线代 第1次作业和第2次作业解答

因为 0 1 是矛盾方程，故原方程的无解。
x1 x2 2 x3 4 （3） 2 x1 3 x2 x3 1 7 x 3 x 6 x 5 2 3 1
解：对该方程组的增广矩阵 A b 施行矩阵的初等行变换，将其化为行最简形矩阵
4 1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 7 r 2 2r 1 r 3 2r 2 A b 2 3 1 1 0 5 5 7 0 1 1 r 7r 1 5 3 1 r2 7 3 6 5 0 10 8 23 0 0 2 5 9
主元列是：第 2 列、第 3 列。
1 2 2 1 （2） 0 1 3 1 0 0 0 0 1 2 2 1 1 0 8 1 1 2 2 1 r 1 2r 2 解：因为 0 1 3 1 0 1 3 1 ，所以矩阵 0 1 3 1 的行最简形矩 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8 1 阵为 （1,1） ， （2,2） ； 0 1 3 1 ，其主元位置是： 0 0 0 0
4. 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）如果两个线性方程组有相同的解集，则它们等价．
x1 2x 5 0 x4 0 x1 x2 4 x 1 4 x 2 x 3 2 x 4 4 x 5 4 x 6 0 x2 x5 x6 0 x3 x6 0
1 2 3 4 （2） 0 2 3 5 0 2 1 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 r3 r2 解：因为 0 2 3 5 0 2 3 5 ，所以矩阵 0 2 3 5 的 0 2 1 2 0 0 2 3 0 2 1 2
1 1 x1 x3 0 x1 x3 7 7 所以 ，故原方程的解为 （其中 x 3 取任意常数） 。 5 5 x x 0 x x 2 7 3 2 7 3
r3 r2
1 x1 7 c 5 注：原方程组的解也可表示为 x2 c （其中 c 取任意常数） 。 7 x3 c
主元位置是： （1,1） ， （2,2） ， （3,3） ；
主元列是：第 1 列、第 2 列、第 3 列。
4. 下列矩阵均为行阶梯形矩阵，请用初等行变换将它们变成行最简形矩阵，并指出主元位置和主元列． （1）
0 1 1 0 0 2
注意：本题的题目要求是“用初等行变换将它们变成行最简形矩阵” 。
x1 x2 x3 3 （2） 2 x1 3 x2 x3 1 3 x 4 x 2 x 5 2 3 1
解：对该方程组的增广矩阵 A b 施行矩阵的初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 r 2 2r 1 r3 r2 0 1 1 5 0 1 1 5 ， A b 2 3 1 1 r 3 3r 1 3 4 2 5 0 1 1 4 0 0 0 1
2. 下列矩阵【
ABDE
】是行阶梯形矩阵， 【
BE
】是行最简形矩阵.
1 1 0 1 2 2 0 1 （A） （B） 0 0 （C） 0 0 0 （D） 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 （E） 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 3
1 2 x1 3 c 3 4 1 注：原方程组的解也可表示为 x2 c （其中 c 取任意常数） 。 3 3 x3 c
第2次
知识小结：
线性方程组有解判别方法（解答）
1. 概念：无解；唯一解；无穷多解；非零解；零解. 2. 重点： （1）线性方程组的有解判别准则； （2）齐次线性方程组有非零解的判别准则. 3. 难点：含参数的线性方程组的有解判别方法.
0 2 1 r 1 r 2 1 2 3 0 2 1 1 2 3 解：因为 ，所以矩阵 的行阶梯形矩阵为 ， 1 2 3 0 2 1 1 2 3 0 2 1
其主元位置是： （1,1） ， （2,2） ； 主元列是：第 1 列、第 2 列。
氧元素 O ： 4 x 1 4 x 2 x 3 2 x 4 4 x 5 4 x 6 ； 硫元素 S ： x 2 x 5 x 6 ； 氢元素 H ： 2 x 3 2 x 6 ；
从而，使得该化学方程式平衡的方程组为：
x 1 2x 5 x1 x2 x4 4 x 1 4 x 2 x 3 2 x 4 4 x 5 4 x 6 ，即 x2 x5 x6 2 x 2 x 6 3
1 71 71 r3 x1 2 10 1 0 0 10 r2 r3 59 59 0 1 0 ，所以原方程组的解为 x2 。 r1 r 2 10 10 0 0 1 9 9 r 1 2r 3 x3 2 2
1 2 1 0 3 3 r1 r 2 4 1 0 1 3 3 0 0 0 0
1 2 1 2 x1 x3 x1 x3 3 3 3 3 所以 ，故原方程组的解为 （其中 x 3 取任意常数） 。 4 1 4 1 x x x x 2 2 3 3 3 3 3 3
x1 x2 x3 1 （4） 2 x1 x2 2 x3 1 4 x x 3 1 2
解：对该方程组的增广矩阵 A b 施行矩阵的初等行变换，将其化为行最简形矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 r 2 2r 1 r3 r2 0 3 4 1 0 1 A b 2 1 2 1 1 r 3 4r 1 3 3 r 2 4 1 0 3 0 3 4 1 3 0 0 0 0
根据在化学反应中原有的原子不可能消失， 也不可能产生新原子的原理， 建立配平该化学方程式的线性方程组 模型.
解：要使化学方程式
(x1 )KMnO4 ( x2 )MnSO4 ( x3 )H 2O ( x4 )MnO 2 ( x5 )K 2SO 4 ( x6 )H 2SO 4
到平衡，则有： 钾元素 K ： x 1 2 x 5 ； 锰元素 Mn ： x 1 x 2 x 4 ；
练习
1. 判断下列命题是否正确，并说明理由. (1) 如果一个线性方程组的 3×5 的增广矩阵有 3 个主元列，则该方程组有无穷多解.
1 0 0 0 0 解：错误。例如：满足命题中的条件的增广矩阵为 0 1 0 0 0 时，对应的线性方程组是无解 0 0 0 0 1
主元列是：第 1 列、第 2 列。
5. 利用高斯—约当消元法求解下列线性方程组．
2 x1 x2 x3 0 （1） x1 3 x2 2 x3 0 4 x 5 x 3 x 0 2 3 1
解：对该方程组的增广矩阵 A O 施行矩阵的初等行变换，将其化Βιβλιοθήκη Baidu行最简形矩阵
解：正确。由线性方程组等价的定义“如果两个线性方程组有相同的解集，则称它们是等价 或同解”可知，该命题是正确的。
（2）一个矩阵可以通过不同的行变换序列变出不同的行最简形矩阵．
解：错误。因为一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的。
（3）如果两个矩阵 A 和 B 行等价，则它们有相同的行最简形矩阵.
解：正确。根据矩阵行等价的定义及矩阵行最简形矩阵的唯一性可得。
练习
1. 写出与下列线性方程组对应的系数矩阵与增广矩阵． （1）
x1 3 x2 1 , 2 x1 x2 0 ;
（2）
x1 x2 x3 1 ， x3 0 ； 2 x1
； （1）的增广矩阵为： .
则（1）的系数矩阵为：
1 3 2 1
（2）的系数矩阵为：
1 3 1 2 1 0
； （2）的增广矩阵为： .
1 1 1 2 0 1
1 1 1 1 2 0 1 0
3. 高锰酸钾（ KMnO4 ）与硫酸锰在水中发生化学反应生成二氧化锰、硫酸钾和硫酸，其方程式为：
(x1 )KMnO4 ( x2 )MnSO4 ( x3 )H 2O ( x4 )MnO 2 ( x5 )K 2SO 4 ( x6 )H 2SO 4
解：根据“航阶梯形矩阵”及“行最简形矩阵”的定义可知，ABDE 表示的矩阵是行阶梯形 矩阵，BE 表示的矩阵是行最简形矩阵。
3. 只用一次初等行变换将下列矩阵变成行阶梯形矩阵，并指出主元位置和主元列． （1）
0 2 1 1 2 3
注意：本题的题目要求是“只用一次初等行变换将下列矩阵变成行阶梯形矩阵” 。
1 0 1 1 2 r 2 0 1 1 r 1 r 2 0 1 0 0 1 1 解：因为 ，所以矩阵 的行最简形 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 2
0 1 0 矩阵为 （1,2） ， （2,3） ； ，其主元位置是： 0 0 1
1 1 0 7 2 1 1 0 1 3 2 0 ( 1 ) r 0 2 r r 5 1 2 7 0 7 5 0 0 1 0 ， A O 1 3 2 0 r 2 2r 1 r 1 3r 2 7 4 5 3 0 0 7 5 0 0 r 3 4r 1 0 0 0
第 1 次作业
知识小结：
线性方程组及其解法（解答）
1. 概念：线性方程组；解；解集；等价；系数矩阵；增广矩阵；初等行变换；行等价；主元位 置；主元列；行阶梯形矩阵；行最简形矩阵；基本变量；自由变量. 2. 重点： （1）用初等行变换求矩阵的行最简形； （2）利用高斯-约当消元法解线性方程组. 3. 难点：行最简形矩阵