江苏省苏州实验中学解析几何专题系列2

解析几何专题系列（三）
------解几中的定点问题
教学目标：通过讲解使学生清楚两类定点问题：（1）曲线过定点问题；（2）平面或某直线上存在定点满足恒等关系。

掌握解决两类定点问题的常用解法：转化为关于某个（或几个）变量的恒等式问题。

问题：（冲刺12套.模拟3.18）
平面直角坐标系中，焦点在y 轴上的椭圆的短轴长为m 2，半焦距为m )0(>m
（1）若椭圆的短轴长为2，半焦距为1，求椭圆的标准方程；
（2）若存在一个中心在原点，分别以椭圆的短轴为实轴、长轴为虚轴的双曲线E ，已知双曲线E 与x 轴交于B A ,两点，在E 上任取一点),(00y x T )0(0≠y ，直线TB TA ,分别交y 轴于Q P ,两点，求证：以PQ 为直径的圆恒过两定点。

例1：（08江苏）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()2
2f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
解：（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；
令()2
20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=
令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．
令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．
所以圆C 的方程为22
2(1)0x y x b y b ++-++=.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）． 例2：已知椭圆22
142
x y +=，A 、B 是其左右顶点，动点M 坐标为0),,4(>m m ，连接AM 交椭圆于点P ，连接BM 交椭圆于点Q ， （1）当直线PQ 垂直于x 轴时，求m 值；
（2）在x 轴上是否存在异于A 、B 的定点T ，直线PQ 过定点T ，若存在求出T 点坐标并证明；若不存在请说明理由。

【反馈练习】（请写出解题关键步骤）
1.已知直线032:=++-a y ax l 及点)4,3(P .当点P 到直线l 的距离最大时,直线l 的方程是 .
变式1：0)()2(:=-++++b a y b a x b a l
变式2：032)2()3(:22=-++++a a y a x a l
2.（2010苏北四市17改编） 已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．经过,,A P M 三点的圆必过异于M 的定点_______________
例3：（11年上海模拟）已知椭圆2
214
x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点. （1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值；
（2）若65
t =，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=o ； （3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
2.解：设直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,)(,)A x y B x y 、.
（1）把x t =代入2
214
x y +=可得：y = （2分）
则112
OAB S OD AD t ∆=⋅=⋅≤，当且仅当t =时取等号 （4分）
（2）由226514
y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2125240440x x -+=，1244125x x =，124825x x +=（6分） 所以 ()()()()
1212121266552222AM BM x x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭==----()()1212121263652524x x x x x x x x -++=-++ 4464836125525254448241255
-⋅+=-⋅+64164-==-⇒90AMB ∠=o （9分） （3）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-， 由22()14
y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222(41)8440k x k tx k t +-+-= 则21222212208414441k t x x k k t x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩ ① 又 1122
()()y k x t y k x t =-⎧⎨=-⎩ ② 若存在定点(,0)E m 符合题意，且则为非零常数),(s s k k BE AE =⨯
221212122121212(())()()()AE BE y y k x x t x x t k k s x m x m x x m x x m
-++===---++ （11分） 把①、②式代入上式整理得
22224()(4)(4)0k s t m t s m ---+-=⎡⎤⎣⎦(其中m t s 、、都是常数)
要使得上式对变量(0)k k ≠恒成立，当且仅当
2224()(4)0(4)0(0)
s t m t s m s ⎧---=⎪⎨-=≠⎪⎩，解得2±=m （13分） 当2=m 时，定点E 就是椭圆的右顶点(2,0)，此时，24(2)
t s t +=-； 当2m =-时，定点E 就是椭圆的左顶点(-2,0)，此时，24(2)t s t -=
+； （15分） 当直线l 与x 轴垂直时，由2214
x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得两交点坐标为
((,A t B t ，可验证：24(2)AE BE t k k t +=-或24(2)
t t -+ 所以，存在一点E (2,0)（或(-2,0)），使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数24(2)t t +-（或24(2)
t t -+）.
例4：已知椭圆E:,14
822=+y x 圆4:22=+y x O ，若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意一点N ，有MN NQ 为定值；并求出该定点。

长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴
直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N
、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并
求出定点的坐标． 解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半
焦距为c ，则
22222,
2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ 解得
2,a b =⎧⎪
⎨=⎪⎩
∴ 椭圆C 的标准方程为 22
143x y +=． …… 4分 （Ⅱ）由方程组22
143x y y kx m
⎧⎪+
=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得
()2223484120k x kmx m +++-=． …… 6分
由题意△()()()22284344120km k m =-+->，
整理得：22
340k m +-> ① ………7分
设()()1122,,M x y N x y 、，则 122834km x x k +=-+， 2122
41234m x x k -=+ ． ……… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)，
∴ ()()1212220x x y y --+=． …… 10分
即 ()
()()2212121240k x x km x x m ++-+++=， 也即 ()()22
222412812403434m km k km m k k --+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=．
解得2m k =- 或 27
k m =-，均满足① ……… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去； 当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，过定点2(,0)7， 故直线l 过定点，且定点的坐标为2
(,0)7． ………… 13分。