(三)圆锥曲线中的证明问题

热点三 圆锥曲线中的证明问题

圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．

[例1]． (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.

(1)求a ，b ；

(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．

——————————规律·总结———————————————————————

圆锥曲线中的证明问题的解决方法

解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

常用的证明方法有：

(1)证A 、B 、C 三点共线，可证k AB ＝k AC 或AB ＝λBC ；

(2)证直线MA ⊥MB ，可证k MA ·k MB ＝－1或MA ·MB ＝0； (3)证|AB |＝|AC |，可证A 点在线段BC 的垂直平分线上．

[例2]．如图，F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .

(1)若点Q 的坐标为(4,4)，求椭圆C 的方程；

(2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．

练习：

1.已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆S 的方程；

（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．

①若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；

②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．

P

A

B

C x

y

O M N

2.过双曲线2x2 y2=1上一点A(1,1)作两条动弦AB, AC,且直线AB, AC的斜率的乘积为

3. (1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.

(2)证明直线BC过定点.

3.已知双曲线E ：()22

2104

x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为355

，点P 是直线2

3a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =． （1）求实数a 的值； （2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；

（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，

在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足

PM MH PN HN =，证明点H 恒在一

条定直线上．