整数线性规划及01规划课件
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x 3 M 3 ,x 3y 8y 3 0 ,y 3 { 0 ,1 }
LINDO 中 对 01变量的限定：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
int y1 int y2
X1 80.000000 X2 150.000000 X3 0.000000
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5
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
s.t. 1.5x13x25x3600
线性 规划
28x1 025x20 40x30 6000模0型
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
小型 中型 大型
现有量
钢材（பைடு நூலகம்）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
• 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ 3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。
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7
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
IP可用LINDO直接求解
s.t. 1.5x13x25x3600
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3
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
M a x z c j x j j1 n
s . t . a j x j b j1
x j 0 或 1 ( j = 1 , 2 ,L , n )
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整数 线性 规划 0－1 模型 (IP)
4
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
整数线性规划及0－1规划
典型的整数线性规划问题
一、背包问题 有一徒步旅行者要带一背包，设对背包的总重量 限制为b千克，今有n种物品可供选择，已知第j种 物品每件重量为aj千克，使用价值为cj，问旅行者 应如何选取这些物品，使得总价值最大？
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1
模型建立
令xj表示第j种物品的装入件数
n
M a x z c j x j j 1
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000
0.731183
3) 0.000000
0.003226
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与 LP最优值632.2581相差不大。
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数 值z，通过比较可能得到更优的解。
x18,0 x20,x30
方法1：分解为8个LP子模型
x18,0 x28,0 x30
其中3个子模型应去掉，然后 x18,0 x20,x380
逐一求解，比较目标函数值， x18,0 x28,0 x380
再加上整数约束，得最优解： x1,x2,x3 0
x1=80，x2= 150，学x习3交=流0PP，T 最优值z=610
max 2x1+3x2+4x3
st
28x1 025x2 040x3 060001.0 5x1+3x2+5x3<600
x1, x2, x3为非负整数
280x1+250x2+400x3<60000 end
IP 结果输出
gin 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
n
s. t. a j x j b j 1
x j 0且 为 整 数 ( j = 1 , 2 ,L , n )
整数 线性 规划 模型
(IP)
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2
典型的整数线性规划问题
二、投资问题
今有一笔资金，设金额为b个单位，可以投资的发 展项目有n个，要求对每个发展项目的的投资单位 数必须是非负整数，且只考虑两种决策：要么投 资，要么不投资，若对第j个发展项目投资，所花 资金为aj。已知对第j个发展项目每投资一单位可 获利cj个单位，问如何投资才能使总利润最大？
x1,x2,x3 0
(LP)
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6
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
-2.000000
-3.000000 最优解同前
-4.000000
int y3
Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000
Y3 0.000000 0.000000
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10
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法3：化为非线性规划
9
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 M 1 ,x 1 y 8y 1 ,0 y 1 { 0 ,1 }M为大的正数，
x 2 M 2 ,x 2 y 8y 2 ,0 y 2 { 0 ,1 }可取1000
X1 64.000000 -2.000000
X2 168.000000 -3.000000
X3
0.000000 -4.000000
“gin 3”表示“前3个变量 为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632
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8
汽车厂生产计划
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
x10,x20,x380
s.t. 1.5x13x25x3600 x10,x28,0 x30
28x1 025x2 040x3 0600x0 10 0,x28,0 x380
x1,x2,, x3=0 或 80
LINDO 中 对 01变量的限定：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
int y1 int y2
X1 80.000000 X2 150.000000 X3 0.000000
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5
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
s.t. 1.5x13x25x3600
线性 规划
28x1 025x20 40x30 6000模0型
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
小型 中型 大型
现有量
钢材（பைடு நூலகம்）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
• 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ 3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。
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7
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
IP可用LINDO直接求解
s.t. 1.5x13x25x3600
学习交流PPT
3
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
M a x z c j x j j1 n
s . t . a j x j b j1
x j 0 或 1 ( j = 1 , 2 ,L , n )
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整数 线性 规划 0－1 模型 (IP)
4
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
整数线性规划及0－1规划
典型的整数线性规划问题
一、背包问题 有一徒步旅行者要带一背包，设对背包的总重量 限制为b千克，今有n种物品可供选择，已知第j种 物品每件重量为aj千克，使用价值为cj，问旅行者 应如何选取这些物品，使得总价值最大？
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1
模型建立
令xj表示第j种物品的装入件数
n
M a x z c j x j j 1
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000
0.731183
3) 0.000000
0.003226
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与 LP最优值632.2581相差不大。
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数 值z，通过比较可能得到更优的解。
x18,0 x20,x30
方法1：分解为8个LP子模型
x18,0 x28,0 x30
其中3个子模型应去掉，然后 x18,0 x20,x380
逐一求解，比较目标函数值， x18,0 x28,0 x380
再加上整数约束，得最优解： x1,x2,x3 0
x1=80，x2= 150，学x习3交=流0PP，T 最优值z=610
max 2x1+3x2+4x3
st
28x1 025x2 040x3 060001.0 5x1+3x2+5x3<600
x1, x2, x3为非负整数
280x1+250x2+400x3<60000 end
IP 结果输出
gin 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
n
s. t. a j x j b j 1
x j 0且 为 整 数 ( j = 1 , 2 ,L , n )
整数 线性 规划 模型
(IP)
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2
典型的整数线性规划问题
二、投资问题
今有一笔资金，设金额为b个单位，可以投资的发 展项目有n个，要求对每个发展项目的的投资单位 数必须是非负整数，且只考虑两种决策：要么投 资，要么不投资，若对第j个发展项目投资，所花 资金为aj。已知对第j个发展项目每投资一单位可 获利cj个单位，问如何投资才能使总利润最大？
x1,x2,x3 0
(LP)
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6
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
-2.000000
-3.000000 最优解同前
-4.000000
int y3
Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000
Y3 0.000000 0.000000
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10
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法3：化为非线性规划
9
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 M 1 ,x 1 y 8y 1 ,0 y 1 { 0 ,1 }M为大的正数，
x 2 M 2 ,x 2 y 8y 2 ,0 y 2 { 0 ,1 }可取1000
X1 64.000000 -2.000000
X2 168.000000 -3.000000
X3
0.000000 -4.000000
“gin 3”表示“前3个变量 为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632
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8
汽车厂生产计划
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
x10,x20,x380
s.t. 1.5x13x25x3600 x10,x28,0 x30
28x1 025x2 040x3 0600x0 10 0,x28,0 x380
x1,x2,, x3=0 或 80