光子晶体原理与计算

Ac | a1 a2 |
Try f (r) C (G)exp(iG r) exp(iG a1 ) exp(iG a2 ) 1
Define G n1b1 n2b2 ai b j 2ij ; i, j 1,2
In a cell: r 1a1 2a2 ; 0 1 1, 0 2 1
2 r 4 n12 n1n2 n2 2 3a 8 f 2 n1 n1n2 n22 3
光子晶體研究的由來
• 問題:電子 (機率) 波在週期性晶格位能中傳輸時, 其能譜具
有能隙 (Energy Bandgaps). 光波在具有週期性介電質分布 的環境中傳輸時, 是否也會出現帶隙 (Frequency Bandgaps)? 西元1987年, 兩位科學家Eli Yablonovitch 與 Sajeev John 幾乎同時提出上述概念 (Phys. Rev.Lett. 20, 2059 (1987) 與 Phys. Rev.Lett. 23, 2486 (1987 )). 他們將這種人工製造的介 電質週期結構稱作 “光子晶體” (Photonic Crystals). Eli Yablonnovitch 的目的是想藉著光子晶體的 Bandgaps 抑 制自發輻射, 增進雷射的效率. Sajeev John 則是想藉著先由 週期介電質產生 Bandgaps, 再適度弄亂此結構, 以實現光波 的 “Anderson 局域化” (Anderson Localization).
G
We have exp(iGa) 1 exp(i 2 n)
2 n 2 G nb, b , a a
a
f ( x)
n
C

n
exp inbx
1 a 0 exp imbx exp inbx dx a mn Cn a 0 f (x)exp inbx dx 1 a Or C(G) f ( x)exp iGx dx a 0
缺陷模 (Defect Mode)
波導模 (Guiding Mode)
光子帶隙的其它應用
• 光子晶體光纖 (Photonic Crystal Fiber)
其截面為具有缺陷的光子晶體, 如上一張投影片 的左上第一圖. 優點為: 1. 利用的是光子帶隙特性, 而非全反射, 故不 必受全反射臨界角條件之限制, 原則上可任意轉 彎. 2. 在其中的光是在空氣或真空中傳播, 減少被 介電物質吸收的機會.

exp( iG r ) d 2 r
(G)
S (G) f a (1 f ) b
1 Ac
if G 0 if G 0
Structure factor: S (G ) Filling Fraction: f Aa Ac
region a

光子晶體原理與計算 (I)
Bloch 定理 ,光子能帶, 平面波展開法, 光子能流, 與多重散射法
Pi-Gang Luan (欒丕綱) Wave Engineering Lab (波動工程實驗室) Institute of Optical Sciences National Central University (中央大學光電科學研究所)
2 a
1 ˆ y 3 1 ˆ y 3
二元系統與結構因子 Binary System and Structure Factor (2D)
(r)
(G )

a b
1 Ac
cell
if r region a if r region b
(r ) exp( iG r ) d 2 r
C (G) f (1 , 2 , 3 )exp 2 i n11 n22 n33 d1d2 d3
0 0 0 1 1 1
晶格基底與倒晶格基底 (二維) Lattice Bases vs. Reciprocal Lattice Bases (2D)
•
•
光子晶體 (Photonic Crystals)
（a）一維光子晶體 （b）二維光子晶體 （c）三維光子晶體
Photonic Crystals
光子晶體能帶(頻帶) , 光子帶隙 (2D System) Photonic band structure, Photonic band gap
光子晶體 (帶隙) 的應用: 共振腔與波導
•
•
Famous People
Eli Yablonovitch
Sajeev John
光子晶體研究的現在與未來
• 在忽視物質對光能量的吸收的情形下, 光子能帶的形式與
特性在工作波長與系統尺寸的相對比例維持不變的情形下 是固定的. 因此, 只要等比例縮小系統尺寸與波長, “大” 光 子晶體結構在微波頻段所表現出的光學特性將與 “小” 光子晶體結構在紅外光區或可見光區的特性一樣. 早期的技術只能製造出工作於微波頻段的光子晶體結構, 近年利用半導體蝕刻與其它先進技術, 已可製造出用於可 見光光頻區的光子晶體. 利用整塊光子晶體週期結構的塊材, 或是在其中製造點缺 陷與線缺陷, 並選擇適當的工作頻率, 可以做出 “光子反射 器”, “濾波器”, “共振腔”, “波導”, “光纖”, 以及 “光 子晶體透鏡” 等. 未來的目標是要利用光子晶體全面性地 控制光流, 製造出 “給光子使用的半導體”.
• 週期函數的處理: Fourier 級數與倒晶格
(Reciprocal Lattice) • Bloch 定理 (Bloch’s Theorem) 與平面波展開 法 (Plane Wave Expansion Method) • 光子能流 (Photonic energy flow), 能量速度 (Energy velocity) 與群速度 (Group velocity) • 等頻率線 (Constant frequency curves) 的應用
J Gr Structure Factor: S (G) 2 f 1 Gr 1 3 ˆ ˆ ˆ a1 a x, a2 a x y , 2 2
b1 2 1 2 2 ˆ ˆ ˆ x y , b2 y a a 3 3
Gr n1
2 a
1 2 2 ˆ ˆ ˆ x y n2 y r a 3 3
2
r2 f | a1 a 2 | r2 2 a sin( / 3)
2 r 2 3 a2
2 r 2n n n12 2 1 a 3
Periodic function, Fourier Series and Reciprocal Lattice
1D periodic function: f ( x a) f ( x) f ( x R), R na, a : period
Try f ( x) C (G)exp(iGx)
(r) (G)exp(iG r)
G

1 1 a exp( iG r ) d 2 r b exp( iG r ) d 2 r Ac Ac a b ( a b ) exp( iG r ) d 2 r b Ac Ac a
a b cell
exp(iG r ) d 2 r
Example 1: Square Lattice, Circular Rods/Holes
r 2 1 Structure Factor: S (G ) exp(iGr 'cos )d r ' dr ' Ac 0 0
2D periodic function :
f (r a1 ) f (r a1 ) f (r ) f (r R )
R n1a1 n2a1 , a1 and a 2 : fundamental translation vectors
(Primitive) Cell Area:
光子晶體傳導帶的應用(I) 長波極限 (Long-wavelength Limit): 非均向性透鏡 (Anisotropic Lens)
Photonic crystals as optical components P. Halevi et.al. Appl. Phys. Lett. 75, 2725 (1999) See also Phys. Rev. Lett. 82, 719 (1999)
Fourier Expansion: f (r) C (G)exp(iG r)
G
Fourier Component: C (G )
1 Vc
cell

f (r) exp( iG r) d 3 r
Reciprocal Lattice: G n1b1 n2b2 n3b3 , ai b j 2ij
a 2 a3 a3 a1 a1 a 2 RL Bases: b1 2 , b 2 2 , b3 2 Vc Vc Vc
Cell Volumn: Vc | a1 (a2 a3 ) |
Point in a Unit Cell: r 1a1 2a2 3a3 , 0 1 ,2 ,3 1
Thus f (r) f (1 , 2 )
n1 n2
G
C


n1n2
exp 2 i n11 n22
d 2 r | (d1a1 ) (d2a2 ) | Using the fact: d1d 2 Ac | a1 a 2 |
Square Lattice
ˆ a1 ax ˆ a 2 ay
2 ˆ x a 2 ˆ b2 y a b1
Triangular Lattice
a ˆ ˆ x 3y 2 a ˆ ˆ a 2 x 3y 2 a1


4π/ 3a

ˆ x 2 ˆ b2 x a b1
2 2 r ' J 0 (Gr ') dr ' 2 Ac G Ac 0
r
Gr
xJ
0
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
( x) dx
2 2 r 2 J1 Gr 2 GrJ1 (Gr ) G Ac Ac Gr J1 Gr 2f Gr
Identities : exp(ix cos )
n
i n J n ( x) ein ,

d xJ1 ( x) xJ 0 ( x) dx
f
r2
a2
Gr
2 r n12 n22 4 f n12 n22 a
Example 2: Triangular Lattice, Circular Rods/Holes
長波極限 :
10a
光子晶體傳導帶的應用(II) 超越長波極限 (Beyond the Long-wavelength Limit) 負折射透鏡與次波長成像 (Negative Refraction Lens and Subwavelength Imaging)
光子晶體能帶理論, 計算方法, 與物理詮釋
1 We have C (G ) Ac Or Cn1n2
1 1 0 0
cell

f (r ) exp( iG r ) d 2 r

f (1 , 2 ) exp 2 i n11 n2 2 d 1d 2
3D periodic function: f (r) f (r R), R n1a1 n2a2 n3a3