平方因子、合并同类项以及有理化等。
需要注意的是，在合并同类项时，要注意系数的合并和符号的运算，容易混淆。
此外，有时候还需要利用公式进行化简，例如平方差、平方和等。
易错点二：二次根式的运算在进行二次根式的运算时，学生常常会将根号外的系数运算错误，或是忽略运算规则。
例如，在计算二次根式乘法时，要注意乘法运算的顺序，同时要注意系数和指数的运算。
另外，对于二次根式的除法和加减法，一般需要先进行有理化处理，然后再进行运算。
典型题一：二次根式的简化题目：将 $\sqrt{12}$ 化简为最简形式。
解析：首先，我们找到根号内的平方因子，发现12可以写成4和3的乘积。
因此，我们可以将 $\sqrt{12}$ 化简为 $\sqrt{4 \cdot 3}$。
接下来，利用乘积的性质，我们可以将其进一步化简为 $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$。
再利用平方根的性质，我们可以得到最终结果为 2$\sqrt{3}$。
典型题二：二次根式的运算题目：计算 $(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 1)$。
解析：首先，我们利用乘法公式将括号内的乘积展开，得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
然后，我们化简相同项，得到 $2 +2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
接下来，我们再次合并同类项，得到最终结果为 $-1 +\sqrt{2}$。
二次根式的运算知识点及经典试题讲义
二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：ab b a =⋅（0≥a ，0≥b ），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=. 知识点二、积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a ，0≥b 才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； （2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a 形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：baba =（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质bab a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0. （2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：bab a =（0≥a ，0>b ） ② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数； (2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外； (5)化去分母中的根号； (6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.知识点与讲义3二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； (3)合并同类二次根式. 知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式. 规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算 (1)×； (2)×； (3)×； (4)×.解：(1)×=； (2)×==；(3)×==9； (4)×==.2、计算：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2； (2)==×2=2；(3)===2； (4)===2.3、化简(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)； (2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三知识点与讲义5【变式1】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x ≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)； (2)-3÷()× (a ＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)； (2)； (3)； (4)； (5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.知识点与讲义7总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；• 事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算 9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三 【变式1】计算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)； (4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15； (2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)× (2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3知识点与讲义9原式=+y2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知x=2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？ 解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2， x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.【变式1】对于题目“化简求值：1a+2212aa+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a+2212aa+-=1a+21()aa-=1a+1a－a=2495aa-=知识点与讲义11乙的解答是：1a +2212a a+-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式： 1. 使式子4x -有意义的条件是 。
二次根式的化简与运算规则
二次根式的化简与运算规则在初等代数中，我们经常会遇到各种根式的化简与运算问题。
其中，二次根式（即包含平方根的式子）是一种常见形式。
在本文中，我们将介绍二次根式的化简方法和相应的运算规则。
一、二次根式的化简当我们遇到一个二次根式，想要化简它时，可以遵循以下方法：1. 化简平方根的因数如果二次根式中的平方根有因数，我们可以将其化简为一个不含平方根的数。
例如，√12可以化简为2√3。
2. 合并同类项如果二次根式中的多个平方根具有相同的根指数，并且它们的系数可以合并，我们可以将它们合并为一个平方根。
例如，3√2 + 2√2可以合并为5√2。
3. 分解平方根的积当二次根式中有平方根的积时，我们可以使用分解平方根的积的方法进行化简。
例如，√8可以分解为√4 * √2，即2√2。
4. 使用有理化方法当二次根式中存在分母为平方根的情况时，我们可以使用有理化方法进行化简。
例如，1/√3可以有理化为√3/3。
总之，在化简二次根式时，我们可以运用因式分解、合并同类项和有理化等方法，以将其化简为更简洁的形式。
二、二次根式的运算规则在对二次根式进行运算时，有以下几个基本的运算规则：1. 二次根式的加减运算当我们对二次根式进行加减运算时，需要保证相同根指数的平方根项相同。
例如，√5 + 2√3 - √5可以化简为2√3。
2. 二次根式的乘法运算当我们对二次根式进行乘法运算时，可以将它们的系数和根指数相乘，并将相同根指数的平方根项合并。
例如，2√3 * 3√2可以化简为6√6。
3. 二次根式的除法运算当我们对二次根式进行除法运算时，可以将分子和分母的系数和根指数相除，并将相同根指数的平方根项合并。
例如，(4√6)/(2√3)可以化简为2√2。
需要注意的是，在进行二次根式的运算时，可能会遇到需要化简的情况。
因此，在运用运算规则时，我们需要结合化简方法进行综合运算。
总结：二次根式的化简与运算是初等代数中的重要内容。
通过本文的介绍，我们了解了二次根式的化简方法，包括化简平方根的因数、合并同类项、分解平方根的积和有理化方法等。
初中数学复习二次根式的运算法则
初中数学复习二次根式的运算法则二次根式是初中数学中的重要概念之一，它在代数运算中有着广泛的应用。
掌握二次根式的运算法则对于解决数学问题至关重要。
本文将为大家介绍二次根式的运算法则，并通过示例详细说明。
一、二次根式的概念和性质在初中数学中，我们将含有平方根的式子称为二次根式。
二次根式的一般形式为√a，其中a为非负数。
二次根式有以下一些重要的性质需要了解：1. 二次根式的约束条件：在二次根式中，被开方数a必须是一个非负实数或零，即a ≥ 0。
2. 二次根式的运算结果在实数范围内：对任意非负实数a和b，√a和√b都存在，并且它们的和、差、积、商也都存在。
3. 二次根式的化简：当被开方数a是完全平方数时，二次根式可以化简为一个有理数。
了解了二次根式的概念和性质后，我们将进一步介绍二次根式的运算法则。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减法对于两个二次根式的加减运算，我们需要确保它们的被开方数相同。
具体的步骤如下：Step 1：判断被开方数是否相同。
如果相同，则转到Step 3；如果不相同，则进行化简或者找到它们的最小公倍数。
Step 2：找到它们的最小公倍数，并用最小公倍数来表示两个二次根式。
Step 3：按照整数的加减法则进行运算，并保持它们的被开方数不变。
下面是一个例子：例题：计算√2 + √8 - √18。
解：Step 1：√2 和√8 的被开方数相同，都是2。
Step 2：√8 = √(2 × 4) = √2 × √4 = 2√2Step 3：根据Step 1和Step 2，√2 + √8 可以化简为√2 + 2√2 = 3√2√18 = √(2 × 9) = √2 × √9 = 3√2因此，√2 + √8 - √18 = 3√2 + 3√2 - 3√2 = 3√22. 二次根式的乘法对于两个二次根式的乘法运算，我们可以直接按照乘法的分配律进行计算。
具体的步骤如下：Step 1：将两个二次根式按照乘法的分配律展开。
初中数学二次根式的学习技巧
初中数学二次根式的学习技巧
初中数学二次根式的学习技巧主要包括以下几个方面：
1.理解二次根式的概念：首先，要理解什么是二次根式，以
及它的基本形式。
二次根式是指根指数为2的根式，也就是平方根。
例如，√4就是一个二次根式，它的值是2。
2.掌握二次根式的性质：二次根式具有一些基本的性质，如
非负性、算术平方根的定义等。
这些性质是解二次根式方程和不等式的基础，需要熟练掌握。
3.化简二次根式：化简二次根式是学习二次根式的重要步
骤。
化简二次根式的方法包括提取公因式、利用平方差公式等。
通过化简，可以将复杂的二次根式转化为简单的形式，方便进行计算。
4.掌握二次根式的运算：二次根式的运算包括加法、减法、
乘法和除法。
在进行二次根式的运算时，需要注意运算的顺序和法则，以及根式的化简。
5.注意二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使根式有
意义的未知数的取值范围。
在进行二次根式的计算时，需要注意定义域的限制，避免出现无意义的根式。
6.大量练习：通过大量的练习，可以加深对二次根式概念、
性质和运算方法的理解，提高解题速度和准确性。
7.注意细节：在学习二次根式时，要注意细节问题，如符号
的处理、根式的化简等。
这些细节问题看似简单，但却是容易出现错误的地方。
以上就是初中数学二次根式的学习技巧。
希望对你有所帮助！。
二次根式运算学生存在的问题及整改措施
题目：二次根式运算学生存在的问题及整改措施一、问题分析1. 学生对二次根式的概念理解不清学生在学习二次根式时，往往不能准确地理解二次根式的含义，无法正确区分二次根式和一次根式，容易混淆概念。
2. 二次根式运算符号使用不规范学生在进行二次根式运算时，经常存在运算符号使用不规范的情况，如混淆开平方和开立方的符号，导致计算结果错误。
3. 求二次根式的意义认识不深学生在求解二次根式时，缺乏对二次根式的意义的深刻认识，只是简单地套用公式进行计算，缺乏对数学内涵的理解。
二、整改措施1. 建立严谨的二次根式概念教师需要通过具体的例子和实际问题引导学生理解二次根式的含义，帮助学生建立严谨的概念框架，确保学生对二次根式的理解准确。
2. 规范运算符号的使用在教学中，教师应该重点强调二次根式运算符号的规范使用，让学生明确开平方、开立方的符号，在实际计算中不发生错误。
3. 引导学生深入理解二次根式教师可以设计一些富有趣味性的问题，引导学生深入理解二次根式的意义，培养学生的数学思维和推理能力，使学生在计算二次根式时能够灵活应用所学知识。
4. 在课外拓展相关知识教师可以引导学生利用课外时间，通过阅读相关资料、参与数学竞赛等方式，拓展和深化对二次根式的理解，提高学生的数学综合素质。
5. 优化考核方式在学生的考核方式上，可以适当增加二次根式的应用题目，以及开放性题目，鼓励学生通过解决实际问题来加深对二次根式的理解和运用能力。
三、结语通过以上整改措施的实施，相信学生在学习二次根式时能够更加系统地掌握相关内容，提高数学学习成绩，更好地理解和运用二次根式知识。
也提高了学生的数学思维能力和创新能力，为学生未来的学业打下坚实的数学基础。
4. 建立动手实践的学习机会除了教室上的理论教学之外，为了帮助学生更好地理解和掌握二次根式，我们还可以提供一些动手实践的学习机会。
可以设计一些与实际生活相关的问题，要求学生通过测量、计算等方法，应用二次根式进行解答。
二次根式的运算法则
二次根式的运算法则二次根式是数学中常见的一种形式，它可以表示方程中的未知数，也可以用于求解几何问题等。
在进行二次根式的运算时，有一些特定的法则需要遵循，这些法则能够帮助我们简化运算并得到准确的结果。
一、二次根式的乘法法则当我们需要计算两个二次根式的乘积时，可以按照以下步骤进行：步骤一：将每个二次根式的根号内的数相乘，这个过程叫做“合并”根号内的数。
步骤二：将两个二次根式的合并结果相乘，这个过程叫做“合并”二次根式。
举例来说，假设有两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以表示为√a * √b = √(a * b)。
在计算过程中，我们先将根号内的数相乘，然后再合并二次根式。
二、二次根式的除法法则当我们需要计算两个二次根式的除法时，可以按照以下步骤进行：步骤一：将被除数和除数的根号内的数分别合并。
步骤二：将被除数的根号内的数除以除数的根号内的数。
步骤三：将合并后的数放在根号内。
举例来说，假设有两个二次根式√a和√b，它们的除法可以表示为√a / √b = √(a/b)。
在计算过程中，我们首先将根号内的数合并，然后再进行除法运算。
三、二次根式的加减法法则当我们需要计算两个二次根式的加法或减法时，可以按照以下步骤进行：步骤一：将每个二次根式的根号内的数合并。
步骤二：对合并后的数进行加法或减法运算。
步骤三：将结果放在根号内。
举例来说，假设有两个二次根式√a和√b，它们的加法可以表示为√a + √b，减法可以表示为√a - √b。
在计算过程中，我们先将根号内的数合并，然后再进行加法或减法运算。
综上所述，二次根式的运算法则包括乘法法则、除法法则和加减法法则。
这些法则可以帮助我们在处理二次根式时，简化运算、得到准确的结果。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更加高效地解决与二次根式相关的数学问题。
二次根式运算的知识点总结
二次根式运算的知识点总结二次根式指的是具有平方根的数，可以表示为较小平方数和较大平方数的和、差、积、商，以及它们的混合运算。
在解二次根式的问题时，需要掌握以下几个关键知识点。
1.平方根的定义：对于任意一个非负实数m，如果一个非负实数x的平方等于m，即x^2=m，那么x就是m的平方根，记作x=√m。
其中，√称为平方根号，m称为被开方数。
2.平方数：平方数是一些整数乘以自身所得到的数。
根据平方根的定义，一个数的平方根为整数，当且仅当该数为平方数。
例如，4的平方根是2，16的平方根是43.二次根式的性质：a)二次根式的值可以是正数、负数或零。
b)二次根式的值是由被开方数的正负性所决定的。
c)二次根式的值是有两个解的，其中一个为正数，另一个为负数。
4.二次根式的化简：a)同底数相加或相减：如果两个二次根式的底数相同，那么它们可以进行加减运算，并将底数保持不变。
b)同底数相乘：如果两个二次根式的底数相同，那么它们可以进行乘法运算，并将底数保持不变，指数相加。
c)同底数相除：如果两个二次根式的底数相同，那么它们可以进行除法运算，并将底数保持不变，指数相减。
d)式子中含有带有二次根式的因式：利用分解因式的方法，将包含二次根式的因式提出来。
5.二次根式的乘法公式：a) (a√m)(b√m) = ab√(m^2)，即同底数相乘时，底数不变，指数相加。
b) (a√m)(b√n) = ab√(mn)，即不同底数相乘时，将底数相乘，再提取二次根号。
6.二次根式的除法公式：a)(a√m)/(b√m)=a/b，即同底数相除时，只保留系数。
b)(a√m)/(b√n)=(a√m)/(b√n)*(√n/√n)=a√(m/n)/b，即将分母中的二次根式有理化。
7.混合运算：在解二次根式的混合运算问题时，需要先进行化简，然后按照运算顺序逐步进行计算。
注意乘法与除法的结合顺序，以及加法与减法的结合顺序。
总之，对于二次根式的运算，需要掌握平方根的定义、平方数的概念、二次根式的性质、化简方法、乘法公式和除法公式等关键知识点，同时还需要通过大量的练习来熟练掌握运算技巧。
解答二次根式问题的几点注意
学习二次根式概念“四注意”一、注意：二次根式的定义（a≥0）叫做二次根式，理解这个概念时，要抓住三个要点：（1）从形式上看而次根式必须有二次根号3=，3显然就不是二次根式，因此，二次根式是指某种式子的“外在形态”．（2）被开方数a可以是数，也可以是但是，若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代没有意义，故a≥0要抓住两个非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；≥0．（3）二次根式是一种代数式，二次根式是由于开平方运算得到的，当被开方数为常数时，它是一个实数，能开得尽方的为有理数，不能开得尽方的为无理数。
当被开方数中含有字母时，它就是我们以后将要接触到的无理式，因此，虽说二次根式为代数式，但其可能为有理式，也可能为无理式，它是代数式中的一部分．二、注意：定义是判断一个式子是否为二次根式的依据，判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号；（2）被开方数大于等于0，只要同时民主这两个7，它就是二次根x≥1）（x＜0＝就不是二次根式．三、注意：怎么确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围由二次根式的定义可知，当a≥0a＜0方数中字母的取值范围问题，的式子有意义，或无意义的条件，列出不等式，在实数范围内有意义，必须使3x-1≥0，即x≥13．确定自变量的取值范围是本节的重点也是难点，所以一定要高度重视，我们学过的内容不外乎以下几种类型：根据函数解析式确定自变量取值范围应从以下几个方面考虑：① 整式型：若函数解析式是整式时，则自变量取值范围为一切实数；② 分式型：若函数解析式是分式时，则分母不为零；③ 二次根式型：若函数解析式是二次根式时，则被开方数为非负数；④ 指数型：若函数解析式用零次幂表示时，则应考虑底数不为零；⑤ 综合型：若函数解析式是整式型、分式型、二次根式型、指数型的综合，则自变量取值范围是它们各自取值范围的公共部分．四、注意：二次根式的简单性质a ≥0）是一个非负数，又因为开平方运算与平方运算是互逆运算，因而有：2a =（a ≥0），由此可得二次根式的两个简单性质：（1a ≥0）是一个非负数；（2）2a =（a ≥0）．是3的算术平方根，3的平方根，而222,(3==．二次根式的乘法运算应注意的问题(1)进行二次根式的乘法运算时，应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解，不可机=a ≥0，b ≥0)，盲目地把被开方数相乘．×3×3=．(2)进行二次根式的乘法运算时，不一定非得把二次根式先化成最简二次根式，然后再相乘，但最后结果必须是最简二次根式．例如，最好先把二次根式化成最简二次根式，再进行乘法计算，=153⨯=用乘法法则运算来得简便．2312(3)如果被开方数中含有小数，应把小数化成分数，然后再进行乘法运算，切不可直接就进行小数的乘法运算．(4)进行二次根式的乘法运算时，对于类似于多项式与多项式相乘的题型，要认真观察题目的结构特点，充分利用乘法公式简化计算过程．学习二次根式注意挖掘隐含条件0)a≥的式子叫二次根式，这里a≥0是二次根式的隐含条件，不可忽视．一、应用隐含条件确定字母的取值范围：例1．=，则a的取值范围是（）A．0a≤B．0a<C．01a<≤D．0a>解析：，成立的条件是：0,0a b>≥，而且当0a≥a=；所以==10aa-⎧⎨⎩≥＞，即01a<≤，故此应选C．温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约．二0)a ≥非负性的应用例2．若20x y -=，则2()xy -的值为（ ） A ．64 B ．64- C ．16 D ．16-解析：0)a ≥可以认为表示的是a2x y -表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即2x y -＝00=，所以2y =，24x y ==，因此2()xy -＝2(42)-⨯＝64，故选A ．温馨提示0≥、a 0≥、2a 0≥，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0．0)a ≥，隐含条件a ≥0的应用．例3．已知x 、y为实数，且满足12y =求521x y +-解析：因为x 为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数． 依题意得10210.2x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥，≥解得：12x =，所以110022y =++=，又因为22211y y y -+-＝（）所以521x y +-＝1152122⨯+⨯- 2 温馨提示a ＝0．例4．已知a解析： 由于a 为实数，被开方数均为非负数，所以2208400a a a ⎧+⎪-⎨⎪-⎩≥≥≥，由20a -≥可得a ＝0，．温馨提示：因为20a ≥，若要20a -≥，则a ＝0．在解这类问题时一定要深入的挖掘题目中字母的内在含义．二次根式的运算“四注意”二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点：一、注意运算顺序问题二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．例1(2+．解：原式==33=．说明：计算时注意运算顺序，另外，除法没有分配律，(21+=就错了．二、注意运算法则问题在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式可以看作“多项式”，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式等）在二次根式的运算中仍然适用．例2． 计算：（2+3―6）（2―3―6）．解：原式=〔（2―6）＋3〕〔（2―6）―3〕=（2―6）2―（3）2=8―23―3=5―23．三、注意熟练进行二次根式计算和化简在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧．１．因式分解法例４．化简：y y++χχ+χχχy y y+2解：原式=y y ++χχ+()y y y +χχχ2=y y y +++χχχ2=y y ++χχ2)(=χ+y２．观察法 例５． 设等式y a a x a y a a x a -+-=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ,x ,y 实数，则22223y xy x y xy x +--+的值为（ ）． 解：由二次根式定义知：a －y ≥0,x －a ≥0,a (x －a )≥0,a (y －a )≥0, ∴a ≥0且a ≤0∴a =0∴已知等式可化为o y x =-，∴x = -y . ∴222222)()(3y y y y y y ++----=223y y =31． ３．凑零法例６． 已知χ=132- 求2χ+1+χ的值． 解：由χ=132-=13+，得31=-χ，两边平方后整理得0222=--χχ,∴原式=34313003)22(2=+++==-+--χχχ．４．倒数法例７． 当32-=χ时，求代数式3)32()347(2++++χχ的值． 解：由32-=χ，得321+=χ，∴原式=323113113)32()32(2222+=++=+⋅+⋅=+++⋅+χχχχχχ．５．整体代入法例８． 已知2323-+=χ，2323+-=y ，求代数式22)()(y y y y +-++χχχχ的值． 解：由已知得625+=χ，625-=y ，∴10=+y χ，1=y χ， ∴原式=9910110110122-=-+． ６．换元法 例９．已知11122=-+-a b b a ，求22b a +的值． 解：设=-21a χ＞0，则122χ=-a ，由已知得χb b a -=-112两边平方得222221χχb b b a a +-=-，)(212222χχ++--a b b a =0，0222=+-∴b b χχ，0)(2=-χb ，b =χ,b a =-∴21,122=+∴b a ．四、探索与思考：１．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”． ①322322=+（ ） ②833833=+（ ） ③15441544=+（ ） ④24552455=+（ ） （2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n 的式子将其规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．２．如图１，所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．３．细心观察如图２，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+ S 1=21； A 2 A 4 A 3 A 51 S 3 1 图１31)2(2=+ S 2=22； 41)3(2=+ S 3=23…… （1）请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长．（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．４．先将23222xx x x x -÷--化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值． 答案与提示：１．答案为①∨②∨③∨④×．（2）、（3）略。
二次根式运算
②合并同类二次根式与整式中的合并同类项类似，只需把同类二次根式前面的有理数(或有理式)相加减就行了。
题型1：题型2：二次根式的性质及简单运算例1：化简 （1（2 （3 （4.11)1(到根号里面中的根号外面的因式移将aa --例2：计算 （1）2（x ≥0） （2）2（3）2 （4））2题型3：最简二次根式和同类二次根式 例1： 把下列两组中的各二次根式分别化为最简二次根式，并指出哪些是同类二次根式。
（1） （2）例2：已知是最简二次根式，它与是同类二次根式，求a 与n 的值。
题型4：二次根式的运算例1：101531251812775，，，-3453x x y x y x y x y，，-7--a n a 328n (.)()052131875---例2：把下列各式分母有理化（1） （2）例3：(1)(+)×(2) (4632)22-÷.例4：19961997(3(3+-三、课堂达标检测 1. ，则（ ）A ．a ＜B . a ≤C .a ＞ D . a ≥ 2.已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 3.当实数x 的取值使得有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（ ） A .y ≥-7 B . y ≥9 C . y >9 D . y ≤94. 有意义，则的取值范围是 。
5. 在实数范围内分解因式：。
5. 当1≤x<5。
1945-322322-+12a -121212123y =2xy 15-15152-1522-x 11m +m 429__________,2__________x x -=-+=5_____________x -=6. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
7.成立的条件是 。
8. 若互为相反数，则。
9.，求x 、y 的值。
10. 已知的值。
11.数轴上与1，2对应的点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，设点C 表示的数为x ，则=+-xx 22 .12.计算：21-2-38232-+⨯+13.已知3232-=+=b a ，，试求a b b a -的值.1x =+1x+1a b -+()2005_____________a b -=2440y y -+=2310x x -+=。
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
二次根式的运算规则
二次根式的运算规则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着重要的作用。
二次根式即指的是含有根号的数，如√2、√3等。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一定的规则，下面将详细介绍二次根式的运算规则。
首先，我们来讨论二次根式的加减运算。
对于同类项的二次根式，我们可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√2 + √3。
但是对于不同类项的二次根式，我们无法进行直接的加减运算，需要通过合并同类项的方式进行简化。
例如，√2 + 2√3不能直接进行加减运算，我们可以将其简化为√2 + 2√3= √2 + √2√3 = √2(1 + √3)。
接下来，我们来讨论二次根式的乘法运算。
对于二次根式的乘法运算，我们可以利用分配律进行简化。
例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
在进行乘法运算时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，√2 * √2 = (√2)^2 = 2，即同类项的平方根可以简化为原来的数。
除了加减乘法运算，我们还需要了解二次根式的除法运算规则。
对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数都进行有理化处理。
有理化处理是指将含有根号的数进行合理的变形，使得分母中不再含有根号。
例如，将√2除以√3，我们可以进行有理化处理得到√2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = (√6)/3。
此外，我们还需要了解二次根式的化简规则。
对于含有二次根式的复合表达式，我们可以通过合并同类项、分解因式等方式进行化简。
例如，√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2。
在进行化简时，我们需要注意一些常见的二次根式的简化公式。
例如，√4 = 2，√9 = 3等。
最后，我们需要注意二次根式的乘方运算规则。
对于含有二次根式的乘方运算，我们可以将其转化为含有整数指数的乘方运算。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3√3等。
二次根式乘法运算法则
二次根式的乘法法则是指两个二次根式相乘，可以将被开方数相乘，再化为最简二次根式。
具体来说，如果两个二次根式要相乘，那么需要将它们的被开方数相乘，得到的结果仍然是一个非负数的二次根式，这个过程需要遵守二次根式的性质和运算法则，以确保结果的正确性和合理性。
以下是二次根式乘法运算法则的具体说明：
1. 两个二次根式相乘，需要将被开方数相乘。
即，如果两个二次根式分别为a和b，它们的被开方数分别为x和y，那么两个被开方数的积的算术平方根就是结果c。
这个过程需要遵守二次根式的性质和运算法则，确保结果的正确性和合理性。
2. 需要注意的是，如果两个二次根式相乘的结果是一个负数，那么需要讨论一下其符号问题。
即，两个被开方数中至少有一个是负数，而另一个被开方数是正数时，才能进行乘法运算。
因此，在二次根式的乘法运算中，必须保证结果的符号是正数或零。
3. 在进行二次根式的乘法运算时，需要注意运算顺序和符号问题。
一般来说，先将被开方数相乘，再根据结果的正负情况确定最终结果的正负性。
同时，需要注意运算过程中的符号问题，以确保结果的正确性和合理性。
总之，二次根式的乘法运算法则需要遵守二次根式的性质和运算法则，以确保结果的正确性和合理性。
在进行二次根式的乘法运算时，需要注意运算顺序、符号问题以及结果的合理性。
只有正确理解和运用这些运算法则，才能有效地进行二次根式的运算，并得到正确的结果。
希望以上回答对您有所帮助。
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五、二次根式运算注意事项
（3） a b有意义，那么 ab一定有意义；反之， ab有意义， a b不一定有意义，因为 a、b 可以同为 a 负数，同样， 有意义，那么 b a b一定有意义；反之，
a a b有意义， b不一定有意义，因为 a、b 可以同为负 数．
错误： （－4）×（－9）＝ （－4）× （－9）
1 －a＝a ＝a
a ＝ －a＝－ －a． －a
四、二次根式化简的常见错误
例 1 化简
错解：
1 1 4＋9．
1 1 4＋9 = 1 1 2 (2) ＋(3)2 =
13 13 13 36= 36= 6 ．
1 4＋
1 9．
正解：
1 1 4＋9
=
四、二次根式化简的常见错误
例 2 化简 3 1 42．
错解：3
1 125．
1× 5 1 1 1 5 ＝ ＝ ＝ ＝ ． 125 125 5 5 5 5× 5 25
三、二次根式化简
3．被开方数是小数的二次根式化简
例3
化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行2× 2
6 6 ． 2＝ 2 2
三、二次根式化简
1． 被开方数是非完全平方数的二次根式化简
例 1 化简 48． 分析：因为，48=16× 3=42× 3，所以，根据公
式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的．
解： 48＝ 16× 3＝ 16× 3＝ 42× 3＝4 3．
（1）二次根式相加减，先化简每个二次根式，再 合并同类二次根式．防止： ①该化简的没化简； 计算： 8－ 1 ＝ 2 ．
②不该合并的合并； 不是同类二次根式的二次根式不能合并， 如 2＋ 3，应为最终结果，而有的错误的合并为 5．
五、二次根式运算注意事项
（2）乘法公式在二次根式运算中的运用
计算： （1）( 2＋ 3)( 2－ 3)； （2）( 2＋ 3)2．
例 4 化简 25a3b3 (a＜0)．
错解： 25a3b3＝ 52a2b2· ab＝5· (－a) · b· ab ＝－5ab ab．
正解：∵25a3b3≥0，a＜0，∴b≤0，∴ab≥0． 25a3b3＝ 52a2b2· ab＝ 52· a2b2· ab＝5ab ab．
五、二次根式运算注意事项
三、二次根式化简
4．被开方数是幂的二次根式的化简
例4
化简 (x＋y)3
（x＋y≥0） ．
分析：当幂的指数是奇数时，保持底数不变， 设法把幂化成是一个偶数次幂和一个奇数次幂的 积．
解：当 x＋y≥0 时， (x＋y)3＝ (x＋y)2(x＋y) ＝ (x＋y)2· x＋y ＝(x＋y) x＋y．
三、二次根式化简
5．被开方数有隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a
1 －a的结果是：
．
分析：含字母的化简，通常要知道字母的符 号 , 而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐 藏．因此，化简时要从被开方数入手．
三、二次根式化简
5．被开方数是隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a
解：∵a ∴a
1 －a的结果是：
．
1 1 －a有意义，∴－a≥0，∴－a＞0． (－a) 1 ＝a (－a) (－a) (－a) －a －a 2＝a (－a) －a
二次根式的运算中要注意哪些问题
一、二次根式的运算
面积是 2 的正方形的边长是多少？面积是 8 的正 方形的边长是多少？
2 8
因为一个面积是 8 的大正方形可以分成 4 个面积是 2 的小正方形，所以大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍，即 8=2 2．
一、二次根式的运算
小正方形的面积是 a，大正方形的面积是 4a，那 么大正方形的边长又是小正方形的几倍呢？
1 42=32
1 42=3
1 1 2 2=6 2=6 2 =3 2．
正解：3
9 3 9 9 2 2= 2 = 2 ．
四、二次根式化简的常见错误
例3 a b b a (a＞0，b＞0)．
a 错解：b
a 正解：b
b a＝1．
b a a＝b ab a ab a2 ＝ab ab＝ b ．
四、二次根式化简的常见错误
a b (a≥0，b>0)．
一、二次根式的运算
二次根式的运算
二次根式的乘除
二次根式的加减
二、二次根式的化简需满足:
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含有根号．
经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类 二次根式．一般的，二次根式相加减，先化简每个二次 根式，然后合并同类二次根式．
4a a
面积是 4a 的大正方形可以分成 4 个面积是 a 的小 正方形，所以大正方形的边长是小正方形的边长的 2 倍，即 4a=2 a．
一、二次根式的运算
2 2=2 2= 4 2，即 8= 4 2；
2 a=2 a= 4 a，即 4a= 4 a．
a· b= ab (a≥0，b≥0)．
a = b
三、二次根式化简
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简
1 ． 125
分析：因为，125=5× 5× 5=52× 5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1 ＝ 125 1× 5 5 ＝ ． 3 5× 5 25
三、二次根式化简
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简
解法二：