切向加速度和法向加速度
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（3）一般曲线运动及变速率圆周运动，at 0, V2 V2 （4） a n ：计算曲率半径
, an 0
an 0
an
例： R = 800m的圆形轨道，汽车，静止开始，
求： t = 2（分）， a , a , a n t
解：设
速率均匀增加，t = 3（分），V = 20m/s
dV d 2 s at 2 ：切向加速度，速率变化引起的 dt dt
dV d 2 s at 2 ：切向加速度，速率变化引起的 dt dt V , at 0,与 反方向 V , at 0, 沿 方向，
an V2
0 ：法向加速度，速度方向变化引起的
at
a
an
R
O
V kt, t=3（分）=180s， V = 20m/s
=20/180=1/9， V t
k
dV 2 at 1 / 9 0.111(m / s ) dt
9
t =2（分）=120s，
V =120/9(m/s)
V2 an 0.222m / s 2 R
a a a 0.248m / s , tg an / at 2, 63.4
VB对A VB VA
dV dV dV0 dt dt dt
aB对A aB aA
例：汽车以20
m/ s
速度向东行驶，
雨滴在空气中以10 m / s 速度下
雨滴 20m / s
落，求雨滴相对于汽车的速度
解：地面： S , 汽车： S 系 车对地面的速度为牵连速度 大小
V V V0 ：绝对速度=相对速度+牵连速度
a a a0 ：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度 如果 S 系相对于 S 系作匀速直线运动，则 a0 0, a a
dV a ：质点在 S 系中的加速度（绝对加速度） dt dV a ：质点在 S 系中的加速度（相对加速度） dt dV 0 a 0 ：O点相对于 O 点的加速度（牵连加速度） dt
63.4
第 6节
圆周运动的角量表示
y
P r s
R
O
s R ：角坐标，rad (t ) s s (t )
V R,
d d 2 ：角加速度， 2 rad / s 2 dt dt V 2 2R2 2R at R , a n R R
二、切向加速度和法向加速度
ds d ds V n, , dt d d
a at a n n
dV d dV d dV V 2 a (V ) V n dt dt dt dt dt
V V
0 t
匀变速圆周运动
x x0 Vt
匀加速直线运动
0 t
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
1 2 x x0 V0 t at 2 V 2 V02 2a( x x0 )
ds d d V ( R ) R A x dt dt dt d ：角速度， rad / s dt dV d d 2 at R R 2 dt dt dt
讨论： 1、 不变，匀角速圆周运动 （匀速率圆周运动，匀速圆周运动）
d 0 dt t d d dt d dt dt 0 0
沿法线指向曲率中心
at
an
2 dV V 2 a a at2 an ( ) 2 ( ) 2 , tg a n / at
a at a n n
a 指向轨迹凹的一侧
dt
讨论：（1）直线运动，
dV V2 at 0, a n （2）匀速率圆周运动， ：向心加速度 R dt
角位移：
2、 不变：匀变速圆周运动
0 t , 0 t
d dt
0
d dt
t
d dt ,
0
0 t 0 t
d 0 t dt
d ( 0 t )dt
n d n n lim n 0, lim 0 0 d
d d d d d ds dt d dt d ds dt ,
d V n dt
2 t 2 n 2
第5节
相对运动
r
S
O
静系
P
r0
S
O
动系
r
r r r0 dr dr dr0 dt dt dt
S 相对于 S 作平动运动 r r r0
dr V ：质点在 S 系中的速度（绝对速度） dt dr V ：质点在 S 系中的速度（相对速度） dt dr0 V0 ：O 点相对于 O 点的速度（牵连速度） dt
10m / s
V0 20m / s
V0
雨滴对地的速度为绝对速度 大小
V 10m / s
雨滴对车的速度为相对速度
V V
V0 tg 2 V
根据 V V V0 , V V V0
V V V 22.4m / s
2 2 0
精品课件！
精品课件！
d (
0
t
0
t )dt
1 2 角位移： 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
匀速圆周运动 匀速直线运动
0
**********************************************************************************
V V0 at
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, an 0
an 0
an
例： R = 800m的圆形轨道，汽车，静止开始，
求： t = 2（分）， a , a , a n t
解：设
速率均匀增加，t = 3（分），V = 20m/s
dV d 2 s at 2 ：切向加速度，速率变化引起的 dt dt
dV d 2 s at 2 ：切向加速度，速率变化引起的 dt dt V , at 0,与 反方向 V , at 0, 沿 方向，
an V2
0 ：法向加速度，速度方向变化引起的
at
a
an
R
O
V kt, t=3（分）=180s， V = 20m/s
=20/180=1/9， V t
k
dV 2 at 1 / 9 0.111(m / s ) dt
9
t =2（分）=120s，
V =120/9(m/s)
V2 an 0.222m / s 2 R
a a a 0.248m / s , tg an / at 2, 63.4
VB对A VB VA
dV dV dV0 dt dt dt
aB对A aB aA
例：汽车以20
m/ s
速度向东行驶，
雨滴在空气中以10 m / s 速度下
雨滴 20m / s
落，求雨滴相对于汽车的速度
解：地面： S , 汽车： S 系 车对地面的速度为牵连速度 大小
V V V0 ：绝对速度=相对速度+牵连速度
a a a0 ：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度 如果 S 系相对于 S 系作匀速直线运动，则 a0 0, a a
dV a ：质点在 S 系中的加速度（绝对加速度） dt dV a ：质点在 S 系中的加速度（相对加速度） dt dV 0 a 0 ：O点相对于 O 点的加速度（牵连加速度） dt
63.4
第 6节
圆周运动的角量表示
y
P r s
R
O
s R ：角坐标，rad (t ) s s (t )
V R,
d d 2 ：角加速度， 2 rad / s 2 dt dt V 2 2R2 2R at R , a n R R
二、切向加速度和法向加速度
ds d ds V n, , dt d d
a at a n n
dV d dV d dV V 2 a (V ) V n dt dt dt dt dt
V V
0 t
匀变速圆周运动
x x0 Vt
匀加速直线运动
0 t
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
1 2 x x0 V0 t at 2 V 2 V02 2a( x x0 )
ds d d V ( R ) R A x dt dt dt d ：角速度， rad / s dt dV d d 2 at R R 2 dt dt dt
讨论： 1、 不变，匀角速圆周运动 （匀速率圆周运动，匀速圆周运动）
d 0 dt t d d dt d dt dt 0 0
沿法线指向曲率中心
at
an
2 dV V 2 a a at2 an ( ) 2 ( ) 2 , tg a n / at
a at a n n
a 指向轨迹凹的一侧
dt
讨论：（1）直线运动，
dV V2 at 0, a n （2）匀速率圆周运动， ：向心加速度 R dt
角位移：
2、 不变：匀变速圆周运动
0 t , 0 t
d dt
0
d dt
t
d dt ,
0
0 t 0 t
d 0 t dt
d ( 0 t )dt
n d n n lim n 0, lim 0 0 d
d d d d d ds dt d dt d ds dt ,
d V n dt
2 t 2 n 2
第5节
相对运动
r
S
O
静系
P
r0
S
O
动系
r
r r r0 dr dr dr0 dt dt dt
S 相对于 S 作平动运动 r r r0
dr V ：质点在 S 系中的速度（绝对速度） dt dr V ：质点在 S 系中的速度（相对速度） dt dr0 V0 ：O 点相对于 O 点的速度（牵连速度） dt
10m / s
V0 20m / s
V0
雨滴对地的速度为绝对速度 大小
V 10m / s
雨滴对车的速度为相对速度
V V
V0 tg 2 V
根据 V V V0 , V V V0
V V V 22.4m / s
2 2 0
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d (
0
t
0
t )dt
1 2 角位移： 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
匀速圆周运动 匀速直线运动
0
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