(完整版)相交线与平行线最全知识点

一、本章共分4大节共14个课时；（2.16～3.7第1、4周）
章节
内容
课时
第五章 相交线与平行线145.1 相交线
35.2 平行线及其判定 35.3 平行线的性质 45.4 平移
2单元小结
2
二、本章有四个数学基本事实
1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
4.两直线平行，同位角相等.
三、本章共有19个概念
1.对顶角
2.邻补角
3.垂直
4.垂线
5.垂足
6.垂线段
7.点到直线的距离
8.同位角
9.内错角10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题17.定理18.证明19.平移
四、转化的数学思想
遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14
五、平移1.找规律2.转化求面积3.作图
（2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm ，其一个内角为60°．
（1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ；【解】
（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】
第19题图
相交线与平行线知识点
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点边的关系大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号语言记作：
如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
3、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线.注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，
⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，
⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.
1
2
4
3
A
B C D
O
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆.
如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长.PO 是垂线段.PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度. 联系：具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.
⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.
5.2平行线
1、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥
a b a .
b 2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵∥，∥b a c a
∴∥b c
P
A B
O
a
b
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，
才会结论，这两条直线都平行.
5、三线八角
　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.　如图，直线被直线所截
b a ,l ①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，l b a ,叫做同位角（位置相同）
　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在
l b a ,内且交错）
　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角.
l b a ,　④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是
“U ”型.
6、如何判别三线八角
　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.　例如：
　如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与
∠BAD ；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8.
　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.
　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD 是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.
a
b
l
1234
5678
1
6B A D 2
345789
F
E
C A B
F 2
1
A
B
C
1
7A
B
C
D
2
6
A
D
B
F
1
A
F
5
8
C
注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵　∠3＝∠2
∴　AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） ∵　∠
1＝∠2 ∴　AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）
请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行.
注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”.
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.
典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
　⑴不相交的两条直线必定平行线.
　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏.　⑵正确
⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.
典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？
解答：
⑴由∠2＝∠B 可判定AB ∥DE ，根据是同位角相等，两直线平
行；
A B
C D
E
F 1234
⑵由∠1＝∠D 可判定AC ∥DF ，根据是内错角相等，两直线平行；
⑶由∠ACF ＋∠F ＝180°可判定AC ∥DF ，根据同旁内角互补，两直线平行.
5.3平行线的性质
1、平行线的性质：
　性质1：两直线平行，同位角相等；　性质2：两直线平行，内错角相等；　性质3：两直线平行，同旁内角互补.
几何符号语言： ∵AB ∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB ∥CD
∴∠4＋∠
2＝
180°（两直线平行，同旁内角互补）2、两条平行线的距离
　如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离.
注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离.3、命题：
⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.
　有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系A B
C D
E
F 1234
A E
G
B
C F
H
D
n 两直线平行 内错角相等；　两直线平行 同旁内角互补.
其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.
典型例题：已知∠1＝∠B ，求证：∠2＝∠C
证明：∵∠1＝∠B （已知） ∴DE ∥BC （同位角相等， 两直线平行）
∴∠2＝∠C （两直线平行 同位角相等）注意，在了DE ∥BC ，不需要再写一次了，得到了DE ∥BC ，这可以把它当作条件来用了.
典型例题：如图，AB ∥DF ，DE ∥BC ，∠1＝65° 求∠2、∠3的度数解答：∵DE ∥BC （已知）
∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥DF （已知） ∴AB
∥DF （已知）
∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
5.4平移
1、平移变换
　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点　③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征：
　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.
　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.
典型例题：如图，△ABC 经过平移之后成为△DEF ，那么：
⑴点A 的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B 的对应点是点＿＿＿＿＿＿.⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F ；⑷线段AB
的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；
⑸线段BC 的对应线段是线段
＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A 的对应角是＿＿＿＿＿＿. ⑺＿＿＿＿的对应角是∠F.
A
D F
B
E C
123
解答：
　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.
思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答.
考点一：对相关概念的理解
对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等
例1：判断下列说法的正误。

（1）对顶角相等；
（2）相等的角是对顶角；
（3）邻补角互补；
（4）互补的角是邻补角；
（5）同位角相等；
（6）内错角相等；
（7）同旁内角互补；
（8）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
（9）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（10）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（11）两直线不相交就平行；
（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

练习：下列说法正确的是（）
A、相等的角是对顶角
B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。

D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二：相关推理（识记）
（1）∵a∥c，b∥c（已知）∴______ ∥______（）（2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知）∴______ =______（）
（3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知）∴∠1=______（）
（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知）∴∠1=______（）
（5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知）∴∠BOD=______（）
（6）如图（1），∵∠AOC=55°（已知）∴∠BOC=______（）
m r
b
e
i
n
g
e
g
o
d
f
o
r
（7）如图（1），∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）
2
1
∴∠BOC=______（）
（1）（2）（3）（4）
（8）如图（2），∵a⊥b（已知）∴∠1=______（）
（9）如图（2），∵∠1=______（已知）∴a⊥b（）
（10）如图（3），∵点C为线段AB的中点∴AC=______（
）
(11) 如图（3），∵AC=BC∴点C为线段AB的中点（）
（12）如图（4），∵a∥b（已知）∴∠1=∠2（）
（13）如图（4），∵a∥b（已知）∴∠1=∠3（）
（14）如图（4），∵a∥b（已知）∴∠1+∠4=（）
（15）如图（4），∵∠1=∠2（已知）∴a∥b（）
（16）如图（4），∵∠1=∠3（已知）∴a∥b（）
（17）如图（4），∵∠1+∠4=（已知）∴a∥b（）
考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算
例题1：如图5－1，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_________对，它们分别是
_________，∠AOD的邻补角是_________。

例题2：如图5－2，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是
_________的对顶角，与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。

例题3：如图5－3，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，∠BOE=30°，
则∠AOE为_________。

图5－1 图5－2 图5－3
考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别
例题1：如图2-44，∠1和∠4是AB、被所截得的角，∠3和
∠5是、被所截得的角，∠2和∠5是、
被所截得的角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .
例题2：如图2-45，AB、DC被BD所截得的内错角是，AB、CD被AC所截是的内
错角是，AD、BC被BD所截得的内错角是，AD、BC被AC所截得
a
b
11
2
3
4
a
b
..
.
A C B
e 的内错角是 。

例题3：如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）
例题1：如图9,已知DF∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程, 并在括号内填上
相应依据:
∵DF∥AC(已知),∴∠D=∠1( )
∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C( )
∴DB∥EC( )
∴∠AMB=∠2( )
例题2：如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠AEF +∠CFE =180°，∠1=∠2，则图中的
∠H 与∠G 相等吗？说明你的理由.
考点六：特殊平行线相关结论
例题1：已知，如图：AB//CD,试探究下列各图形中.
的关系BPD D B ∠∠∠,,2
1
(9)
D C
F
M
A
E
B N
A
B C
D P
(1)
A
B C
D
P (2)
A B C
D
P (3)
A B
C
P
(4)
A
1B C D
E
F
G
H
七年级下数学第五章
考点七：探究、操作题
例题：（阅读理解题）直线AC∥BD，连结AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成
①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，
连结PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P
的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
h
t
n
i
s
g
n
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