第一节 二次型的矩阵表示PPT课件

5.1 二次型的矩阵表示
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例1 1）实数域R上的2元二次型 fax22bxycy2
2）实数域R上的3元二次型
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2 x 1 2 4 x 1 x 2 6 x 1 x 3 5 x 2 2 3 x 2 x 3 7 x 3 2
3）复数域C上的4元二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) i x 1 x 2 3 x 1 x 4 5 x 2 2 ( 3 i ) x 2 x 3
它们的矩阵分别是：
a
b
b c
,
2 2 3
2 3
5
3 2
3 2
7
,
0
i
2
0
3 2
i 2
5
3 i 2
0
0
3 i 2
0
0
3 2
0 0
0
.
5.1 二次型的矩阵表示
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二、非退化线性替换
1、定义： x 1 ,x 2 , ,x n ;y 1 ,y 2 , ,y n 是两组文字,
cij P ,i,j1 ,2 ,...n，关系式
5.1 二次型的矩阵表示
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x1
2)
令X
x2
,
由
xn
a11 a12 ... a1nx1
XAX(x1,x2,...,xn)a21 a22 ... a2nx2
an1 an2 ... annxn
n
a1jx j
( x1 , x 2 ,..., x n )
j1 n
a2 jx
j1
j
n
a n j x j
y
.
y
x
0
x
即变换
xxcosysin yxsinycos
它是非退化的.
∵系数行列式
cos sin
1.
sin cos
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2、线性替换的矩阵表示
x1 y1 c11 c12 ... c1n 令Xx2,Yy2,Cc21 c22 ... c2n
xn yn cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
注 1）③或④为非退化的
C=cij
为可逆矩阵
nn
.
2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化
线性替换 Y C1X .
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3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
事实上， f(x 1 ,x 2 ,...,x n ) X A X |X— —C— —|— —C0— —Y (CY)A(CY)
二次齐次多项式
f(x1,x2, ,xn)
作适当的 非退化线 性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11 y1
c12 y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
5.1 二次型的矩阵表示
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一、n元二次型
1、定义：设P为数域， a ij P ,i,j 1 ,2 , ,n ,
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2、二次型的矩阵表示
1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
f ( x 1 , x 2 ,, x n ) a 1 1 x 1 2 a 1 2 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n a 2 1 x 2 x 1 a 2 2 x 2 2 a 2 n x 2 x n
称为数域P上的一个n元二次型．
ann xn2
5.1 二次型的矩阵表示
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注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij(i j) 的系数
写成 2 a i j .
2) 式① 也可写成
n
f(x 1,x 2, ,x n ) a iix i22 a ijx ixj
i 1
1 ij n
5.1 二次型的矩阵表示
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
5.1 二次型的矩阵表示
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问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
fax22bxycy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
xxcosysin
yxcosysin
fax2cy2
(标准方程)
5.1 二次型的矩阵表示
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代数观点下
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n n x n 2
nn
aij xixj
②
i1 j1
5.1 二次型的矩阵表示
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a11 a12 ... a1n
令
A
a21
a22
...
a2n
an1 an2 ... ann
(A pnn)
则矩阵A称为二次型 f(x1,x2, ,xn)的矩阵.
第五章 二次型
§5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题
1
整体概况
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概况2
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概况3
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2
§5.1 二次型的矩阵表示
n个文字 x1,x2, ,xn 的二次齐次多项式
f ( x 1 , x 2 ,, x n ) a 1 1 x 1 2 2 a 1 2 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n
a 2 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a 3 3 x 3 2 2 a 3 n x 3 x n ①
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 c11y1 c12y2 c1nyn
x2
c11y1
c12y2
c1nyn
③
xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
称为由 x 1 ,x 2 , ,x n 到 y 1 ,y 2 , ,y n 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
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例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度
j1
5.1 二次型的矩阵表示
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n
n
n
x 1 a 1jx jx 2 a 2jx jx n a n jx j
j 1
j 1
j 1
n
n
nn
(xi aij xj )
aij xixj
i1 j1
i1 j1
于是有 f(x 1 ,x 2 ,...,x n ) X A X .
5.1 二次型的矩阵表示
Y(C A C)Y令— —B— —— —CA— —CY B Y g (y 1 ,y 2 ,...,y n )
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注意:
1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 AA. 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X A X X B X 且 A A , B B ，则 AB. （这表明在选定文字 x1,x2,...,xn下，二次型 f(x 1 ,x 2 ,...,x n ) X A X 完全由对称矩阵A决定.)
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.