几种特殊类型二重积分的计算方法

Several Typical Methods of Double Integral Calculation
Qu Hongping; Yang Zairong; Zhang Hongmei
(Math School, Baoshan College, Baoshan, Yunnan 678000) Abstract: This paper is a summary of teaching experience of some typical methods of double integral calculation which is the major and difficult points in higher mathematics. Key words: Double integral; integral region; the integrand function; symmetry
２
D
解 ： 令 x =rcosθ,y =rsinθ 则 积 分 区 域 D =
≤ （ r,θ） ｜ ０≤θ≤２π,０≤r≤a ≤ ，被积函数e
面积微元dxdy=rdrdθ，于是
－x －y
２
２
=e ，
－r
２
O
蓦e
D
－x －y
２
２
dxdy=
２
乙 dθ
０
２π
图 5 区域 D= ≤ （ x,y） ｜ ０≤x≤１， ０≤y≤１ ≤
乙
x
e dy中的e 的原函数无法用初等函数表
－y
２
－y
２
示 （即所谓的积不出来 ） ， 此时必须考虑交换积 分次序或者利用定积分的分部积分法， 即在对 二次积分 f（ y）的原函 乙dx 乙 f（y）dy的计算中，
a y１（ x） １ ０ b y２（ x）
乙 乙 乙 乙 １ １ １ = 乙ye dy=－ e ｜＝ （ １－ ） ２ ２ e
y
1. 被积函数的原函数不是初等函数
例１： 计算二重积分
O
图 1 积分区域 D
x
乙 乙
０
１
１
dx
x
e dy［１］Ｐ１４１
－y
２
分析： 此题已经将二重积分转化为了先积 y后积x的二次积分， 但所给二次积分的里层积 分
１
把D看成Y－型区域， 则D= 乙 （ x,y） ｜ ０≤x≤y,０≤y≤１ ≤ ， 由此交换积分顺序得：
０
姨sin２θ ３
%
１ r dr= ４
y
乙 sin ２θdθ= １ ６
３ ０
２
r2＝sin2θ
蓦f
D
（ x,y） dxdy =
蓦 蓦 ຫໍສະໝຸດ Baidu 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦
０， f（ -x,y） =－ f （ x,y） ２ f（ x,y） dxdy， f（ -x,y） =f（ x,y）
D１ ［ ３］ Ｐ１２３
蓦
D
e
２ max 蓦 x ,y 蓦 %
dxdy=e－１
二重积分计算的困难主要是因为被积函 但二重积分 数的复杂性和积分区域的多样性。 的计算是有规律可循的。总体上， 二重积分计 算的思路是先将二重积分化为二次积分， 再根 据积分区域和被积函数的特点， 灵活选择计算 公式和方法， 尽可能使计算得到简化。
=
０ １ ２ ４ ０ ０
x
Á Â
OOOOO
D
O
x
２
２
例 ５： （０２ 数 一 考 研 题） 计 算
y x 或 时， 用 x y 。否则用直
蓦e
D
２ max ≤ x ,y ≤ %
２
［ ４］ Ｐ２３４ dxdy， 其中D= ≤ （ x,y） ｜ ０≤x≤１， ０≤y≤１ ≤
［ ２］ Ｐ２３８
解： 被积函数是分段函数， 如图５ e
D ２ ２ ２
e ,sin
－x
２
y 等函数时， 则只能化成先对 y后对x的 x
蓦
二次积分或者利用定积分的分部积分法。
解： 积分区域 D 如图３， 关于坐标原点 O 对 －x, －y） ＝（ －x） · （ －y）=xy=f （ x,y） ， 所以， 由结论２ 称f（ 知： xydσ=２
D π ２
2. 利 用 被 积 函 数 的 奇 偶 性 和 积 分 区 域
保山学院学报
几种特殊类型二重积分的计算方法
屈红萍 杨在荣 张红梅
６７８０００ ）
（保山学院 数学学院， 云南 保山
[摘
要 ] 二重积分是高等数学的重点， 也是难点， 计算较为繁琐。主要通过笔者在二重积分教学中的体
会， 对一些特殊类型的二重积分的解题技巧进行了总结。 [关键词 ] 二重积分； 积分区域； 被积函数； 对称性 [ 中图分类号 ] O13 [ 文献标识码 ] A doi:10.3969/j. issn. 1674-9340. 2012.02.011 [ 文章编号 ] 1674-9340 （2012 ）02-035-04
的对称性
若被积函数 f（ x,y） 在积分区域 D上连续， 则 可根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称 性简化积分， 规则如下： 结论１： 如果积分区域D关于y轴对称， f（ x,y） 关于x具有奇、 偶性， 则
蓦
０
D１
蓦xydσ=２ 蓦rcosθ·rsinθdrdθ
D１ π
=２
乙 cosθsinθdθ 乙
２ sinx 后对y（ 或x） 的积分。 如被积函数出现 ,sinx , x
蓦f（x,y）dxdy= ２ 蓦f（x,y）xdy,f（－x,－y）=f（x,y）其
D D１
蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦
０， f（ －x,－y） ＝ － f（ x,y）
中D１是D的上半平面的部分。 例３： 设域 D 由双纽线（ x +y ） ＝２xy 围成， 计 算积分 xydσ
２ ２ max ≤ x ,y ≤ %
4. 分段函数 （含绝对值函数 ）的二重积分
当二重积分的被积函数含有绝对值时， 可 通过令绝对值中函数为零， 求出积分区域的分 界线， 将积分区域分成几个子区域， 从而在每 个子区域上确定绝对值中函数符号， 去掉绝对 值， 然后， 利用二重积分的区域可加性， 进行分 块计算， 最后把结果相加。
x） = 可以解决问题， 这时令F（
b y２（ x） b
乙 f（y）dy
y１（ x） b a b a
y２（ x）
乙dx 乙 f（y）dy= 乙F（x）dx=xF（x）| － 乙xF′ （ x） dx=bF（ b） －aF（ a） － 乙xF′（ x） dx
则
a y１（ x） a b a
解法一： 由所给的二次积分画出积分区域 D的草图， 如图１，
蓦xsinydσ＝０
D
y
（ x +y ） ＝ a （ x +y ）
２ ２ ２ 2 ２ ２
对称性计算二重积分也是一种非常重要的计 算技巧。 x
3. 选取适当坐标系 ，简化积分运算
例３： 计算
-a
o
-b
蓦e
D
－x －y
２
２
dxdy
分析：所给二重积分的被积函数f （ x,y） =e
图 2 积分区域 D
－x －y
蓦
x O
其中D１是D的x轴以上的部分
。
如果积分区域 D 关于 x 轴对称， f（ x,y）关于 y 具有奇、 偶性， 也有类似结果。 例２： 设平面区域D由双纽线（ x +y ） ＝ a （ x+ y） 围成， 计算积分 xsinydσ
D ２ ２ ２ ２ ２ ２
图 3 双纽线 （ x +y ） ＝２xy
二重积分在计算时， 首先要根据积分区域 的形状和被积函数的特点选择坐标系。 一般而 扇形域或 言， 若二重积分的积分区域是圆域 、 圆环域， 且被积函数中含有x +y , 极坐标计算二重积分较为方便 角坐标系计算。
２ ２
乙dx 乙（x －y）dy+ 乙dx 乙（y－x ）dy １ = 乙x dx+ 乙（ ４－４x +x ） dx=３ １５
２
２ ２
结论３： 如果积分区域D关于直线y=x对称， 则 f（ x,y） dxdy= f（ y,x） dxdy
D D
蓦
蓦
蓦
解： 积分区域 D （如图２ ） ， 关于y轴对称， 被 积函数f（ x,y） ＝ xsiny关于变量x为奇函数， 由结论 １知
在二重积分的计算中，如果发现积分区 域具有某种对称性时，可根据被积函数的构 成特点， 充分利用对称性解题， 这样能简化计 算过程， 使一些较复杂的计算变得简单。利用
二重积分是高等数学的重点，也是难点， 二重积分的计算方法主要是在 计算较为繁琐。 极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二 次积分 （累次积分 ） ， 进而利用两次定积分计算 此二重积分。 但是某些二重积分化为二次积分 后计算仍相当困难， 计算的困难主要来自两个 方面， 一是被积函数的复杂性， 二是积分区域 的多样性。这时， 我们就要采用特殊的算法计 算。 本文主要通过笔者在二重积分教学中的体 会， 对一些特殊类型的二重积分的解题技巧进 行了总结。
２ ２
无论对x或对y都积不出来， 因此， 在直角坐
结论２： 如果积分区域D关于坐标原点O对 - 36 -
标系中无论采用哪种积分次序都无法进行计
几种特殊类型二重积分的计算方法
２ ２ ２
算。在极坐标系中e
－x －y
=e 对r 可积， 而面积微 １ ２
O
－r
２
y
rdr= 元 dxdy=rdrdθ 中恰好提供了所需条件： dr ， 故此二重积分可用极坐标变换法计算。
=
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
e ,（ x,y） ∈D１ e ,（ x,y） ∈D２
y
２
x
２
其中D１= ≤ （ x,y）|０ ≤x ≤１, ０≤y≤x ≤ ， D２=
≤ （ x,y） |０≤x≤１,x≤y≤１ ≤ 故
蓦
D
e
２ max ≤ x ,y ≤ %
２
dxdy
= 例４：计算 １， ０≤y≤２
乙e ·rdr= 乙
－r ０ ０
２
a
２
２π
１ （ － e ｜ dθ= ０） ２
－r ａ
２ ２
乙
０
２π
１ －a １ （ － e + ） dθ ２ ２
则
蓦 y－x
１ －１ １ 4
２
dσ=
２
D１
２
蓦（x －y）dσ+ 蓦（y－x ）dσ
D２ １ ２ ２ －１ x
２
－a １ －a １ ２π =（ － e + ） θ| ０ = π （ １－e ） ２ ２
０
１
１
dx
１
x
e dy=
－y
２
１
y
０
dy
２
０
e dx
－y
２
－y
２
－y １ ０
０
解法二： 利用分部积分法
数无法用初等函数表示的话， 利用分部积分法
收入日期 ： 2012- 04- 12
乙 乙
dx
x
１
e dy= ［
０
－y
２
乙乙
x
１
１
e dy］ dx
－y
２
作者简介 ：屈红萍 （１９７７— ） ， 女， 云南龙陵人， 保山学院数学学院， 副教授， 研究方向为高等数学教育与应用数学。
保 山 学 院 学 报 2012 第 2 期
乙 =０＋ 乙xe
=（ x
－y x １ ０
１
２
e dy） ｜ ０－
－x
２
１
乙 乙
０ x
２
１
１
xd（ e dy）
－y
２
称， 则
１ －x １ １ １ （ １－ ） dx=－ e ｜ ０＝ ２ ２ e
若被积函数只与 y （或 x）有关， 并且原函数 无法用初等函数表示， 则只有化成先对 x （或 y）
x １ ０
２
１
０
e dxdy=
x
D１
乙 乙 乙
０
１
e dy
y
２
y
１
０
dx=
０
ye dy
y
２
- 37 -
保 山 学 院 学 报 2012 第 2 期
= 从而
１ y１ １ （ e ｜ e－１） ０＝ ２ ２
２ ２
参考文献 :
［ １］ 四川大学高等数学教研室． 高等数学 （ 第二册） ［ Ｍ］ ． 北京： 高等教育出版社， １９９５． ［ ２］ 同济大学应用数学系． 高等数学（ 第五版） 下册［ Ｍ］ ． 北京： 高等教育出版社， ２００２． ［ ３］ 肖亚兰， 陆全， 郝华宁． 高等数学解题常见错误剖 析［ Ｍ］ ． 上海： 同济大学出版社， ２０００． ［ ４］ 陆全，肖亚兰． 高等数学常见题型解析及模拟题 ［ Ｍ］ ． 西安： 西北工业大学出版社， ２００３． ［ ５］ 龚冬保． 数学考研典型题（ 数学一） ［ Ｍ］ ． 西安： 西安交 通大学出版社， ２００４．
y
２ ２
D１
蓦e dxdy+ 蓦e dxdy
x D２ x
２
２
因为e ,e 的原函数无法用初等函数表示 出来， 所以计算这两个二重积分时， 必须注意 积分次序的选择。
y
２
D１
蓦 蓦
e dxdy= =
x
２
乙 乙dy
０
１
e dx
x
２
x
２
x
０
D2 D1
O
图 4 区域 D： －１≤x≤１， ０≤y≤２
y
２
１ e ｜＝ （ e－１） 乙xe dx= １ ２ ２
［ ５］ Ｐ１３８
蓦 y－x
D ２
２
dσ，其中 D：－１ ≤x ≤ =
D１
蓦e
２ max ≤ x ,y ≤ %
２
dxdy+ e
D２ y
２
蓦
２ max ≤ x， % y≤
２
dxdy
解： 被积函数含有绝对值符号， 积分区域 如图４所示， 用曲线y=x 把区域D分为D１和D２， 其 中D１： －１≤x≤１， ０≤y≤x ;D２： －１≤x≤１,x ≤y≤２