在abc=1条件下的不等式探究

在1a b c ++=条件下的不等式探究

在有关不等式的题目中，笔者发现有一类不等式，它的成立是建立在1a b c ++=的条件之下的，形式多种多样，但万变不离其宗，它的成立都离不开1a b c ++=这一条件。在本文中，笔者就是对这一类不等式作了一些研究。发现这一类不等式虽然解法也是形式各样,但是都离不开如何利用好1a b c ++=这一条件。利用好1a b c ++=这一条件，那么这一类不等式的解法就是手到擒来。

【例1】 已知,,a b c 是正数且1a b c ++=，求证：2221

3

a b c ++≥ 分析：这是一个对称不等式，取等号的条件应为：13

a b c ===，笔者在研究这个不等式的时候，通过研究1a b c ++=这个条件发现这个不等式的的证明方法有很多，下面我们来一一研究。

我们利用代入、比较和配方，就可以得到以下三个证法。 证法1：

因为 ()()()2

222222

133

a b c a b c a b c ++++-=++-

222

1

2222223

a b c ab bc ca ⎡⎤=++---⎣⎦ ()()()222

103a b b c c a ⎡⎤=-+-+-≥⎣

⎦ 所以 22213a b c ++≥（当且仅当13

a b c ===时取等号）。 证法2：

因为 ()()2

2222a b c a b c ab bc ca ++=++-++ ()22212a b c ≥-++

所以 2221

3

a b c ++≥（当且仅当13

a b c ===时取等号）。 证法3：

因为 ()2

222221a b c a b a b ⎡⎤++=++-+⎣⎦

()2222221a ab b a b =++-++ 2222111()()()3

3

3

3

a b a b =+-+-+-+ 13

≥

所以 22213

a b c ++≥（当且仅当13

a b c ===时取等号）。 我们利用换元法，又可以得到以下二种证法。

证法4：

令 123111,,3

3

3a t b t c t =+=+=+，则1230t t t ++=， 222222123111()()()3

3

3

a b c t t t ++=+++++ 222123123121()()3

3

3

t t t t t t =++++++≥ 当且仅当1230t t t ===，即1

3

a b c ===时取等号。 证法5：

令222a b c t ++=，即222a b t c +=-，

设,a b θθ==，代入1a b c ++=得

sin )1c θθ+=-

所以有

sin()4

πθ+=

由

1≤ 得23111()2333t c ≥-+≥，即2221

3a b c ++≥

当且仅当13

a b c ===时取等号。

我们还可以应用函数、方程和数形结合的数学思想，就可以得到下面三种证法：

证法6：

令2221()3

f a a b c =++-，则

2221

()[1()]3

f a a b a b =++-+-

222

22(1)223

a b a b b =+-+-+

因为 222214(1)8(22)12()033b b b b ∆=---+=--≤

所以 ()0f a ≥，即22213a b c ++≥，当且仅当1

3

a b c ===时取等号。

证法7：

令222a b c t ++=，将1()c a b =-+ 代入得

2222(1)2210a b a b b t +-+-+-=

这个关于a 的方程有实根，则有 224(1)8(221)0b b b t ∆=---+-≥ 即 2128480b b t -+-+≥ 所以 23111()2333

t b ≥-+≥

即22213a b c ++≥，当且仅当13

a b c ===时取等号。 证法 8： 令222a b c t ++=，

则直线1a b c +=-与圆2221a b c +=-应有公共点，故

≤所以 2213111(1)()22333t c c c ≥+-=-+≥

即22213a b c ++≥，当且仅当1

3

a b c ===时取等号。

如果我们熟悉柯西不等式的话,那这个不等式还可以直接利用柯西不等式来证明 证法9:

22222222223()()(111)()1a b c a b c a b c ++=++⨯++≥++=

所以有2221

3a b c ++≥，当且仅当13

a b c ===时取等号

【例2】 设,,a b c 都为正数，且1a b c ++=

，证明：2221a b c +++≤

证明：我们把1a b c ++=

代入不等式2221a b c +++≤，得

2222()a b c a b c +++≤++

即只需要证明：

ab bc ca ++注意到有：

222222222222222222a b b c ab c b c c a abc c a a b a bc

+≥+≥+≥ 所以：

222222222a b b c c a ab c abc a bc ++≥++ 因此：

2222()3()3()ab bc ca a bc ab c abc abc a b c ++≥++=++ 所以：

ab bc ca ++≥因此原不等式成立，当且仅当1

3

a b c ===时取等号

【例3】设,,a b c 都为正数，且1a b c ++=，证明：

3

2

a bc

b ca

c ab a bc b ca c ab ---++≤+++ 证明：

要证明 3

2

a bc

b ca

c ab a bc b ca c ab ---++≤+++ 即是要证明

3

2a bc b ca c ab a bc b ca c ab ---++≥+++