第五章 趋势外推预测法

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2) 计算求待定系数所需的数据资料
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 编号 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 利润 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 额
ˆ y t a b ln t
L 1 ae
bt
④生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：
yt
龚珀兹曲线预测模型 ：
ˆ yt ka
b
t
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5.1趋势外推法概述
（3）基本思想 模型库 模型识别 参数估计 预测
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类型、特征 属何种类型 确定模型
5.1趋势外推法概述
时序 （t） 12 13
总额 （ yt ） 604.5 638.2
年份 1974 1975
时序 （t） 23 24
总额 （ yt ） 1163.6 1271.1
1954
1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961
3
4 5 6 7 8 9 10
381.1
392.2 461.0 474.2 548.0 638.0 696.9 607.7
n

xt 0

ˆ a
n
yt y
t 1
ˆ b

n
xt yt xt
n
t 1 n
t 1
n
n

2
t 1

n
yt 6650

xt yt 9 1 0 0

xt 1 1 0
2
t 1
t 1
t 1
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2) 计算求待定系数所需的数据资料
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 编号 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 利润 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 额
一般形式：
2 k ˆ y t b 0 b1t b 2 t b k t
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5.1趋势外推法概述
②指数曲线预测模型： 一般形式 ：
ˆ y t ae
bt
修正的指数曲线预测模型 ：
ˆ yt a b c
t
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5.1趋势外推法概述
③对数曲线预测模型：
1965
1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972
14
15 16 17 18 19 20 21
670.3
732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3
1976
1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
25
26 27 28 29 30 31 32
上述计算可列在表中。
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5.2多项式曲线趋势外推法
（2）二次多项式曲线模型及其应用
二次多项式曲线预测模型为：
二阶差分常数
2 ˆ y t b 0 b1t b 2 t
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5.2多项式曲线趋势外推法
设有一组统计数据
Q ( b 0 , b1 , b 2 )
2
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5.2多项式曲线趋势外推法
ˆ 进行指数曲线模型拟合。对模型 ： y ae ˆ 两边取对数： ln y ln a b t 产生序列 ln y ，之后进行普通最小二乘估计该模型。 最终得到估计模型为：
bt t
t
t
ˆ ln y t ln 303.69 0.0627 t
1000 800
利润额
600 400 200 -6 -4 -2 0 2 4 6
Xt
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预测：
ˆ y 2004 6 0 4 .5 8 2 .7 6 1 1 0 0 .7 ( 万 元 )
ˆ y 2005 6 0 4 .5＋ 8 2 .7 7＝1 1 8 3 .4 万 元 ） （
解： 1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点 的变化趋势是否可用直线方程来拟合。
1000 800
利润额
600 400 200 -6 -4 -2 0 2 4 6
Xt
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表 3.1某家用电器厂1993～2003年年利润及拟合直线 方程法计算表（单位：万元）
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 利润额t y 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 6650

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5.1趋势外推法概述
（2）常见的趋势预测模型
①多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型：
ˆ y t b 0 b1 t
ˆ t b 0 b1 t b 2 t 2 二次（二次抛物线）预测模型：y
三次（三次抛物线）预测模型： y t b 0 b1t b 2 t 2 b3 t 3 ˆ
预测与决策分析技术
主讲: 苑清敏
5趋势外推预测法

5.1趋势外推法概述 5.2多项式曲线趋势外推法 5.3指数曲线趋势外推法 5.4生长曲线趋势外推法
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5.1趋势外推法概述
1趋势外推法概述 （1）趋势外推法概念和假定条件 趋势外推法概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势， 没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线 反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件不变或变化不大。
y1
y y ， ，…， ，令
2 n
(y
t 1
n
t
ˆ 2 yt )
(y
t 1
n
t
b 0 b1t b 2 t ) 最 小 值
2 2
即：
y nb 0 b1 t b 2 t 2 2 3 ty b 0 t b1 t b 2 t 2 2 3 4 t y b 0 t b1 t b 2 t
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解这个三元一次方程就可求得参数。
5.2多项式曲线趋势外推法
例题 下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额 （按当年价格计算），分析预测我国社会商品 零售总额 。
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年份 1952 1953
时序 （t） 1 2
总额 （ yt ） 276.8 348.0
年份 1963 1964
n

xt 0

ˆ a
n
yt y
t 1
ˆ b

n
xt yt xt
2
t 1 n
t 1
n

t 1
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2) 计算求待定系数所需的数据资料
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 编号 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 利润 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 额
1339.4
1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
1962
11
604.0
1973
22
1106.7
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对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
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5.2多项式曲线趋势外推法
从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 ˆ 适用的二次曲线模型为： y t b 0 b1t b 2 t 2 适用的指数曲线模型为： y ae bt ˆ
0 .0 6 2 7 t ˆ y t 3 0 3 .6 9 e
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5.2多项式曲线趋势外推法
其中调整的，0 .9 5 4 7 R
2
F 632.6 F0 .0 5 (1, 30)
，
则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标 准误差为：175.37。 通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采 用二次曲线模型拟合的效果更好。因此， 2 ˆ y t 577.24 44.33 t 3.29 t 运用方程： 进行预测将会取得较好的效果。
xt
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
xt 2
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385
xt yt
0 300 700 1200 2000 3150 4200 5250 6800 8550 173.7 356.4 439.1 521.8 604.5 687.2 769.9 852.6 935.3 1018.0
t
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5.2多项式曲线趋势外推法
t
2
进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，然后运用普 通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模 型为： ˆ 2
y t 5 7 7 .2 4 4 4 .3 3 t 3 .2 9 t
R 0.9524 2 R 0.9524 ， F 290 F0.05 (2, 29) ， 则 其中调整的 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为 151.7。
t t t 1
二阶向后差分可以表示为：y y y y 2 y y t t t 1 t t 1 t2
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5.2多项式曲线趋势外推法
2多项式曲线趋势外推法 （1）直线模型预测
y t a 0 a 1t
一阶差分常数
特征：
y t y t y t 1
n

xt 0

ˆ a
n
yt y
t 1
ˆ b

n
xt yt xt
n
t 1 n
t 1
n
n
604.5

2
82.7
xt 1 1 0
2
t 1

n
yt 6650

xt yt 9 1 0 0

t 1
t 1
t 1
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拟合直线方程为
y t 604.5 82.7 x t
2 n

n
ˆ ( yt yt )
2
即：
t 1

( y t b 0 b1t b 2 t b 3 t ) 最 小 值
2 3 2
2 3
t 1

y nb 0 b1 t b 2 t b 3 t
2 3
ty b 0 t b1 t b 2 t b 3 t
3趋势模型的选择 （1）图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。
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5.1趋势外推法概述
（2）差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳 序列。 一阶向后差分可以表示为： y y y
xt
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0
xt 2
25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 110
xt yt
-1000 -1200 -1050 -800 -500 0 700 1500 2550 3800 5100 9100
ˆ yt
191.0 273.7 356.4 439.1 521.8 604.5 687.2 769.9 852.6 935.3 1018.0
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5.2多项式曲线趋势外推法
（3）三次多项式曲线预测模型为：
ˆ t b 0 b1t b 2 t 2 b3 t 3 y
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5.2多项式曲线趋势外推法
设有一组统计数据
Q ( b 0 , b1 , b 2 , b 3 )
y1
n
y y ， ，…， ，令
若增长曲线为一次曲线，则其一阶差分为常数。 适用于时间序列数据呈直线趋势的上升（或下 降）变化。P74 例题
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例3.1 某家电企业1993～2003年利润额数 据资料如（表3.1）所示，求当时间变量的编号 分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4， 5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，试预测 2004、2005年企业的利润各为多少万元？