数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)

∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
∂t − a 2 ∂x 2 = 0, 0 < x < l , t > 0, W x = 0 = 0, W x =l = 0, t ≥ 0, W t =0 = T , 0 ≤ x ≤ l.
分离变量法的基本思想： 将定解问题的解表示成单变量函数之积（变量分离)。代入方程 化偏微分方程为常微分方程，从而使问题得到简化， 达到便于 求解 的目的。
一、第一种类型定解问题( I )
∂ 2u ∂ 2u 2 = a 2 2 , 0 < x < l , t > 0, ∂x ∂t u x =0 = 0, u x =l = 0, t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
代入边界条件
源自文库
X (0) = X (l ) = 0.
X '' ( x) + λ X ( x) = 0, λ ' 从而可得特征值问题 与T (t ) + 2 T (t ) = 0. a X (0) = 0, X (l ) = 0.
第二步：求解特征值问题 nπ 2 nπ λn = ( ) , X n ( x) = Bn sin x, n = 1, 2,3,... l l
−( nπ 2 ) t al
nπ 2 ) t al
对应齐次方程的通解
vn (t ) = Cn e
−(
由常数变易法，设 vn (t ) = Cn (t )e 解得Cn (t ), 代入vn (t )得
nπ 2 ) t al
, 代入方程得C n' (t )e
−( nπ 2 ) t al
−(
= fn
vn (t ) = [Cn (0) + f n ∫ e
方法一、将问题分解成如下两个定解问题
∂ 2W ∂ 2W 2 − a 2 2 = 0, 0 < x < l , t > 0, ∂x ∂t (分离变量法) W x =0 = W x =l = 0, t > 0, W = ϕ ( x), ∂W = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t =0 ∂t t =0
应用分离变量法求解定解问题的步骤
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
方法：取一个适当的代换将边界条件齐次化
1.下列几种边界条件的情况下相应的W ( x, t ) :
1
0
u x =0 = u1 (t ), u x =0 = u1 (t ), ∂u ∂x ∂u ∂x
u x =l = u2 (t), ∂u ∂x
u2 (t ) − u1 (t ) W ( x, t ) = u1 (t ) + x l
第三步：求特解，并叠加出一般解
' 将每个特征值λn 代入函数T (t )满足的方程解得 Tn (t ) = Cn e −( nπ 2 ) t al
,
从而由叠加原理 W ( x, t ) = ∑ Cn e
n =1
∞
−(
nπ 2 ) t al
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数 nπ x =T t =0 l n =1 nπ 2 l 2T ⇒ Cn = ∫ T sin xdx = (1 − cos nπ ), n = 1, 2,... 0 l l nπ W = ∑ Cn sin
∞
第二步：将展开式代入方程与初始条件
∞ nπ 2 nπ nπ ∞ ' ∑ [v n (t ) + ( al ) vn (t )]sin l x = ∑ f n sin l x, n =1 n =1 ∞ v (0) sin nπ x = 0, ∑ n l n =1
第三步：比较系数得 nπ 2 ' vn (t ) + ( ) vn (t ) = f n , al vn (0) = 0. n=1,2,... (常数变易法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
∞
nπ sin x l
nπ − ( )2 t 2T nπ al 所以W ( x, t ) = ∑ (1 − cos nπ )e sin x l n =1 nπ ∞
再用特征函数法求解问题(1)：
nπ x，其中vn (t )为待定函数 第一步：设V ( x, t ) = ∑ vn (t ) sin l n =1 A nπ ∞ x}n =1展开, 将f ( x, t ) = 2 e −α x 按特征函数系{ sin a l A −α x ∞ nπ f ( x, t ) = 2 e = ∑ f n sin x, a l n =1 nπ 2 l A −α x 2 Anπ xdx = 2 2 2 (1 − e −α l cos nπ ) 其中f n = ∫ 2 e sin l 0a l a ( n π + α 2l 2 )
nπ Xn =sin x, n =1,2,L l (2n+1)π Xn =sin x, n = 0,1,2,L 2l 2l (2n+1)π Xn = cos x, n = 0,1,2,L 2l nπ Xn = cos x,n = 0,1,2,L l
二、第二种类型定解问题( II )
∂ 2u ∂ 2u 2 = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂x ∂t u x =0 = 0, u x =l = 0, t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∞
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
特征值问题 边界条件
X '' ( x) + λ X ( x) = 0, 边界条件
特征值
特征函数
X(0) = X(l) = 0
X(0) = X′(l) = 0 X′(0) = X(l) = 0 X′(0) = X′(l) = 0
nπ 2 λn = ( ) l (2n+1)π 2 λn = ( ) 2l 2l (2n+1)π 2 λn = ( ) 2l nπ λn = ( )2 l
40
=u 2 (t), W ( x, t ) = u1 (t ) x +
x =l
x =0
2.特别，若f , u1 , u2与t无关，则可选适当的W ( x)使得V ( x, t )满足的 方程和边界条件都化为齐次的.
第8题.求解定解问题 ∂ 2u ∂u 1 ∂ 2u A −α x 2 ∂u −α x ∂x 2 －a ∂t + Ae = 0, 0 < x < l , t > 0, ⇒ − 2 2 = 2 e ∂t a ∂x a u x =0 = 0, u x =l = 0, t ≥ 0, u t =0 = T , 0 ≤ x ≤ l. 方法一,设u ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ), 其中V ( x, t )、W ( x, t )分别满足 解：
2 3
0
= u2 (t) , W ( x, t ) = u1 (t ) + u2 (t ) x;
x =l
0
x =0
= u1 (t), u x =l = u2 (t ), = u1 (t), ∂u ∂x
W ( x, t ) = u2 (t ) + u1 (t )( x − l ); u2 (t ) − u1 (t ) 2 x ; 2l
方法二、直接应用特征函数法，基本步骤：
第一步：解对应齐次方程的特征值问题，求出特征函数 nπ X n ( x) = sin x, l n=1,2,...
∞
nπ 第二步：设非齐次方程的解为 u ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin x l n =1 并将定解数据f ( x, t ), ϕ ( x),ψ ( x)按特征函数系展开
∂u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x u x =0 = 0, u x =l = 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t =0 = ϕ ( x), 特点：齐次方程，齐次边界
方法：分离变量法.
基本步骤：
第一步：分离变量.设u ( x, t ) = X ( x)T (t )，代入方程与边界条件可得 X '' ( x) + λ X ( x) = 0, 特征值问题 与T '' (t ) + λ a 2T (t ) = 0. X (0) = X (l ) = 0.
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂ 2V ∂ 2V 2 − a 2 2 = f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂x ∂t V x =0 = V x =l = 0, t > 0, V = 0, ∂V = 0, 0 ≤ x ≤ l. t =0 ∂t t =0
(特征函数法)
u ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x, t )
（1）
（2）.
先用分离变量法求解问题(2)：
第一步：分离变量.设W ( x, t ) = X ( x)T (t )，代入方程得
1 '' X ( x)T (t ) 2 a λ ' '' ' X ( x) T (t ) T (t ) + 2 T (t ) = 0, = = −λ ⇒ a 1 X ( x) X '' ( x) + λ X ( x) = 0. T (t ) a2 X ( x)T ' (t ) =
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x t ≥ 0, u x =0 = 0, u x =l = 0, 0 ≤ x ≤ l. u t =0 = ϕ ( x), 特点：非齐次方程，齐次边界
方法：特征函数法、齐次化原理
第二步：求解特征值问题,得一系列特征值及相应的特征函数 nπ λn = ( ) 2 , n = 1, 2,3,... l X ( x) = B sin nπ x, n = 1, 2,3,... n n l
第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； nπ nπ nπ u ( x, t ) = ∑ (Cn cos at + Dn sin at ) sin x l l l n =1