4-有阻尼系统的自由振动解析
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x B1e
(
2
1)
B2e
n
t
(
2
1)
t
n
当 1 时，位移方程为
x ( B1
B
当
2
t) e
n
t
随时间t，按照指数规律减小，不是自由振动。 可见只有 1 时，振系才可能进行自由振动。
一、在题1所示的振系中，一个质量块m分别用两个 弹簧和一个阻尼器连接到上、下基础上，其中质 量m=10千克，弹簧刚度ｋ1=ｋ2=500牛顿/米， 阻尼系数ｃ=160牛顿•秒/米。假设某一时刻将质 量块从平衡位置压低3厘米后，无初速释放，求系 统此后的运动方程。
典型振系的求解 根据振系受力情况，利用牛顿定律可得
m x c x kx
上式经过变形后可得
c k x x x 0 m m
由高等数学的理论可知，求解上式时可设：
xe
st
代入上式，可得其特征方程
s
2
c k s 0 m m
特征方程的根为
c k c s1,2 2m 2 m m
d
上式可改为
xe
t(
n
A cos
1
d
t
A sin
2
d
t)
对位移求导
x ne
t(
n
n t cos t sin t ) A1 d A2 d d e ( A1sind t A2 cosd t)
设在t=0时，有
x x0 , x
上次内容回顾：瑞利法和弹簧刚度系数 讲述的内容
第二章 自由振动 2.5有阻尼系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动
1、 研究的内容
前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响， 实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各 种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩 擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管 已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实 际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体 中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认 为受到粘性阻尼。本教材主要讨论大小与其相对 速度成正比的粘性阻尼。
Td=1.00125T ， 与 无 阻 尼 的 情 形 比 较 ， 只 差
0.125% ，当 ζ=0.3 时， Td=1.05T ， fd=0.95f ，与无
阻尼的情形比较，也只差 5％。所以在阻尼比较小 时，它对周期和频率的影响可以忽略不计。 另一方面阻尼使系统振动的振幅按几何级数 衰减。相邻两个振幅之比为
则有 令
xe
t(
n
Be
1
j 1 2
t
n
Be
2
j 1 2
t)
n
d
1
2
n
代入方程（2.5-2）,得到振系的运动方程
xe
t(
n
j t t B1e B2 e ) j
d d
有数学知识（欧拉公式）可知，
e
i
t cos d t i sin d t
x 2 x
n
2 n
2
x0
s
2
2 n s n 0
2 ( 1) n s1,2
特征方程的根为
1 表示大阻尼
1
表示小阻尼
1 表示临界阻尼
1、小阻尼情形下的自由振动 在 1 的情况下，物体可以进行自由振动。具体分 析如下： 我们知道这时有 s1, 2 n j 1 2 n
微分方程的通解为
t t s s 1 2 x B1 e B2 e
2
当
c k 0 2m m
2
时，c称为临界阻尼系数，记为
c
c
k cc 2m m 2mn 2 km
为了讨论方便，引入阻尼比ξ的概念，用
c
c
来表示振系中阻尼的大小。
c
这时，微分方程和它的特征方程可变为
当ζ<<1时 在相继的几次振动中，振幅 A1 ， A2 ， … ， An ，有如 下关系：
因而
因此对数减幅δ可以表示为
可见只要测定衰减振动的第 j次与第j+1次振动的振幅 之比，就呵以算出对数减幅占，从而确定系统中阻
尼的大小。
1 时，位移方成为
根据数学知识可知，至多有一个零解，不是自由振 动。
ｋ1 ｋ2
m
x
c
题1 图
二、振系如图示，质量块质量m=9.8公斤，弹簧刚 度系数k=25公斤/厘米，阻尼系数c=0.1公斤·秒/ 厘米。试求振系的对数缩减，并估算使振幅减小 到初值的1%所需要的振动次数及时间。
代入上式及其导数有
x0 Asin
由此得
x x (
2 0 0
x0 A (
d
cos n sin )
A
n
x0
)
2
tg
d
x x
d 0
0 n
x0
方程所代表的运动称为衰减振动，如图示．每当时
sin(d t ) 1
物体的运动图与包络线相切．在切点的x值称为振幅，
它随时间的增大而减小．习惯上，将函数 的周期称为衰减振动的周期．
sin(d t )
故衰减振动的周期与频率分别为
Td
2
d
2 1
2
2
n
1 1
2
T
fd
d
2
1 2
n
1 2 f
当 阻 尼 比 较 小 ( 即 ζ<<1) 时 ， 例 如 ζ=0.05 时 ，
x
0
代入上式及其导数有
A1 x0
，
A
2
x0 x
n 0
d
位移可书写为
x Ae
t sin(
n
t ) d
速度可书写为
x
Ae
t[n源自dcos( t ) n sin(d t )]
d
设在t=0时，有
x x0 , x x0
式中，η称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅
减缩到初值的1／eζωnTd。当ζ=0.05时，η=1.366，
A2=A1/1.366=0.73A1 ，即在每一个周期内振幅减 小27％，振幅按几何级数缩减，衰减是显著的。 为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅δ来 代替减幅系数η，即
即对数减幅表示为唯一变量ζ的函数。同样相对阻尼 系数可以确定为
(
2
1)
B2e
n
t
(
2
1)
t
n
当 1 时，位移方程为
x ( B1
B
当
2
t) e
n
t
随时间t，按照指数规律减小，不是自由振动。 可见只有 1 时，振系才可能进行自由振动。
一、在题1所示的振系中，一个质量块m分别用两个 弹簧和一个阻尼器连接到上、下基础上，其中质 量m=10千克，弹簧刚度ｋ1=ｋ2=500牛顿/米， 阻尼系数ｃ=160牛顿•秒/米。假设某一时刻将质 量块从平衡位置压低3厘米后，无初速释放，求系 统此后的运动方程。
典型振系的求解 根据振系受力情况，利用牛顿定律可得
m x c x kx
上式经过变形后可得
c k x x x 0 m m
由高等数学的理论可知，求解上式时可设：
xe
st
代入上式，可得其特征方程
s
2
c k s 0 m m
特征方程的根为
c k c s1,2 2m 2 m m
d
上式可改为
xe
t(
n
A cos
1
d
t
A sin
2
d
t)
对位移求导
x ne
t(
n
n t cos t sin t ) A1 d A2 d d e ( A1sind t A2 cosd t)
设在t=0时，有
x x0 , x
上次内容回顾：瑞利法和弹簧刚度系数 讲述的内容
第二章 自由振动 2.5有阻尼系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动
1、 研究的内容
前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响， 实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各 种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩 擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管 已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实 际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体 中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认 为受到粘性阻尼。本教材主要讨论大小与其相对 速度成正比的粘性阻尼。
Td=1.00125T ， 与 无 阻 尼 的 情 形 比 较 ， 只 差
0.125% ，当 ζ=0.3 时， Td=1.05T ， fd=0.95f ，与无
阻尼的情形比较，也只差 5％。所以在阻尼比较小 时，它对周期和频率的影响可以忽略不计。 另一方面阻尼使系统振动的振幅按几何级数 衰减。相邻两个振幅之比为
则有 令
xe
t(
n
Be
1
j 1 2
t
n
Be
2
j 1 2
t)
n
d
1
2
n
代入方程（2.5-2）,得到振系的运动方程
xe
t(
n
j t t B1e B2 e ) j
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有数学知识（欧拉公式）可知，
e
i
t cos d t i sin d t
x 2 x
n
2 n
2
x0
s
2
2 n s n 0
2 ( 1) n s1,2
特征方程的根为
1 表示大阻尼
1
表示小阻尼
1 表示临界阻尼
1、小阻尼情形下的自由振动 在 1 的情况下，物体可以进行自由振动。具体分 析如下： 我们知道这时有 s1, 2 n j 1 2 n
微分方程的通解为
t t s s 1 2 x B1 e B2 e
2
当
c k 0 2m m
2
时，c称为临界阻尼系数，记为
c
c
k cc 2m m 2mn 2 km
为了讨论方便，引入阻尼比ξ的概念，用
c
c
来表示振系中阻尼的大小。
c
这时，微分方程和它的特征方程可变为
当ζ<<1时 在相继的几次振动中，振幅 A1 ， A2 ， … ， An ，有如 下关系：
因而
因此对数减幅δ可以表示为
可见只要测定衰减振动的第 j次与第j+1次振动的振幅 之比，就呵以算出对数减幅占，从而确定系统中阻
尼的大小。
1 时，位移方成为
根据数学知识可知，至多有一个零解，不是自由振 动。
ｋ1 ｋ2
m
x
c
题1 图
二、振系如图示，质量块质量m=9.8公斤，弹簧刚 度系数k=25公斤/厘米，阻尼系数c=0.1公斤·秒/ 厘米。试求振系的对数缩减，并估算使振幅减小 到初值的1%所需要的振动次数及时间。
代入上式及其导数有
x0 Asin
由此得
x x (
2 0 0
x0 A (
d
cos n sin )
A
n
x0
)
2
tg
d
x x
d 0
0 n
x0
方程所代表的运动称为衰减振动，如图示．每当时
sin(d t ) 1
物体的运动图与包络线相切．在切点的x值称为振幅，
它随时间的增大而减小．习惯上，将函数 的周期称为衰减振动的周期．
sin(d t )
故衰减振动的周期与频率分别为
Td
2
d
2 1
2
2
n
1 1
2
T
fd
d
2
1 2
n
1 2 f
当 阻 尼 比 较 小 ( 即 ζ<<1) 时 ， 例 如 ζ=0.05 时 ，
x
0
代入上式及其导数有
A1 x0
，
A
2
x0 x
n 0
d
位移可书写为
x Ae
t sin(
n
t ) d
速度可书写为
x
Ae
t[n源自dcos( t ) n sin(d t )]
d
设在t=0时，有
x x0 , x x0
式中，η称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅
减缩到初值的1／eζωnTd。当ζ=0.05时，η=1.366，
A2=A1/1.366=0.73A1 ，即在每一个周期内振幅减 小27％，振幅按几何级数缩减，衰减是显著的。 为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅δ来 代替减幅系数η，即
即对数减幅表示为唯一变量ζ的函数。同样相对阻尼 系数可以确定为