保险精算第1章利息理论基础
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解
单利 A ( 5 ) 5a 0 ( 5 ) 0 5 0 ( 1 5 0 2 % 0 5 ) 0 1 . 1 5 0元5 00 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 0 . 5 2 % ) 5 0 0 0 1 . 0 1 5 0 5 0 元 复利 A (5 ) 50 a (5 0 ) 5 00 (1 0 2 % 0 5 5 ) 5 .4元20 A ( 0来自百度文库. 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 2 % ) 0 . 5 5 0 2 4 . 9 元
这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也
不撤回。 定义
t
A(t) A(t)
a(t) a(t)
式中， t 为该投资额在 t 时的利息强度。
26
利息力
复利计息时
t
A(t) A(t)
a(t) a(t)
[(1 i) t ] (1 i ) t
(1 i)t ln(1 i) (1 i)t
ln(1i) ln 1 ln v v
1 1 (1 i)n (1 i) n 1
1 (1 i)
i
i
i
i 每年所得
i
(1i)n 1is n 1
i
i
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
33
期末付年金
a n
v v2 ... vn 1 vn
( 1 i ) 1 ( 1 i ) 2 . . . ( 1 i ) 1 n ( 1 i ) n
利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的 租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该 笔资金而蒙受的损失。
Interest
3
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
18
名义利率与名义贴现率
用i (m ) 符号记每一度量期支付m次利息的名义利
率。
所谓名义利率（Nominal interest）是指每1/ m
个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率
为 i(m) / m。
即每一个度量期 i (m ) 的名义利率等价于每1/ m度
量期i(m) / m的实际利率。
i
i
1 ia vn n
每年所得
1
i
i
i
i
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
32
期末付年金
1
1
1 付 款… 额 1
11
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
s n
( 1 i)n 1 ( 1 i)n 2 ... ( 1 i) 1
1 ( 1 i) ... ( 1 i) n 2 ( 1 i) n 1
味着递减的实际利率。
13
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
14
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
Actuarial Science
第 1 章 利息理论基础
1.1 利息度量 1.2 年金
保险精算
1
Actuarial Science
1.1 利息度量
1.1.1 实际利率和实际贴现率 1.1.2 单利和复利 1.1.3 名义利率和名义贴现率
保险精算
2
利息
所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款 人向贷款人支付的使用资金的报酬。
20 2% 1000
d1AI(11)1200201.96% 1
i2AI(21)1300202.94% 1 d2AI(22)1300502.85% 7
10
Actuarial Science
利息度量：积累方式不同
保险精算
11
单利与复利
考虑投资一单位本金。
如果其在 t时的积累值为 a(t)1it
则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的 利息称为单利（Simple interest）。
解
年金现值
1 ( 1)1 0
1 0 0 0 a 1 0 0 0 1 00 .0 6
1 6 % 1 0 0 0 7 .3 6 0 0 9 7 3 6 0 .0 9 元
6 %
年金积累值
1 0 0 0 s 1 0 0 0 ( 1 6 % ) 1 0 1 1 0 0 0 1 3 .1 8 0 8 0 1 3 1 8 0 .8 0 元
等式两侧同时乘以 (1 i ) n
(1 i)n a ( 1 i)n 1 ( 1 i)n 2 ... ( 1 i) 1 n
s n
( 1 i)n 1 ( 1 i)n 2 ... ( 1 i) 1
34
期末付年金
s (1i)na
n
n
经济含义：各期期末投资本金为1的年金积
累制有两种算法。
v e
27
Actuarial Science
1.2 年金
1.2.1 期末付年金 1.2.2 期初付年金 1.1.3 连续年金
保险精算
28
年金
年金（Annuity）是指按照相等时间 间隔支付的一系列款项。
Annuity
29
Actuarial Science
期末付年金
保险精算
30
期末付年金
在每个付款期间末付款的年金为期末付 年金。
4
利息
t期积累函数（因子）a (t ) 1------------------------------a (t )
总量函数 A(t)
k------------------------------A(t ) a 1(t) ------------------------- 1
0
t
t期折现函数（因子）a 1(t)
一种是各期期末投资本金为1，直接积累到 n
期期末，求和即为 s n（公式左边）； 一种是先求出各期期末投资本金为1的年金
现值，即 a n ，作为时刻0的一次性投资，以复
利i
计算，求出 n 期期末的积累值，即 a
两种计算结果相同。
n
(1
i)n
。
35
应用实例
例 计算年利率为6%的条件下，每年年末 投资1000元，投资10年的现值及积累值。
m
m
(1i(m) )(1d(m) )1
m
m
23
应用实例
例 (1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。（2） 已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的 实际利率。
解 （1） (1i(2))2 1i18%
2
i(2 ) [(1 8 % )1 /2 1 ] 2 7 .8 5 %
量期d(m) / m的实际利率。 1d (1d(m) )m m
21
名义利率与名义贴现率
时间点
0
1/m
… (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现 d(m) (1d(m) )m1 d(m) (1d(m) )m2 …
mm
mm
d(m) (1 d(m) )
m
m
d (m ) 1 m
余额
(1 d(m) )m 1d m
其中，n为大于等于1的整数
9
应用实例
例 某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1 、i2 、d 1 、d 2分别等于多少？
解 A(0)1000A(1)1020 A(2)1050
I1A(1)A(0)20
I2A (2)A (1)50
则
i1
I1 A(0)
t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计 息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以短期 业务一般单利计息。
t 1时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以长期 业务一般复利计息。
15
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
1i
i(m) (1
)m
m
19
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
… (m-1)/m
m/m=1
利息
i(m ) 1 m
i(m) (1 i(m) ) mm
…
i(m) (1i(m) )m2 mm
i(m) (1 i(m) )m1 mm
余额
1
1 i(m )
m
(1 i (m ) ) 2 m
(1i(m) )m 1i m
(1 d (m) )m1 …
m
(1 d (m) )2 m
1 d (m) m
1
(1 d(m) )m 1d m
d 1(1d(m) )m m
1
1
d(m )m [1(1d)m ]m (1vm )
22
名义利率与名义贴现率
(1 i(m) )m 1 i m
(1 d(m) )m 1d 1
m
1 i
1i(1i(m))m(1d(m))m
16
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
17
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
7
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
i (1i(m) )m 1 m
…
(1 i(m) )m1 m
(1i(m) )m 1i m
1
i(m) m[1(i)m1]
20
名义利率与名义贴现率
用d (m )符号记每一度量期支付m次利息的名义贴
现率。
所谓名义贴现率是指每 1/ m 个度量期支付利息
一次，而在每个度量的实际利率为d(m) / m 。
即每一个度量期 d (m )的名义利率等价于每1/ m度
假设一笔年金，付款期限为 n期，每期 期末付款额为1，每期利率为i，各期付款如下
1
1
1 付 款… 额 1
11
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
31
期末付年金
1
1
1 付 款… 额 1
11
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
a n
v v2 ... vn 1 vn
v 1 vn v1 vn
1 v
iv
1 vn i
i(4) 10000(1
)34
4
10000(16%)34 4
10000(1.015)12
11956.2元
25
利息力
在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的 利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对 利息在各个时间点上的度量称为利息力（或利息强 度）。
假设在t 时刻的资金总量由总量函数 A ( t ) 给出，
(1d(4))4 1i18% 4
d (4 ) 4 [1 (1 8 % ) 1 /4 ] 7 .6 2 3 %
（2） 1i(1d(12))12(18% )121.0836
4
4
i8.36%
24
应用实例
例 求1万元按每年计息4次的年名义 利率6%投资3年的积累值。
解 A (3 ) 1 0 0 0 0 a (3 ) 1 0 0 0 0 ( 1 i)3
1 0 0 .0 6
6 %
36
应用实例
例 某银行客户想通过零存整取方式在1年 后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下， 问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
折现因子a 1(1) ,记为v
第n期利息I n
InA(n)A(n1)
Actuarial Science
利息度量：计息时刻不同
保险精算
6
实际利率与实际贴现率
某一度量期的实际利率（Effective annual rate） 是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时
投入的本金金额之比。通常用字母 i表示。
d i 1i
d(1i)i diid
v 1 1i
dv1
i d 1 d
d iv
8
实际利率与实际贴现率
用i n 表示从投资日算起的第n个度量期的实际利
率，则：
in
A(n)A(n1) A(n1)
其中，n为大于等于1的整数
用d n表示从投资日算起的第n个度量期的实际贴
现率，则：
dn
A(n)A(n1) A(n)
如果其在 t时的积累值为 a(t)(1i)t
则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的 利息称为复利（Compound interest）。
12
单利与复利
单利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1in)[1i(n1)] 1i(n1)
1 1 i(n 1)
结论：i n 关于 n单调递减，即常数的单利意
单利 A ( 5 ) 5a 0 ( 5 ) 0 5 0 ( 1 5 0 2 % 0 5 ) 0 1 . 1 5 0元5 00 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 0 . 5 2 % ) 5 0 0 0 1 . 0 1 5 0 5 0 元 复利 A (5 ) 50 a (5 0 ) 5 00 (1 0 2 % 0 5 5 ) 5 .4元20 A ( 0来自百度文库. 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 2 % ) 0 . 5 5 0 2 4 . 9 元
这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也
不撤回。 定义
t
A(t) A(t)
a(t) a(t)
式中， t 为该投资额在 t 时的利息强度。
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利息力
复利计息时
t
A(t) A(t)
a(t) a(t)
[(1 i) t ] (1 i ) t
(1 i)t ln(1 i) (1 i)t
ln(1i) ln 1 ln v v
1 1 (1 i)n (1 i) n 1
1 (1 i)
i
i
i
i 每年所得
i
(1i)n 1is n 1
i
i
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
33
期末付年金
a n
v v2 ... vn 1 vn
( 1 i ) 1 ( 1 i ) 2 . . . ( 1 i ) 1 n ( 1 i ) n
利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的 租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该 笔资金而蒙受的损失。
Interest
3
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
18
名义利率与名义贴现率
用i (m ) 符号记每一度量期支付m次利息的名义利
率。
所谓名义利率（Nominal interest）是指每1/ m
个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率
为 i(m) / m。
即每一个度量期 i (m ) 的名义利率等价于每1/ m度
量期i(m) / m的实际利率。
i
i
1 ia vn n
每年所得
1
i
i
i
i
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
32
期末付年金
1
1
1 付 款… 额 1
11
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
s n
( 1 i)n 1 ( 1 i)n 2 ... ( 1 i) 1
1 ( 1 i) ... ( 1 i) n 2 ( 1 i) n 1
味着递减的实际利率。
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单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
14
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
Actuarial Science
第 1 章 利息理论基础
1.1 利息度量 1.2 年金
保险精算
1
Actuarial Science
1.1 利息度量
1.1.1 实际利率和实际贴现率 1.1.2 单利和复利 1.1.3 名义利率和名义贴现率
保险精算
2
利息
所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款 人向贷款人支付的使用资金的报酬。
20 2% 1000
d1AI(11)1200201.96% 1
i2AI(21)1300202.94% 1 d2AI(22)1300502.85% 7
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Actuarial Science
利息度量：积累方式不同
保险精算
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单利与复利
考虑投资一单位本金。
如果其在 t时的积累值为 a(t)1it
则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的 利息称为单利（Simple interest）。
解
年金现值
1 ( 1)1 0
1 0 0 0 a 1 0 0 0 1 00 .0 6
1 6 % 1 0 0 0 7 .3 6 0 0 9 7 3 6 0 .0 9 元
6 %
年金积累值
1 0 0 0 s 1 0 0 0 ( 1 6 % ) 1 0 1 1 0 0 0 1 3 .1 8 0 8 0 1 3 1 8 0 .8 0 元
等式两侧同时乘以 (1 i ) n
(1 i)n a ( 1 i)n 1 ( 1 i)n 2 ... ( 1 i) 1 n
s n
( 1 i)n 1 ( 1 i)n 2 ... ( 1 i) 1
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期末付年金
s (1i)na
n
n
经济含义：各期期末投资本金为1的年金积
累制有两种算法。
v e
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1.2 年金
1.2.1 期末付年金 1.2.2 期初付年金 1.1.3 连续年金
保险精算
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年金
年金（Annuity）是指按照相等时间 间隔支付的一系列款项。
Annuity
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期末付年金
保险精算
30
期末付年金
在每个付款期间末付款的年金为期末付 年金。
4
利息
t期积累函数（因子）a (t ) 1------------------------------a (t )
总量函数 A(t)
k------------------------------A(t ) a 1(t) ------------------------- 1
0
t
t期折现函数（因子）a 1(t)
一种是各期期末投资本金为1，直接积累到 n
期期末，求和即为 s n（公式左边）； 一种是先求出各期期末投资本金为1的年金
现值，即 a n ，作为时刻0的一次性投资，以复
利i
计算，求出 n 期期末的积累值，即 a
两种计算结果相同。
n
(1
i)n
。
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应用实例
例 计算年利率为6%的条件下，每年年末 投资1000元，投资10年的现值及积累值。
m
m
(1i(m) )(1d(m) )1
m
m
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应用实例
例 (1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。（2） 已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的 实际利率。
解 （1） (1i(2))2 1i18%
2
i(2 ) [(1 8 % )1 /2 1 ] 2 7 .8 5 %
量期d(m) / m的实际利率。 1d (1d(m) )m m
21
名义利率与名义贴现率
时间点
0
1/m
… (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现 d(m) (1d(m) )m1 d(m) (1d(m) )m2 …
mm
mm
d(m) (1 d(m) )
m
m
d (m ) 1 m
余额
(1 d(m) )m 1d m
其中，n为大于等于1的整数
9
应用实例
例 某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1 、i2 、d 1 、d 2分别等于多少？
解 A(0)1000A(1)1020 A(2)1050
I1A(1)A(0)20
I2A (2)A (1)50
则
i1
I1 A(0)
t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计 息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以短期 业务一般单利计息。
t 1时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以长期 业务一般复利计息。
15
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
1i
i(m) (1
)m
m
19
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
… (m-1)/m
m/m=1
利息
i(m ) 1 m
i(m) (1 i(m) ) mm
…
i(m) (1i(m) )m2 mm
i(m) (1 i(m) )m1 mm
余额
1
1 i(m )
m
(1 i (m ) ) 2 m
(1i(m) )m 1i m
(1 d (m) )m1 …
m
(1 d (m) )2 m
1 d (m) m
1
(1 d(m) )m 1d m
d 1(1d(m) )m m
1
1
d(m )m [1(1d)m ]m (1vm )
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名义利率与名义贴现率
(1 i(m) )m 1 i m
(1 d(m) )m 1d 1
m
1 i
1i(1i(m))m(1d(m))m
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Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
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名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
7
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
i (1i(m) )m 1 m
…
(1 i(m) )m1 m
(1i(m) )m 1i m
1
i(m) m[1(i)m1]
20
名义利率与名义贴现率
用d (m )符号记每一度量期支付m次利息的名义贴
现率。
所谓名义贴现率是指每 1/ m 个度量期支付利息
一次，而在每个度量的实际利率为d(m) / m 。
即每一个度量期 d (m )的名义利率等价于每1/ m度
假设一笔年金，付款期限为 n期，每期 期末付款额为1，每期利率为i，各期付款如下
1
1
1 付 款… 额 1
11
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
31
期末付年金
1
1
1 付 款… 额 1
11
0
1
2
3
…
n2 n 1 n
时间
a n
v v2 ... vn 1 vn
v 1 vn v1 vn
1 v
iv
1 vn i
i(4) 10000(1
)34
4
10000(16%)34 4
10000(1.015)12
11956.2元
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利息力
在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的 利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对 利息在各个时间点上的度量称为利息力（或利息强 度）。
假设在t 时刻的资金总量由总量函数 A ( t ) 给出，
(1d(4))4 1i18% 4
d (4 ) 4 [1 (1 8 % ) 1 /4 ] 7 .6 2 3 %
（2） 1i(1d(12))12(18% )121.0836
4
4
i8.36%
24
应用实例
例 求1万元按每年计息4次的年名义 利率6%投资3年的积累值。
解 A (3 ) 1 0 0 0 0 a (3 ) 1 0 0 0 0 ( 1 i)3
1 0 0 .0 6
6 %
36
应用实例
例 某银行客户想通过零存整取方式在1年 后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下， 问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
折现因子a 1(1) ,记为v
第n期利息I n
InA(n)A(n1)
Actuarial Science
利息度量：计息时刻不同
保险精算
6
实际利率与实际贴现率
某一度量期的实际利率（Effective annual rate） 是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时
投入的本金金额之比。通常用字母 i表示。
d i 1i
d(1i)i diid
v 1 1i
dv1
i d 1 d
d iv
8
实际利率与实际贴现率
用i n 表示从投资日算起的第n个度量期的实际利
率，则：
in
A(n)A(n1) A(n1)
其中，n为大于等于1的整数
用d n表示从投资日算起的第n个度量期的实际贴
现率，则：
dn
A(n)A(n1) A(n)
如果其在 t时的积累值为 a(t)(1i)t
则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的 利息称为复利（Compound interest）。
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单利与复利
单利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1in)[1i(n1)] 1i(n1)
1 1 i(n 1)
结论：i n 关于 n单调递减，即常数的单利意