切线长定理和三角形的内切圆(讲义和练习)

切线长定理和三角形的内切圆（讲义）
【点知讲解】
1. 切线长定理
对于切线长定理，应明确：①若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；②若已知两条切线平行，则
圆上两个切点的连线为直径；③经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；④
经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个
A
半径的夹角互补；⑤圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切
A. 3 A
E
F
O
B
DC
第 2 题图
B. 4 AE D
O
F
B
C
第 3 题图
C. 2 + 2
A
D
F E
BO C 第 4 题图
D. 2 2
AE
D
PH
G
O
F
B
C
第 5 题图
4. 如图，以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交 AB 边于点 E，则
△ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ）
.
9. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于 P 点，又 PE⊥AB 于点 E，若 BC＝2，AC
＝3，则 AE·EB＝
.
AD
10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 切
M
CD 于点 M，若这个梯形的面积是 10cm2，周长是 14cm，则半圆 O 的半径等 O
于
cm.
B
C
11. 已知⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B. （1）如图 1，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小； （2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，若 BD＝MA，求∠AMB 的大小.
C B
O
C B ED
O
M
A
图1
M
A
图2
12. 如图，△ABC 的三边满足关系 BC＝ 1 (AB＋AC)，O，I 分别为△ABC 的外心和内心. ∠BAC 的外角平 2
AP
D
G O
BQ
C
3/6
【变式训练 5】如图，直线 l1∥l2，⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B，点 M 和点 N 分别是 l1 和 l2 上 的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移，⊙O 的半径为 1，∠1＝60°. 下列结论中错误的是（ ）
A. MN＝ 4 3 3
B. 若 MN 与⊙O 相切，则 AM＝ 3 C. 若∠MON＝90°，则 MN 与⊙O 相切 D. l1 与 l2 的距离为 2
p
2
2
【点题精讲】
一、切线长定理
【例 1】如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC
是⊙O 的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝
.
A
O
P
CB
【变式训练 1】（1）如图 1，圆周角∠BAC＝55°，分别过 B，C 两点作⊙O 的切线，两切线相交于点 P，
则∠BPC＝
.
（2）如图 2，半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边 AB 上，且与其余三边 BC，CD，DA 相切，若 BC
长度是方程 x2 −13x + 30 = 0 的两个根，则△ABC 的面积是
.
A
C F
E
O
DB
【变式训练 2】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，⊙I 为△ABC 的内切圆，点 O 为△ABC 的外心，BC＝6，
AC＝8.
（1）求⊙I 的半径；（2）求 OI 的长.
B
O I
A
C
【例 3】如图，在△ABC 中，内切圆 O 和边 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，则下列四个结论中
（1）求证：OB⊥OC； （2）若 OB＝6，OC＝8，求 MN 的长.
A EB MF
O N
DG
C
四、内切圆与几何探究性问题
【例 5】如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，AB 为⊙O 的直径. 动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向 D 点以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 点 B 以 3cm/s 的速度运动. P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运 动，设运动的时间为 t s，t 为何值时，直线 PQ 与⊙O 分别相切、相交、相离？
分线交⊙O 于 E 点，AI 的延长线交⊙O 于 D 点，DE 交 BC 于 H 点.
求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝ 1 AE. 2
E A
O
HI
B
C
D
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＝2，DA＝3，则 AB 的长为
.
（3）如图 3，AD，AE，BC 都是⊙O 的切线，切点分别为 D，E，F，若 AD＝6，∠A＝40°，则△ABC
的周长为
，∠BOC＝
.
P B
C O
A 图1
CD
BO
A
图2
1/6
EC
O
F
A
B D
图3
二、三角形内切圆
【例 2】如图，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，切点为 D、E、F，若 AF、BE 的
线所夹的角.
P
O
2. 三角形的内心和外心
B
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三
角形的三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角
E，AE 的延长线交 BC 于点 F，连接 AD，BD. 给出以下结论：①AD∥OC；②点 E 为△CDB 的内心；③FC ＝FE. 其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
C
D EF
A
B
O
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【跟踪训练】
1. 已知 AB，AC 与⊙O 相切于 B，C 点，∠A＝50°，点 P 是圆上异于 B，C 的一个动点，则∠BPC 的度 数是（ ）
A. 65°
B. 115°
C. 65°或 115°
D. 130°或 50°
2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F. 已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE， DF，那么∠EDF 等于（ ）
A. 40°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
3. 如图，O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，⊙O 与边 AB、BC 都相切，点 E、F 分别在边 AD、DC 上. 现将△DEF 沿着 EF 对折，折痕 EF 与⊙O 相切，此时点 D 恰好落在圆心 O 处. 若 DE＝2，则正方 形 ABCD 的连长是（ ）
M 1
N
A l1
O
B
l2
【例 6】如图，在等腰△ABC 中，已知 AB＝AC，∠C 的平分线与边 AB 交于点 P，S，M 分别为△ABC 的内切圆⊙I 与边 AB，BC 的切点，作 MD∥AC，交⊙I 于点 D. 证明：PD 是⊙I 的切线.
A S PI D
BMΒιβλιοθήκη C【变式训练 6】如图，已知 AB 为⊙O 的直径，CD，CB 为⊙O 的切线，D，B 为切点，OC 交⊙O 于点
A. r A
B. 3 r 2 A
C. 2r B
D. 5 r 2 A
DI
B
C
第 6 题图
D M PO
BN E
C
第 7 题图
O
C
PA
第 8 题图
E
P
C
B
第 9 题图
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8. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点 P 在 AC 上，AP＝2，若⊙O 的圆心在线段 BP 上，
且⊙O 与 AB，AC 都相切，则⊙O 的半径为
三、四边形切圆的问题
【例 4】如图，AB 是⊙O 的直径，AM，BN 分别切⊙O 于点 A，B. CD 交 AM，BN 于点 D，C. DO 平
分∠ADC. （1）求证：CD 是⊙O 的切线；
AD M
（2）若 AD＝4，BC＝9，求⊙O 的半径 R.
O
B
CN
【变式训练 4】如图，AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G，且 AB∥CD，OB 与 EF 相交于点 M，OC 与 FG 相交于点 N，连接 MN.
A. 120°
B. 125°
C. 135°
D. 150°
7. 如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB，BC 分别相切于点 D，E，过劣弧 DE（不包括端点 D， E）上任一点 P 作⊙O 的切线 MN 与 AB，BC 分别交于点 M，N. 若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN 的周 长为（ ）
A. 3﹕4
B. 4﹕5
C. 5﹕6
D. 6﹕7
5. 如图，在矩形 ABCD 中，连接 AC，如果 O 为△ABC 的内心，过点 O 作 OE⊥AD 于点 E，作 OF⊥CD 于点 F，则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为（ ）
A. 1 2
B. 2 3
C. 3 4
D. 不能确定
6. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）
错误的是（ ）
A
A. 点 O 是△DEF 的外心
B. ∠AFE＝ 1 (∠B＋∠C) 2
F
E
C. ∠BOC＝90°＋ 1 ∠A 2
D. ∠DFE＝90°－ 1 ∠B 2
O
B
DC
【变式训练 3】如图，点 I 为△ABC 的内心，点 O 为△ABC 外心，∠BOC＝140°， A
则∠I 为
.
OI
B
C
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平分线的交点，叫做三角形的内心.
（4）直角三角形的内切圆半径与三边关系.
A
A
c
b
c b
A D
OF
Ba C
B aC
B
EC
图（1）中，设 a，b，c 分别为△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边，面积为 S，
则内切圆半径（1） r = s ，其中 p = 1 (a + b + c) ；图（2）中，∠C＝90°，则 r = 1 (a + b − c) .