《利用数列的递推公式求通项公式》教案

教学目标
（一）知识与技能
1、了解并掌握递推公式求数列通项公式的几种方法
2、了解四种类型的递推公式的处理思路
3、能够解决简单的递推公式求通项公式问题
（二）过程与方法
1、通过PPT 演示，了解四种类型递推公式的结构特征
2、通过实例归纳总结四种类型的处理思路
（三）情感态度与价值观
1、渗透归纳总结、类比探究的思想
2、培养学生独立思考主动探究的能力
教学重点
四类递推公式的结构特征
教学难点
利用递推公式求通项公式
教学方式
PPT 演示
教学过程
导入新课：
已知递推数列求通项公式，是数列中一类非常重要的题型，也是高考的热点之一．数列的递推公式千变万化，由递推数列求通项公式的方法灵活多样，下面谈谈几种简单的求解策略。

递推形式：
这里我们主要来研究三类比较常见的递推公式结构，接下来我们将通过通过下面几个例题来研究下如何处理这四类问题.
n n a n f a )(1=+)(1n f a a n n +=+q
pa a n n +=+1
例1、 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

分析：类型1，本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+
+-+-+，消元即可得到数列{}
n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)12
(1)(1)1
n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

总结：上述通过作差求和消元的方法，我们称之为“累加法”.
例2、已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

分析：类型2，本题解题的关键是把递推关系转化为 1
1+=+n n a a n n ， 进而求出
13211221
n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，消元得到数列{}n a 的通项公式。

解：由条件知
1
1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n
n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒
又321=a ，n
a n 32=∴
总结：上述例题中通过作商消元的方法，称之为“累乘法”，其实例1例2题型是比较相似的，区别在于加法与乘法，以后处理类似题型时要注意区分比较。

例3、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
分析：本题相对于前面有点难度，如果我们利用累加法处理的话，会发现后面含有未知参量消不了，因此不能利用前面的方法处理。

这里给大家介绍一种新的方法，待定系数法构造新数列.把原递推公式转化为：
)3(231+=++n n a a ，转化为等比数列求解
解：321+=+n n a a 可以转化为)
(21t a t a n n -=-+ 即321-=⇒-=+t t a a n n .
故递推公式为)
3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b
所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,
于是
321-=+n n a .
总结：关键在于凑出
)3(231+=++n n a a 思路：转化为)(21t a t a n n -=-+即3
21-=⇒-=+t t a a n n 上述方法称为待定系数法，特点：构造新数列，转化求解.
小结：
（1）累加法：
（2）累乘法：
（3）待定系数法： )(1n f a a n n +=+)
(1n f a a n n =-⇒+n n a
n f a )(1=+)(1n f a a n n =⇒+)
(11t a p t a q pa a n n n n -=-⇒+=++
练一练：
进阶练习
板书设计
一、递推形式（1）
（2）
（3）
二、例题精析例1、
例2、
例3、
三、小结
（1）累加法（2）累乘法（3）待定系数法
教学反思
递推公式求解通项公式题型较多，方法灵活多样，学生不易理解，本节课力求抓住递推公式的结构特征，从事物的本质出发，学会举一反三.课堂容量较大，具体教学中应循序渐进，不宜知识点讲完直接练习,另课堂教学应多加互动，及时反馈.。