几何证明PPT教学课件

变式训练 3 如图，△ABC 的角平分线 AD 的 延长线交它的外接圆于点 E.若△ABC 的面 积 S＝12AD·AE，则∠BAC＝___9_0_°___.
解析 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. 所以AAEB＝AADC， 即 AB·AC＝AD·AE. 又 S＝21AB·ACsin∠BAC，且 S＝21AD·AE， 故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 则 sin∠BAC＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC＝90°.
题型二 圆的切割线定理的应用 例2 如图，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PAB 为割
线，PC＝4，PB＝8，∠B＝30˚，则 BC＝___4__3___.
解析 连接 AC，∵PC2＝PA·PB， ∴PA＝2，∠ACP＝∠B＝30˚， 在△PAC 中，由正弦定理得sin230˚＝sin∠4PAC， ∴sin∠PAC＝1，从而∠PAC＝90˚，∠P＝60˚，∠PCB＝90˚， ∴BC＝ PB2－PC2＝4 3.
4．直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的 一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关 的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可 很方便地证明角相等、线段相等、以及线段的比例 问题.
知能提升演练
一、选择题
1．若三角形三边上的高为 a、b、c，这三边长分别为
6、4、3，则 a∶b∶c 等于
7.(2010·广东)如图，在直角梯形 ABCD 中， DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2， 点 E、F 分别为线段 AB、AD 的中点，则 a EF＝____2____.
解析 连接 DE，由于 E 是 AB 的中点， 故 BE＝2a.又 CD＝a2，AB∥DC，CB⊥AB， ∴四边形 EBCD 是矩形． 在 Rt△ADE 中，AD＝a， F 是 AD 的中点，故 EF＝2a.
5．已知矩形 ABCD，R、P 分别在边 CD、
BC 上，E、F 分别为 AP、PR 的中点，
当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时，点 R 在
CD 上固定不变，设 BP＝x，EF＝y，那
么下列结论中正确的是
(D)
A．y 是 x 的增函数 B．y 是 x 的减函数 C．y 随 x 先增大后减小 D．无论 x 怎样变化，y 是常数
取 BC 的中点 P， 作 PQ∥DH 交 EH 于 Q，如图， 则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线， ∴PQ＝21(AE＋DH)＝12(12＋16)＝14. 同理：CG＝21(PQ＋DH)＝12(14＋16)＝15.
答案 4 15
变式训练 1 如右图，在梯形 ABCD 中，
AB∥CD，且 AB＝2CD，E、F 分别是
4．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，CD⊥AB，垂足为 D，
则下列说法不正确的是
(C )
A．CD2＝AD·DB
B．AC2＝AD·AB
C．AC·BC＝AD·BD
D．BC 是△ACD 外接圆的切线
解析 由射影定理知 A、B 正确，因为 CD⊥AB，所 以△ACD 外接圆 O 中，AC 是直径，又 AC⊥BC，故 BC 是圆 O 的切线．D 正确．
∵PPAB＝12，PPDC＝31，∴ABDC＝
6 6.
答案
6
6
考题分析 本题考查了圆内接四边形的性质，考查了 相似三角形的判定及性质．考查了学生的推理和计算 能力．
易错提醒 (1)易忽视圆内接四边形的性质，从推不 出△PCB∽△PAD. (2)比例关系不明确，不能将已知比例转化成ABDC的值．
主干知识梳理
12.如图，PA 切⊙O 于点 A，割线 PBC
解析 ∵∠P＝∠P，∠A＝∠PCB， ∴△PCB∽△PAD. ∴PPDB＝ABDC＝13.
11.(2010·北京)如图，⊙O 的弦 ED，CB 的延 长线交于点 A.若 BD⊥AE，AB＝4，BC＝2， AD＝3，则 DE＝__5__，CE＝___2__7___.
解析 由圆的割线定理知：AB·AC＝AD·AE， ∴AE＝8，∴DE＝5， 连接 EB，∵∠EDB＝90°， ∴EB 为直径，∴∠ECB＝90°. 由勾股定理，得 EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32. 在 Rt△ECB 中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2， ∴CE2＝28，∴CE＝2 7.
AB、BC 的中点，EF 与 BD 相交于点
M.若 DB＝9，则 BM＝___3_____.
解析 ∵E 是 AB 的中点， ∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形． ∴CB∥DE， ∴∠ ∠DEDEMM＝ ＝∠ ∠BFFBMM， ， ∴△EDM∽△FBM. ∴DBMM＝DBFE.∵F 是 BC 的中点， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝13DB＝3.
是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
热点分类突破
题型一 相似三角形的判定及性质的应用 例1 如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝12BC
＝CD，AE＝12，DH＝16，AH 交 BF 于 M， 则 BM＝________，CG＝________.
解析 ∵AE∥BF∥CG∥DH， AB＝12BC＝CD，AE＝12， DH＝16， ∴AADB＝41，BDMH＝AADB. ∴B1M6 ＝14， ∴BM＝4.
(C )
A．1∶2∶3
B．6∶4∶3
C．2∶3∶4
D．3∶4∶6
解析 由三角形面积公式得：
12×6a＝21×4b＝12×3c， ∴6a＝4b＝3c， 设 3c＝k，则 a＝6k，b＝4k，c＝3k， ∴a∶b∶c＝6k∶4k∶3k＝2∶3∶4.
2．在△ABC 中，DE∥BC，DE 将△ABC 分成面积相
专题七 选修系列 4
第 1 讲 几何证明选讲 感悟高考 明确考向
(2010·天津)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形， 延长 AB 和 DC 相交于点 P.若PPAB＝21，PPDC＝13，则ABDC的
值为________．
解析 ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△PCB∽△PAD.∴PPDB＝PPAC＝ABDC.
1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段 也相等．
2．平行截割定理(平行线分线段成比例定理)三条平行 线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定定理 判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似． 判定定理 2：如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个 三角形相似．
8.如图所示，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上 的射影为 D，CD＝4，BD＝8，则圆 O 的半径等于____5____．
解析 由直角三角形的射影定理： CD2＝AD·DB，从而 AD＝2. 故半径 r＝8＋2 2＝5.
9．已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线，切点为 A，PO 交圆 O 于 B、C 两点，AC＝ 3，∠PAB＝30°，则 线段 PB 的长为__1__．
解析 EF 是△APR 的中位线， ∴EF＝12AR(常数)．
二、填空题 6.如右图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、
AC 上的点，DE∥BC，且ADDB＝2，那么 4
△ADE 与四边形 DBCE 的面积比是___5_____．
解析 ∵ADDB＝2，∴AADB＝32， ∴SS△△AADBCE＝49， ∴S四S边△形ADDBECE＝45.
6．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
7．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 8．圆内接四边形的性质定理
(1)圆的内接四边形的对角互补； (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
9．圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互 补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角 形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似． 4．相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5．直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直 角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例 中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的 比例中项．
规律方法总结 1．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过
程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过 2 次，添置的辅助线不超过 3 条． 2．相似三角形是平面几何中极为重要的内容．从概念上 看，相似是全等的拓展，全等只是相似的特殊情形， 而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研 究有关各种相似问题． 3．圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心 角、弧、弦、弦心距的关系定理．关系定理使我们在 圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂 径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．
∴EAFF＝ABCE，∴BACB＝EAFF.
又 AD∥BC，
） ）
∴AB ＝CD，
∴AB＝CD，∴CBCD＝EAFF，∴58＝E6F，
∴EF＝380＝145.
答案
15 4
探究提高 本例综合运用了弦切角定理，平分线分线 段成比例定理，圆内两平行弦所夹的弧相等，相似三 角形知识，综合性较强．弦切角是很重要的与圆相关 的角．其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心 角、圆周角等)，是架设圆与三角形全等、三角形相似、 与圆有关的各种直线(如弦、割线、切线)位置关系的 桥梁，因而弦切角也是确定圆的重要几何定理的关键 环节(如证明切割线定理)．
10．圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线．
11．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 12．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 13．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的
两条线段长的积相等． 14．切割线定理：பைடு நூலகம்圆外一点引圆的切线和割线，切线长
解析 ∵PA 是⊙O 的切线，∠PAB＝30°， ∴∠ACB＝30°. ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，则△BAO 是等边三角形， ∴∠P＝∠ABC－∠PAB＝30°. 又 AC＝ 3，所以 AB＝BO＝1，PO＝2. 故 PB＝2－1＝1.
10.(2010·天津)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的 内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的值为___13_____．
题型三 关于圆的综合应用
例3 如右图，梯形 ABCD 内接于⊙O，
AD∥BC，过 B 引⊙O 的切线分别交
DA、CA 的延长线于 E、F.已知 BC＝
8，CD＝5，AF＝6，则 EF 的长为________．
思维启迪 充分利用相似三角形与圆的知识．
解析 ∵BE 切⊙O 于 B， ∴∠ABE＝∠ACB. 又 AD∥BC， ∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC， ∴ABCE＝BACB.又 AE∥BC，
等的两部分，那么 DE∶BC 等于
(C )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶ 2
D．1∶1
解析 依题意 S△ADE∶S△ABC＝1∶2， ∴DE∶BC＝1∶ 2.
3．圆内接三角形 ABC 角平分线 CE 延长后交外接圆
于 F，若 FB＝2，EF＝1，则 CE 等于 ( A )
A．3
B．2
C．4
D．1
解析 ∵∠ACF＝∠BCF，∠ACF＝∠ABF，∴∠BCF ＝∠ABF.又∵∠BFE＝∠CFB，∴△FBE∽△FCB，得 FB∶FC＝FE∶FB，∴FC＝4，从而 CE＝3.
变式训练 2 如图所示，PT 为⊙O 的切线，
T 为切点，PA 是割线，它与⊙O 的交点是
A、B，与直径 CT 的交点是 D，已知 CD＝2，
AD＝3，BD＝4，那么 PB＝____2_0___.
解析 由相交弦定理，得 CD·DT＝AD·BD， ∴DT＝ADC·DBD＝3×2 4＝6， ∴PT2＝(PB＋4)2－62＝PB(PB＋7)． 解得 PB＝20.