极坐标计算二重积分

252-4
解 由对称性 体积微元
V4 4a2x2y2dxdy
y
D
其 中D为 半 圆 周
y 2ax x2 及x轴
x
所围成的闭区域
CH21-重积分
解 由对称性 V4 4a2x2y2dxdy
D
其 中 D为 半 圆 y周 2axx2及x轴 所 围z成 的
闭 区 域 ， 在 极，坐 0 r标 2系 a cos中 ,
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积.
解：A=4A1
z
S : z a2x2y2
Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
z y
S
x y
Dxy
x
CH21-重积分
例5 求 球x2体 y2z2 4a2被 圆 柱 x2面 y2 2ax(a0)
所 截 得 的 （ 含内在的圆部柱分面 z ） 立. 体
为 顶 的 曲 顶. 柱 体 的 体 积
解法二 V(2x2y2)d
D D :0r1 ;0 2
V (2x2y2)d
2d 1(2r2)rdr
0
0
2(r2
0
14r4)|10dt
3 4
2 dθ 3
0
2
CH21-重积分
例 6 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在原点，
D
半径为a的圆周所围成的闭区域.
如 何 将 二 重 积 分 化 为 确 定 积 分 限 是 关 键
极坐标形式累次积分
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
CH21-重积分
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
M(x, y)
x r cos
y
r
sin
•
r (r, )
0
x
? f(x, y)d 在极坐标系下
D
极坐标系下的面积元素如何表示？
1()
()
2 d d0()ff(( rr c co o ,r ,r s s s sii)n r )n rd .d . rr
0
0
（在积分中注意使用对称性）
CH21-重积分
极坐标系下几种形式
D 1: , 1 () r 2 ().
f(rcos,rsin)rdrd
D1
极点在区域 D 的边界上
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
02,
r()
D
0r().
f(rco,srsin)rdrd o
A
D 2 ()
极点在区域D内部
d f(rco ,rs si)n rd . r
0
0
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,
f(x ,y)dxdfy (rc o,rsi)n rd.rd
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积 函数含 (x2 的y2用) 此简便.
CH21-重积分
二、极坐标系下二重积分化累次积分
三线
方法： 极坐标系下区域如图所示：
法
确定极坐标系下先r后 积分的方法 =
-型： , 1()r2().
ri rii,
rdrd o
面积元素 drdrd
D
利用扇形的 面积公式
i
i
A
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
CH21-重积分
关键 f(x, y)dxd.y
D
化
x rcos y rsin
被
积 函
rdrd x2y2r2
数
D r f(rco,srsin)
解
y
3x0 2
3
x2y24y r 4 sin
x
3y01
6
x2y22y r2sin
(x2
y2)dxdy
3d
4sinr2rdr15(
3).
D
6
2sin
2
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D 4D1
通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为
极坐标系下的二重积分，
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
解题步骤：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将 xrco ,y srsin 代入被积函数.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键
D
0 f在 D 上关 x为 于 奇函数
f(x,y)dxd 4y D 1f(x,y)dx,dyf关x于 且关 y为 于 偶函
D
0 f关x于 且关 y为 于 奇函数
知识点回顾
CH21-重积分
(4) 应用问题
--由曲面所围成的立体体积的计算
z
y x
方法
f(x,y)z上z下 .
思 考
sin( x2 y2 )
CH21-重积分
计算二重积分 I D
x2 y2 dxdy ,
题 其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D4D1 注意：被积函数也要有对称性.
D1
sin( x2 y2)
I
D
dxdy x2 y2
4 sin( x2y2)dxdy
知识点回顾
计D:y算 I1 ,yyx[2101dxx0 f(xxe2yC2 Hyd 212-)重y]d积分xd
(2) 交换二次积分的积分次序
关键
➢画出积分区域形状，
➢确定新的二次积分限
重要
(3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分
结论
f(x,y)d xd 2yD 1 f(x,y)dx,dyf关D 于 上 关x为 于偶函
在极坐标系下
D1
x2y2a2 ra ,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )ra2co 2s ,
伯努利双曲线
CH21-重积分
由r a
2cos 2
,
ra
得交点 A (a, ), 6
所求面积 dxdy
D
4dxdy
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
a2( 3). 3
CH21-重积分
极坐标系下被积函数如何表示？
极坐标系下的区域如何表示？
1. 极坐标系下的面积元素的确定
CH21-重积分
计算小扇形的面积i （用极坐标曲线划分D）
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s 1 r 2
2
1 2(2ri ri)rii
rri ri r ri
i i
ri (ri2ri)rii
闭区域D可用不等式表示
0
V4 4a2r2rdrd
2
o
2a
y
D
2acos
4 2d
4a2r2rdr
0
0
x
32 a3
2 (1 sin3 )d
30
32
a
3
(
2)
3 23
小结
CH21-重积分
二重积分在极坐标下的计算公式
f(rco,srsin)rdrd
D
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
sin( x2 y2)dxdy
D
x2 y2
D4D1
0
2
D1
4 sin( x2y2)dxdy1r2
D1
x2 y2
4
2d
2sinrrdr 4.
印象
0 1r
考研—填空题
CH21-重积分
例 例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
题
D
分 式，其中积分区域
析 D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
由于 e x2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
解 在极坐标系下，D：0 r a ，0 2.
ex2y2dxdy 2d aer2rdr
D
0
0
1
2
2d
0
0aer2dr2(1ea2).
CH21-重积分
注: 利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程 上非常有用的反常积分公式
A
极点在积分区域外
o
A
Df(rco,srsin)rdrdd 2()f(rc o,rs s i)n rd . 1()
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征（二）如图
,
r()
0r().
D
f(rco,srsin)rdrd
D
o
A
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
极坐标系下的累次积分
r2().
r1(D ).
=
o
A
f(x,y)df(rcos,rsin)rddr
D
D
d 2()f(rcos,rsin)rdr
1()
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（１） 251页
区域特征（一）如图：
r1()
,
D
1 () r2 ().
r1()
o
D
r2()
r2()
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
CH21-重积分
D 2: , 0r().
f(rcos,rsin)rdrd
D2
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
D 3: 0 2 , 0r().
f(rcos,rsin)rdrd
D3
2 ()
d f(rco ,rs si)n rd . r
D1
x2 y2
利用极坐标系计算
考研—填空题
数学分析
CH21-重积分
第 二十一章
$4 利用极坐标计算
二重积分
CH21-重积分
利用极坐标计算二重积分---249页
主要内容 极坐标系下的面积元素的确定
二重积分转化为极坐标形式表达式 极坐标系下的二重积分化为累次积分
本节重点 极坐标系下二重积分的 ----计算方法 本节关键
解
在极坐标系下
x y
r cos r sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
xy1
f(x, y)dxdy
D
2d
1
1
f(rco,rssin )rd . r
0 sin co s
CH21-重积分
练习 化二重积分 f (x, y)d.为极坐标下的二次积分.
(3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的 二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
例3
计算
(x2
y2 )dxdy，其
D
CH21-重积分
为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键
(3) 将面积元dxdy 换为 rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的 二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
作业：P254 -1,2，
CH21-重积分
休息一会儿
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数 f (x2+y2) 形式， 利用极坐标常能简化计算.
0
0
例5 求x以 o面 y 上 的 D园 {(x,域 )y|x2y2CH211}-重积分
为,底 圆 柱 x2面 y21为 侧 ,抛 面物 z面 2-x2y2
解法一 为 顶 的 曲 顶. 柱 体 的 体 积
V 4 V ( 2 x(22x y 2 2 ) d y 2)d
D1
D
4 1 dD xx: 1- x1 2 ( 2 x x 21 ; y 21 ) d y x 2 y1 x 2
试问 的变化范围是什么?
(1) y r()
D
ox
答: (1)0;
(2) y r()
D
o
x
(2)
2
2
CH21-重积分
例 题 分 析
例 1 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
4
0
0
2 ( cos 2 t
2
D 1:0x 1 ;0y1x 2
cos 4 t )d t
0
3
4( 1 2 3 1 ) 3 22 3422 2
CH21-重积分
例5 求x以 o面 y 上 的 D园 {(x,域 )y|x2y21}
为,底 圆 柱 x2面 y21为 侧 ,抛 面物 z面 2-x2y2
知识点回顾
CH21-重积分
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
(1)直角坐标下累次积分的计算公式
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.［yX－型］
D
a 1(x)
Df(x ,y)dc dd y 1 2 ((y y ))f(x ,y)d.x ［Y－型］
关键 确定累次积分限
直角坐标系下的面积元素
D
(1 )D :a2x2y2b2
被积函数奇
偶不确定
解 f(x, y)d. 2dbfrco ,rssin rdr
D
0
a
(2)D:x2y22x
解 f (x, y)d.
D
2c
2d 0
osfrco,srs
inrdr
2
r2cos
1
小结
如果积分区域D为圆、
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算.
CH21-重积分
通常出现下面两类问题：
1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
解题步骤：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将 xrco ,y srsin 代入被积函数.