重积分练习题含答案

第十章 重积分练习

结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则

⎰⎰

⎰⎰⎪⎩⎪

⎨⎧=--=-=D

D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1

),(),(),(2),(),(0),(时当时当σ

σ

结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则

⎰⎰

⎰⎰⎪⎩⎪

⎨⎧=--=-=D

D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1

),(),(),(2),(),(0),(时当时当σ

σ

结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则

⎰⎰

⎰⎰⎪⎩⎪

⎨⎧=---=--=D

D y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1

),(),(),(2),(),(0),(时当时当σ

σ

其中}0,

),(),{(1≥∈=x D y x y x D

结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则

⎰⎰⎰⎰=D

D

d x y f d y x f σσ),(),(

练习1

1.求σ-=⎰⎰

d x y I D

2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-

2.证明⎰⎰⎰

-=x a

b

a

b a

dy y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）

3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明

⎰

⎰

->b a

b a

a b dx x f dx x f 2)()

(1

)(

4.计算[]

⎰⎰

++D

dxdy y x yf x )(12

2，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

5.计算⎰⎰⎰+=

v

dv y x I )(2

2，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面 2=z ，8=z 所围区域。

6. 设函数)(x f 连续，[]

d v y x f z

t F v

⎰⎰⎰++=

)()(222

，其中

{}

H z t y x z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求

dt

dF 和20)(lim t t F t →

7. 求曲面2

21y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面2

2y x z +=所围立体的体积

V

8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2

2

2

2

>=++a a z y x 上，问当R 取何值

时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？

练习2

1． 计算

⎰⎰

D

xyd σ，其中区域D 是由抛物线12

-=x y 及直线x y -=1所围成的区域

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-827 2． 计算⎰⎰+D

y

x d e σ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e 1 3． 计算

⎰⎰+D

dxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π

4． 更换积分次序

① ⎰

⎰2

1

1),(x x

dy y x f dx ② ⎰⎰

-π0

sin sin 2

),(x

x dy y x f dx

5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ⎪⎭

⎫

⎝⎛364

6. 球体2222

+x y z R +≤ 与Rz z y x 22

22≤++的公共部分为一立体，求其体积

⎪⎭

⎫ ⎝⎛3125R π

7. 计算三重积分

⎰⎰⎰Ω

zdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22y x z +=

及平面1=z 所围成区

域 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛4π

8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ω

=

zdv x

I 2

，其中Ω是由球面

2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ⎪⎭

⎫

⎝⎛12π

9. 求球面2

2

2

2

a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2

2

内部的那部分面积（0>a ）

))2(2(2-πa

重积分练习一参考答案

1.求σ-=

⎰⎰

d x y I D

2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-

解： 如图，曲线2

x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：

，2

x y 0≤≤；2y x ,1x 1:D 22≤≤≤≤-

σ

-+σ-=σ-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰d x y d y x d x y I 2

1

D 2D 2D

2

()

()

⎰⎰⎰⎰

--=-⋅+-⋅=11

2

21

1

2

22

15

1

3

x

x dy x y dx dy y x

dx 2.证明

⎰⎰⎰

-=x a

b a

b a

dy y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）

证： 左端=

⎰⎰

x a

b a

dy y f dx )(，⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，⎩⎨⎧≤≤≤≤b

y a b x y D

左端=

=

⎰⎰

x

a

b

a

dy y f dx )(⎰⎰

b y b

a

dx y f dy )(⎰=-=b

a dy y

b y f ))((右端，证毕！

注： 本题还可这样证明：

令⎰

⎰⎰--=

t a

x

a

t

a

dx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=⇒='t F t F

3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明

⎰

⎰

->b a

b a

a b dx x f dx x f 2)()

(1

)( 证： 设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称

⎰⎰⎰

⎰

=∴

b a b a b a

b a

dy y f dx x f dx x f dx x f )

(1)()(1

)(

2

2

2

)()

()()

()(221)()()()(21)()()()(21)()

()()(a b dxdy dxdy y f x f y f x f dxdy y f x f y f x f dxdy x f y f y f x f dxdy x f y f dxdy y f x f D

D D D D

D

-==≥+=

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

4.计算

[]

⎰⎰

++D

dxdy y x yf x )(12

2，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。 解： 作曲线3

x y =，则积分区域被分为1D 和2D ，1D 关于x 轴对称，2D 关于y 轴对称。