分数阶混沌系统的仿真方法研究

和时域法。根据 1.1 中微分算子的定义，一般不能直接在时 域仿真中做分数阶算子的运算，而是将它转换到频域，设初 始条件为 0，则定义 2 的 Laplace 变换为
1
分数阶微积分的定义与分析方法
L{
d q f (t ) } s q L{ f (t )} q dt
(8)
1.1 分数阶微积分定义及其物理意义
有实际应用背景而发展缓慢，1983 年 Mandelbort 首次报道 了自然界存在大量分维数的事实[1]，这样，分数阶微积分才 重新获得新的发展，并成为当前非线性科学的研究热点。近 年来，人们发现，当非线性系统的阶数为分数时，系统仍然
收稿日期：2009-8-28 修回日期：2009-10-14 基金项目：中国博士后基金项目(20070420774)，国家自然科学基金项目 (61073187)。 作者简介：孙克辉(1968-)，男，湖南益阳人，博士后，教授，研究方向 为混沌理论与应用；杨静利(1986-)，女，河南人，硕士生，研究方向为 混沌电路设计；丘水生(1939-)，男，广东平远人，教授，博导，研究方 向为混沌理论与应用，功率电子学。
q Dtq f (t ) Dtm J tm f (t ) 0 0 0
t dm 1 m q 1 f ( )d ], m 1 q m dt m [ (m q) t0 (t ) (4) m d f (t ), qm dt m 其中，qR+， Dtq 为 q 阶微分算子，Γ(•)为 Gamma 函数。 0
系统仿真学报 Journal of System Simulation
Vol. 23 No. 11 Nov., 2011
阶混沌系统的动态仿真、电路仿真和数值仿真 3 种仿真方 法，并比较了这 3 种仿真方法各自不同的特点。以分数阶非 耗散 Lorenz 混沌系统为例，说明了这 3 种仿真方法的步骤 和仿真方法的有效性。
1 t (t ) q 1 f ( )d J f (t ) ( q) t0
q t0
其中， qR+，J tq 为 q 阶积分算子， Γ(•)为 Gamma 函数。J tq 0 0 满足如下基本性质：
r J tq J tr0 f (t ) Βιβλιοθήκη BaiduJ tq f (t ) 0 0
(2) (3)
* q Dtq f (t ) J tm Dtm f (t ) 0 0 0 t 1 (t ) m q 1 f ( m ) ( )d ,m 1 q m t (5) ( m q ) 0 m d f (t ), qm dt m 其中，qR+，mN，m-1<q≤ m， * Dtq 为 q 阶 Caputo 微分算 0
设计了分数阶积分算子的动态仿真模块和等效电路模块， 通过分数阶混沌系统动态仿 的频域描述函数，
真和电路仿真，可实时地观察系统变量的演化规律；采用分数阶微分算子的 Adams-Bashforth-Moulton
实现了分数阶混沌系统的数值仿真， 利用仿真输出数据可分析分数阶混沌系统的动 预估校正算法，
力学特性。分数阶非耗散 Lorenz 混沌系统仿真实例证明了这 3 种仿真方法的有效性。 关键词: 混沌；分数阶微积分；动态仿真；电路仿真；数值仿真 中图分类号: TP391.9 文献标识码: A 文章编号：1004-731X (2011) 11- 2361-05
0t T d qx q f (t , x )， dt x k (0) x ( k )， k 0,1, 2, 0 q 1
其可等价于 Volterra 积分方程[16]
(k ) x(t ) x0
(9)
n 1
根据该定义有 Dtq J tq f (t ) f (t ) 。 0 0 定义 3：Caputo 分数阶微分定义为
分数阶微积分有多种定义，但最常用的是 RiemannLiouville 定义和 Caputo 定义。 定义 1：Riemann-Liouville 分数阶积分定义为
可见， 阶数为 q 的分数阶积分算子可在频域内由传递函 数 H(s)=1/sq 来表示。为了分析分数阶系统的动力学特性， 采用标准整数阶算子来逼近分数阶算子(波德图逼近)，其逼 近误差完全可满足工程实际需要。 文献[3]给出了近似误差分 别为 2dB 和 3dB，分数阶 q 从 0.1 到 0.9、步长为 0.1 的 1/sq (1) 的展开式。频域分析方法的优点是物理概念清晰，缺点是转 换函数的近似逼近只限于有限的分数阶阶数值，此外，由误 差造成的近似系统与原系统的差别尚不明确。
1.3 分数阶非线性系统的时域分析方法
典 型 的 分 数 阶 时 域 逼 近 算 法 是 Adams-Bashforth –Moulton 预估校正方案[16-18]，该算法描述如下： 对于微分方程
J tq J tr0 f (t ) J tr0 J tq f (t ) 0 0
定义 2：Riemann-Liouville 分数阶微分定义为
q 1 k 0 k tn hq 1 f (tn 1 , xhp (t n 1 )) k ! ( q 2)
xh (tn 1 )
x
(k ) 0
子，其两基本性质分别为
*
D J f ( t ) f (t )
q t0 q t0
(6) 其中， (7)
n hq a j ,n 1 f (t j , xh (t j )) ( q 2) j 0
第 23 卷第 11 期 2011 年 11 月
系统仿真学报© Journal of System Simulation
Vol. 23 No. 11 Nov., 2011
分数阶混沌系统的仿真方法研究
孙克辉 1,2，杨静利 1，丘水生 2
(1. 中南大学 物理科学与技术学院，长沙 410083；2. 华南理工大学 电子与信息学院，广州 510641) 摘 要: 针对分数阶混沌系统的理论分析比较烦琐， 基于分数阶混沌系统常用的频域和时域两种分析 方法，研究了分数阶混沌系统的动态仿真、电路仿真和数值仿真 3 种仿真方法。利用分数阶积分算子
(11)
q J tq ( * Dtq ) f (t ) J tq J tm Dtm f (t ) J tm Dtm f (t ) 0 0 0 0 0 0 0
(t t0 ) k x (t ) x ( t ) k! k 0
m 1
(k )
0
q1 q j 0 n (n q)(n 1) a j,n1 (12) q1 q1 q1 (n j 2) (n j) 2(n j 1) 1 j n
k 0
q 1 tk 1 t t f ( , x (t ))d ( ) k ! ( q) 0
(10)
显然，式(10)右边两部分相加之和完全决定于初始值。 当 0<q<1 时， Volterra 方程具有弱奇异性， 因此， 文献[16-18] 提出了式(10)的预测校正方案。 令 h=T/N, tj=jh ( j=0,1,2,…,N )，其中，T 是积分方程的 积分上限，则式(10)的校正公式为
Abstract: To solve problems of theory analysis for fractional-order chaotic systems at present, three simulation approaches, including dynamical simulation, circuit simulation and numerical simulation, were investigated based on the analysis methods of fractional-order chaotic systems in frequency-domain and time-domain respectively. The fractional-order integral operator dynamical simulation model and circuit simulation model were designed according to the fractional-order integral operator representation in frequency domain. The process of variable evolvement with time can be observed on time by dynamical simulation and circuit simulation. The numerical simulation was achieved by employing the Adams-Bashforth-Moulton predictor-corrector scheme for fractional-order differential operator. The dynamic performances of fractional-order chaotic system can be analyzed by using simulation output data. The simulation results of fractional-order diffusionless Lorenz system show that all the three simulation approaches are effective. Key words: Chaos; fractional-order calculus; dynamic simulation; circuit simulation; numerical simulation
Study of Simulation Approaches for Fractional-order Chaotic Systems
SUN Ke-hui1,2, YANG Jing-li 1, QIU Shui-sheng2
(1. School of Physics Science and Technology, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Electronic and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)
数阶混沌系统的仿真研究还鲜有报道， 所以开展分数阶混沌 系统的仿真方法研究具有重要的实际意义。 本文讨论了分数阶微分算子的定义及其物理意义， 基于 分数阶混沌系统的时域和频域分析方法， 系统地研究了分数
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第 23 卷第 11 期 2011 年 11 月
引
言
分数阶微积分理论已有 300 多年的历史， 但由于长期没
表现出混沌行为。如，蔡氏电路[2] ，Jerk 模型[3] ，非自治 文氏(Wien)电桥振荡器[5]； Liu 系统[6]； Lorenz Duffing 系统[4]； 系统[7]、Chen 系统[8]、Rössler 系统[9]和简化 Lorenz 系统[10] 等。由于分数阶微积分与过去所有信息都有关，分数阶微积 分的求解远比整数阶微积分的求解复杂， 需要扎实的数学基 础，因此，利用计算机进行数值求解和仿真成为研究分数阶 系统的另一主要手段。目前，人们虽已从不同分析角度和应 但针对分 用领域提出了分数阶微积分算子的仿真方法[11-14]，