上海市政府采购评审专家名单Title

22
（1）1 2 0；（2） 3 1.
证明：（1（）12）
3 2
(1
1( 2
1 3 22
3
i2)3
记做(a bi) (c di)或 a bi . c di
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)

ac
bd (bc c2 d 2
ad )i

ac bd c2 d 2
3. 由于i2= (-i)2 = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i ;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、
- a (a>0)的平方根为 ai
小数
有理数
实数 (b=0)
正分数 分数 零
负分数
4. 复数z=a+bi
无理数
不循环小数
(a、bR)
虚数 (b0)
特别的当 a=0 时 纯虚数

bc c2

ad d2
i
4、复数的除法法则
设 z1 a bi ，z2 c di是任意两个复数，
那么它们的商
a bi c di ac bd bc ad i
c2 d 2 c2 d 2
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别，最主要的
是在运算中将i21结合到实际运算过
是4 20i 的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i，
根据复数相等的定义，可得
x2 x 2 4,

x
2

3
x

2

20.
解得
x 3或x 2

x

3或x

6
所以 x 3 ．
4、复数的除法法则
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
例5.计算 (1 2i) (3 4i)
解: (1 2i) (3 4i) 1 2i (1 2i)(3 4i) 3 4i (3 4i)(3 4i)

38 6i 32 42
4i


5 10i 25
1 2i 55
例6 设 1 3 i ，求证：
程中去。
1、复数的加法与减法
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2b d,
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
(11 2i)(2 i)
20 15i
例3.证明: (a bi)(a bi) a2 b2 (a,b R).
两个复数的和与积都是实数的充要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。 特别地，实数的共轭复数是实数本身。
对任何 z, z1, z2 C 及 m, n N ，有
zm zn zmn
(z m )n z mn (z1 z2 )n z1n z2n
特殊的有： i 1 i i 2 1
i3 i2 i i i4 i3 i i i 1
一般地，如果 nNZ，有
a bic di (ac bd) (ad bc)i
任何 z1 , z2 , z3， C
交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
分配律 z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
3、复数的乘方：
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表
示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称.
复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z
关于实轴对称.
y Z :a+bi
Z :a+bi y
b
b
o
x
-b
-b
ox
Baidu Nhomakorabea
Z :a-bi
Z :a-bi
例4 已知复数 x2 x 2 (x2 3x 2)i
i4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
解: (1 2i)(3 4i)(2 i)
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数, 记作：z=a+bi， 其中a叫做复数 z 的 实部 、 b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C.
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 2 3) (6 1 4) i
11i
2、复数的乘法法则：
设 z1 a bi ，z2 c di是任意两个复数，
那么它们的积