随机现象数学建模

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排队问题
K: 顾客数 C: 窗口数 顾客到达的速率：λ （经过非常短的时间Δt ,有1个顾客到达的概率是λΔt) 每个窗口服务单个顾客的速率：μ
• 具有不确定的（数）值的（数学)量
– 个体的身高、体重 – 平板上的菌落数 – 传染病患病人数 – 细胞分裂间隔时间 – 细胞表面某种受体分子数目 – 同源蛋白上特定位点的氨基酸类型 – 个体的基因型 –…
连续随机变量与离散随机变量
• 离散随机变量
– 一个班级的人数 – 平板上的菌落数 – 个体基因型 –…
FY ( y) P(Y f ( X ) y)
如果f（X）是单调函数：
Y ( y)dy P( y Y y dy) P( f 1( y) X f 1( y dy))
=X ( f 1( y))[ f 1( y dy) f 1( y)]
Y
(
y)
X
(
f
1 (
y))
df
1 ( dy
y)
平稳马尔可夫过程：
P( X (t h) y | X (t) x(t)) P( X (s h) y | X (s) x(s)) for any time t or s
马尔可夫链
P（Xn1 x | Xn xn,..., X1 x1)
P(Xn1
x
| Xn
x
）
n
平稳马尔可夫链:
P：状态转移矩阵
E[( X X )2 ]E[(Y Y )2] Cov( X ,Y ) XY XY
依赖关系（因果关系）与相关性
• 相关性：
– 随机变量之间存在某种联系 – 不一定是因果关系
多个随机变量（随机向量）
• 条件分布 • 边缘分布 • 协方差矩阵 • 相关系数矩阵
随机过程
• 相对于确定性过程而言
主方程 （master equation)
平衡（稳态）分布
• 如果以下极限存在
lim p(k,t) p0
t
k
条件：
p&(k,t) 0
通过概率的常微分方程--〉平衡分布（稳态分布）
马尔可夫过程
• 体系今后的状态只取决于当前状态，与体 系的历史无关
P{X (t h) y | X (s) x(s), s t} P{X (t h) y | X (t) x(t)}
x x+dx
X
fY|X ( y | x) fX (x)
独立与相关
• 独立
f X ,Y ( x, y) f X ( x) fY ( y) f X |Y ( x | y) f X ( x) fY|X ( y | x) fY ( y)
协方差与相关系数：
Cov( X ,Y ) E[( X X )(Y Y )] corr( X ,Y ) E[( X X )(Y Y )]
多个随机变量： 联合分布、边缘分布、条件分布
y y+dy
f X ,Y (x, y)dxdy P(x X x dx, y Y y dy)
fY ( y) f X ,Y (x, y)dx
Y
百度文库
f X |Y ( x | y)
f X ,Y ( x, y) fY ( y)
f X ,Y ( x, y) f X|Y (x | y) fY ( y)
• 连续随机变量
– 个体的身高 – 细胞分裂的时间间隔 –…
随机变量：分布函数
实值随机变量X
概率密度函数
x2
P(x1 X x2 ) X (x)dx x1
累积分布函数
x
FX (x) P(X x) dx X (x)
均值？方差？…
随机变量的函数
• Y=f(X)仍然是随机变量
– Y的分布函数？
平稳、有限状态马尔可夫链的性质
p(n) ij
Pr( X n
j | X0
i)
p(n) ij
p p (k ) (nk ) ir rj
r
p 0 (n)
i到j的可及性：存在n
ij
互通性： 互通类： 不可约马尔可夫过程：
稳态或平衡分布
： 状态向量
(πk )i P(Xk i)
(πk ) j (πk1 )i Pij i
随机现象的数学建模
随机性
• 相对于确定性而言 不确定的原因
– 尚未发生 – 观察不完全 –…
• 生物体系：
– 宏观：进化过程 – 微观：
• 某些细胞分化过程 • 分子数目有限
“道可道，非常道”
如何用数学语言描述随机现象？
• 随机变量与分布函数 • 随机过程、主方程、稳态分布 • 马尔可夫过程 • 随机模拟
– 随机数发生器 – 随机抽样 – Monte Carlo 模拟
随机涨落推动细胞的分化
• 细菌耐药性
persisters: 极少比例的细菌（万分之一或更低）， 生长缓慢，有抗性 重新培养：继续分化
从随机到确定： 细菌趋化性
细菌如何向有利的环境定向运动？
随机(变)量 （random variables)
AD 0.5 0.5 0 AG 0.15 0.75 0.1
Note A C# Eb A 0.1 0.6 0.3 C# 0.25 0.05 0.7 Eb 0.7 0.3 0
DD 0
0
1
DA 0.25 0
0.75
DG 0.9 0.1 0
GG 0.4 0.4 0.2
GA 0.5 0.25 0.25
音高的二阶马尔可夫转移矩阵 GD 1
• 随机场
– 图像噪声 – 个体分布 – 信号分子分布 –…
用常微分方程刻画随机过程分布函数随时间的变化 生灭过程
随机变量：每个时间点的个体数 分布函数：
p(k,t) : probability that the system have k members at time t
p&(0,t) 1 p(1,t) 0 p(0,t) p&(k,t) k1 p(k 1,t) k1 p(k 1,t) (k k ) p(k,t)
π k π P k1
πeq = πeqP
如果平衡分布存在：
lim Pk 1
k
高阶马尔可夫链
P（Xn1 x | Xn xn,..., X1 x1) P(Xn1 x | Xn xn,...,Xn-m =xn-m）
Note A
D
G
AA 0.18 0.6 0.22
音高的一阶马尔可夫转移矩阵
– 时间序列：
• 确定性过程：常微分方程: 给定初始条件后，今后任意时刻具 有确定的解（轨迹）
• ？？？
– 空间函数：
• 确定性：偏微分方程 • 不确定：随机场
随机过程：每一个时间点--〉随机变量 随机场：每一个空间点--〉随机变量
例子
• 随机过程
– 股票价格 – 细胞荧光强度 – 种群中个体数目 – DNA或氨基酸序列 –…