3.5 一阶电路的三要素公式

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3.5 一阶电路的三要素公式
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10/9/2013 6:01:05 PM
Gao Jianning
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一、一阶电路响应的三要素法
1、何谓三要素？ y (0 + ) ：表示该响应（电压或电流）的初始值； y ( ∞ ) ：表示响应的稳态值； τ ：表示电路的间常数。
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（2）、非独立初始值的确定 1）、画t=0+ 瞬间等效电路：
uC ( 0+ )
-
+
uC ( 0+ ) = U 0 ≠ 0
U0
-
uC ( 0+ ) = 0
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−
t −t0
τ
t ≥ t0
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把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。
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3、三要素公式特殊情况 在分析含有受控源的动态电路时，有时会遇到 τ 电路不存在稳态响应，电路是不稳定的。
1 i1 ( ∞ ) = 1 A 2
3× 6 = 8Ω R = 6 + 3 // 6 = 6 + 3+6
τ =
L 0 .8 1 = = 0 .1 S = s R 8 10
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如何画出 t =0-时刻等效电路？
由于t = 0-时电路已处于稳态，则： 情况一、若t = 0- 时等效电路中有独立源：
电容: 用开路线替代； 电感: 用短路线替代； 在t = 0- 时等效电路中计算：uc ( 0− ) , iL ( 0− )
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2、确定稳态值 y(∞)
画t=∞等效电路。暂态过程结束后，电路 进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳 态值u(∞)、i(∞)。
uC ( ∞ )
-
+
uC ( ∞ ) = U 0 ≠ 0
C
iC (∞ ) = 0
uC ( ∞ ) = 0
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例2、t<0时图示电路处于稳定状态，t=0时，开关S合于b点， 求：t≥0时的u(t)，画出其波形。
a S b 2
iL
2H 8
+
u (t )
解：① 求 u(0+) ： 直流电源作用的电路，因电路已处 于稳态，在0-时电感L可视作短 路，可画出0-时等效电路。所以：
iL ( 0 − ) = 12 4 A = 3+ 6 3 4 i L (0 + ) = i L (0 − ) = A 3
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所以
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(2)、求非独立初始值 y(0+)。 作t=0+电路，见图(C), 椐KVL，图(C)左边回路中有：
2、三要素公式
y(t ) = y(∞) + [ y(0+ ) − y(∞)]e
τ > 0 时：
−
t
τ
t ≥0
上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电路 全响应的三要素公式。
换路时刻为 t0 时的三要素公式为：
y(t) = y(∞) + [ y(t0+ ) − y(∞)] e
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iL (0 − ) = 20V = 2A 10Ω
20V
20V
+
10
1.25A
(a)
2
2A
i1 (0 + )
+
10
iL (0 − )
由换路定理得：
+
u (0 + )
iL (0 + ) = iL (0 − ) = 2 A ;
8 10 1.25A
画出t=0+时等效电路，如图(b)所示。
（b）
u (0 + ) = 8 i 1 (0 + ) = 6 V ;
uc ( 0+ ) = uc ( 0− ) ; iL ( 0+ ) = iL ( 0− )
则可利用换路前瞬间 t =0-等效电路计算出uC(0-)和iL(0)，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。
关键是正确画出 t =0-时刻等效电路！
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4Ω
b
S a
+
+
外加电源法求R0，
R0 =
2i1 (t ) −
R
0
10Ω
+ 12V −
2Ω
0.1F
− 8V +
uc (t )
−
4 i s (t ) + 4 i1 (t ) + 2 i1 (t ) = 10 Ω ; i s (t )
(b )
所以，原电路等效为图(b)。
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i1 (t)、iL (t) 及 uL(t)的波形图：
1 iL (t ) = 1 + e −10t ( A ) 3
2 i1 (t ) = 2 + e−10t ( A ) 9
u L (t ) = = −
8 −10 t e (V 3
)
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二、三要素法求解步骤如下
1、 确定初始值 y (0+) 初始值y(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的 数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。 (1)、独立初始值的计算 换路后瞬间 (t0=0+) 电容电压、电感电流的初始值， 受换路定律的约束，即
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② 求 uc(0+) ： 图(c)为0-时等效电路，则：
2Ω
− 8V + b S a
10Ω
+ 12V − +
uc (0 − )
−
+
uc (0− ) = −8V ;
由换路定理得：
C
iL ( 0+ )
Hale Waihona Puke Baidu
L
iL ( 0+ ) = I 0 ≠ 0
+
I0
iL ( 0+ ) = 0
2）、画出t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解其 它各变量对应的非独立初始值u (0+)、i (0+)。
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(3)、求f(∞)。作t=∞电路如图(d)，电感用短路线代替，则
12 i1 (∞) = =2 6×6 3+ 6+6
i L (∞ ) =
uL(∞) =0 (4)、求τ。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为 ：
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3、求时间常数τ RC电路中，τ=R0C (s)； RL电路中，τ=L/R0 (s)； 其中，R0 是将电路中所有独立 源置零后，从C或L两端看进去的等 效电路的输入电阻，(即戴维南等效 电路中的R0)。
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波形图如图(f)所示：
u (V )
−
1 t 0.1
V;
t≥0
6
t (s )
0
−6
(f )
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例3、t<0时图示电路处于稳定状态，t=0时，开关S合于 b点，求：t≥0+时的uc(t)，画出其波形。
2Ω
− 8V +
0.1F
uc (t )
−
(c )
uc (0 + ) = uc (0 − ) = −8V ;
1.25A
（c）
2
( 2 + 10 ) × 8 ×1.25 = −6V ; u (∞) = −
2 + 10 + 8
③ 求时常数τ： 画出求Req 的电路，如（d）图，
8
Req
10
（d）
R eq = 2 + 8 + 10 = 20 Ω ; 所以： τ = L = 2 = 0.1s ; Req 20
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iC (∞ ) = 0
C
iL ( ∞ )
L
uL ( ∞ )
iL ( ∞ ) = I 0 ≠ 0
L
+
uL ( ∞ ) = 0
iL ( ∞ ) = 0
-
在稳态电路中，可按一般电阻性电路来求各 变量的稳态值。
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+
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（5）代入三要素公式
y ( t ) = y ( ∞ ) + [y ( 0 + ) − y ( ∞ ) ] e
2 ⎛ 20 ⎞ − 2 ⎟ e − 10 t = 2 + e − 10 t A i1 ( t ) = 2 + ⎜ 9 ⎝ 9 ⎠
−
t
τ
t≥0
1 ⎛4 ⎞ i L ( t ) = 1 + ⎜ − 1 ⎟ e − 10 t = 1 + e − 10 t A 3 ⎝3 ⎠
再应用换路定律得：
uc ( 0+ ) = uc ( 0− ) ; iL ( 0+ ) = iL ( 0− )
若 情况二、 t = 0- 时等效电路中没有独立源： 因为： uc ( 0+ ) = uc ( 0− ) = 0; iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) = 0 所以： 电容视为短路； 电感视为开路；
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4、应用举例
例1 图 (a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的 i1、 iL、uL。
解：(1) 先求独立初始值：iL(0+)。
作t=0- 电路，见图(b)，电感用短路线代替，则
3i1(0+ ) + 6[i1(0+ ) − iL (0+ )] = 12
20 i1 ( 0 + ) = A 得 9 图 (C)右边回路中有
uL (0+ ) = −6iL (0+ ) + 6[i1 (0+ ) − iL (0+ )]
8 =− V 3
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4Ω
i1 (t )
b
S a
+
解：① 求虚线框中电路部分 的戴维南等效电路，
2A 4Ω
2Ω
0.1F
− 8V +
uc (t )
−
i1 (t ) = 2 A ;
U oc = 4i1 (t ) + 2i1 (t ) = 4× 2 + 2× 2 = 12V ;
4Ω
i1 (t )
is
(a )
+
2i1 (t ) −
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1 − t
故得： u (t ) = u (∞ ) + [u (0 + ) − u (∞ )] e
τ
= −6 + [6 − (− 6)] e = −6 + 12e −10t
这时三要素公式： 即当
<0
时的情况，这时电路故有响应随时间t的增长而无限增大，
τ <0
时：
− t
y(t) = y(−∞) + [ y(0+ ) − y(−∞)] e
式中： y (− ∞ ) 称为虚平衡值，且
τ
t ≥0
y (− ∞ ) = lim y (t )
t → −∞
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8 ⎞ ⎛ 8 u L ( t ) = 0 + ⎜ − − 0 ⎟ e − 10 t = − e − 10 t V 3 ⎠ ⎝ 3
t≥0
t≥0
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i1 (0 + ) = 2 − 1.25 = 0.75 A ;
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2
② 求 u(∞)：
+
8
u (∞ )
10
画出t=∞时等效电路，如图（c）所 示，电路进入新的稳定状态，电感 视为短路。