林清泉主编的《金融工程》笔记和课后习题详解 第五章 资本资产定价理论【圣才出品】

第五章资本资产定价理论
5.1复习笔记
一、资本资产定价模型
CAPM模型除接受了马科维茨的全部假设条件以外，还附加了一些自己的假设条件，主要有：
（1）投资者具有同质预期，即市场上的所有投资者对资产的评价和对经济形势的看法都是一致的，他们对资产收益和收益概率分布的看法也是一致的。

（2）存在无风险资产，投资者可以无风险利率无限制地借入或者贷出资金。

1．存在无风险资产时，金融市场的证券组合选择
设金融市场上有一种无风险证券，其收益率为R0；n种有风险资产（即有n种股票可以投资），投资的收益仍然用x1，x2，…，x n表示：
其期望收益为：
若给定收益为a，则上式变为：
（5-1）风险资产组合的方差为：
（5-2）投资者所要求的最优资产组合仍然必须满足下面两个条件之一：
（1）在预期收益水平确定的情况下，即ω′（μ一R01）=α-R0，求可以使风险达到最小的叫，即vat（ω）=ω′∑ω最小。

（2）在风险水平确定的情况下，即var（ω）=ω′∑ω=σ20，求可以使收益达到最大的ω，即R0+ω′（μ一R01）达到最大。

求解结果为：
（5-3）为了表明所求的证券组合与a有关，故在（5-3）式中用ωα表示。

（5-4）（5-4）式可写成直线：
（5-5）
图5-l两条直线
2．资本市场线
定义5-1称
为夏普比（Sharpe ratio），记为S．R．（如图5-2、图5-3所示）。

图5-2（0，R0）与有效前沿连线交于切点
图5-3点（0，R0）与双曲线上点的连接情况
随着该点在双曲线上不断上升，这个数值也越来越大，这表明投资者承担单位风险时获
得的收益也越来越大。

容易看出，当直线过点（0，R0）并与有效前沿相切时，夏普比
达到最大值。

直线
（5-6）是与有效前沿相切并过点（0，R。

）的直线。

称（5-6）式所表示的直线为资本市场线。

其方程又可表示为：
（5-7）3．市场组合
称包含市场上所有风险资产的组合为市场组合，点（σt,αt）就是这样的市场组合，一般
用M来表示。

相应地，市场组合的期望收益和方差分别为αM和σM，因而（5-7）式可以改写为：
（5-8）（5-8）式是市场均衡条件下资本市场线的表达式，反映了无风险资产和市场组合进行再组合后所产生的最优组合的收益和风险之间的关系。

4．证券市场线
对于市场上风险资产组合x而言，可以证明它与（σt,αt）点所对应的证券组合tot有如下关系：
（5-9）其中
引进上述市场组合的概念，则（5-9）式可写为：
（5-10）（5-10）式就是著名的证券市场线（SML）。

5．对证券市场线的进一步说明
（1）对于任意的风险资产x i
根据（5-10）式，可以得到：
（5-11）式中，
βM i代表风险资产x i的风险大小。

①当βM i>1时，称风险资产x i为进攻性的。

②当βM i<1时，称风险资产x i为防御性的。

③当βM i=1时，称风险资产x i为中性的。

βM i还有一个很有意思的性质，它正好是风险资产x i的一元线性回归方程的回归系数。

由（5-10）式可得线性回归方程：
（5-12）即βM i为线性回归方程（5-12）式的回归系数。

（2）对于任意一种投资组合P
设该投资组合的投资权重为：
则
（5-13）其中
（5-14）也就是该组合中每种资产口值的加权平均。

6．β系数的估计与CAPM的应用
（1）β系数的估计
几种最基本的方法是：①用过去历史数据估计出的卢值作为卢系数的预测值；②用根据
历史β值调整后得到的值作为β系数的预测值；③用最近一段时间的事后β系数估计值作为未来某个时间段的β系数的预测值。

（2）对R0和口M—R0的估计
在实际的投资对象中，“最无风险”的投资工具是国债。

因此，用债券收益率作为R。

的替代物，应该是可以接受的。

一般来说，可以考虑用市场价格指数作为市场组合M的替代物。

估计a M需要考虑历史的风险溢价，以历史上的风险溢价作为分析的基础。

但同样应该注意，无论采用哪种方法，市场风险溢价都是变化的，而且极不稳定。

二、套利定价模型
1．套利定价模型的分析思路
套利定价模型并不要求投资者能以无风险的利率借入和贷出资金，也不要求投资者以资产组合的收益和方差为基础进行投资决策。

套利定价模型最重要的一点是假设风险资产的收益受到市场上几种不同风险因子的影响，而到底是哪几种风险，这些风险具体是什么则无关紧要。

设市场上风险资产的收益一共受到k个风险因素的影响，可表示如下：
（5-15）（5-15）式用矩阵形式表示就是：
（5-16）
在（5-16）式中，R是资产收益向量，E（R）是期望收益向量，B是因子敏感度矩阵，F是公共风险因子向量，ε是残差向量。

2．套利和套利定价模型。