东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型

教学基本要求：

1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.

2.了解合同变换和合同矩阵的概念.

3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.

4.了解惯性定理.

5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.

第六章二次型

本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.

“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？

二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.

通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.

一、二次型与合同变换

1. 二次型

n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数

f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2

+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)

以下仅考虑n元实二次型.

设

11121n1

12222n2

1n2n nn n

a a a x

a a a x

A,x

a a a x

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

==

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，那么

f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)

式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.

例6.1(例6.1 P 132)

二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)

由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.

定义6.2 仅含平方项的二次型

f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)

称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)

标准形的矩阵是对角矩阵.

二次型有下面的结论：

定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为

T T x Cy

B C AC

T

T A B C AC C 0

R (A)R (B)

f x Ax

f

y By ==↔=≠=⇒==

⇐

.

2. 合同变换

在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.

定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)

矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.

注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)

A 与

B 合同 ⇔∃可逆矩阵

C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔

∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ

(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)

正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同

合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.

x Cy T

T T

T C 0

T C 0

f x Ax y C ACy y By

A C AC B

=∆

≠≠==

=⇔

=

如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.

二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理

由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .

定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)

推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)

推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)

正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.

2.用正交变换化二次型为标准形的步骤

用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步

(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；

(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .

例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)

三、用配方法化二次型为标准

除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.

例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)

总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项

例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.

(2)二次型中不含平方项，只有混合项

例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令

112212i

i x y y ,x y y ,

x y ,i 3,...,n.

=+⎧⎪

=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).

四、正定二次型 1. 惯性定理

虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.

定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准