《最短路径问题》 示范教学PPT课件【初中数学人教版八年级上册】

由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′， AC′＋BC′＝AC′＋B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴AC＋BC＜AC′＋BC′．
·B A ·
·· C′ C
l
即AC＋BC最短． · B′
探究新知
思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任
探究新知
如图，把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的 一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的 问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时， AM＋MN＋NB最小？
a
A
M
b
NB
探究新知
此图片是动画缩略图，本动画资源探索了造桥选址问题， 造桥选址问题实际上是最短路径问题，适用于最短路径问 题的教学.若需使用，请插入【数学探究】造桥选址问题.
现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我 们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个 极值问题．
探究新知
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮 马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
探究新知
（1）把A，B两地抽象为两个点； （2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一 个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么 位置时，AC与CB的和最小．
M′N′＋N′B．
A
a
M M′ A′
b
N′ N
B
探究新知
证明：在△A′N′B中，
A
∵A′B＜A′N′＋BN′，
A′
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
a
M M′
b
N′ N
B
课堂小结
1．运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段
取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？
这里“C′”的作用是什么？
若直线l上任意一点（与点 C不重合）与A，B两 AC+BC最小．
·· C′ C
l
· B′
探究新知
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的 两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 要与河垂直．）
A
·B
·
l
探究新知
由这个问题，我们可以联想到下面的问题：
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到 一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
连接AB，与直线l相交于 一点C，根据“两点之间，线 段最短”，可知这个交点C即 为所求．
·A
C
l
·B
探究新知
如何把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
探究新知
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最 短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
A
a
M A′
b
N
B
探究新知
在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足
为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋
探究新知
（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时， AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么 位置时，AM＋NB最小？
a
A
M
b
NB
探究新知
（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到
点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
a
A
M
b
A′
NB
点C，都保持CB与CB′的长度相等，你能利用轴对称的有关知
识使问题得到解决吗？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
·B A ·
·
l
C
· B′
探究新知
证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），
连接AC′，BC′，B′C′，
第十三章轴对称
13.4 课题学习 ——最短路径问题
学习目标
能够利用轴对称、平移变换解决简单的 最短路径问题，体会图形的变化在解决 最值问题中的作用，感悟转化思想．
引言导入
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段 最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂 线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．
之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基 本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两 点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作 法都相同．
课堂小结
2．利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过
平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两 点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
课堂小结
课堂小结
再见