函数的周期性和奇偶性

2018级第一期末复习--函数的周期性与奇偶性

1.函数奇偶性常用结论：

(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)；

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性；

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇； (4)多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性：

多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数全为零．多项式函数()P x 是偶函数⇔

()P x 的奇次项的系数全为零．

2.函数周期性常用结论

对f (x )定义域内任一自变量x 的值：

(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1

f (x )

，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1

f (x )

，则T ＝2a (a >0)．

辨明三个易误点:

(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内；

(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件；

(3)判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)，对于偶函数的判断以此类推． 题例：

1.奇函数：已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值为.

2.偶函数：()f x 为偶函数，且在(0,)+∞递增，若(2)1f =，则()1f x >的解集为．

3.周期性：若()f x 的定义域为R ，满足1

(1)()

f x f x +=-且为奇函数，则(1)(2)(2018)f f f +++= ．

作业：

1.已知函数 f x 是定义在 −∞,+∞ 上的偶函数，当 x ∈ −∞,0 时，f x =x −x 4，则当 x ∈ 0,+∞ 时，f x 等于

A. x +x 4

B. −x −x 4

C. −x +x 4

D. x −x 4

2.设 f x 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f x =2x +m （m 为常数），则 f −1 = A. 3 B. 1 C. −1 D. −3

3.已知 f x =ax 2+ b −3 x +3，x ∈ a 2−2,a 是偶函数，则 a +b =

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10.设 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥0 时，f x 单调递减，若 x 1+x 2>0，则 f x 1 +f x 2 的值

A. 恒为负值

B. 恒等于

C. 恒为正值

D. 无法确定正负

4.已知f x是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f x=x2，如果直线y=x+a与曲线y=f x恰有两个交点，则实数a的值为

A. 0

B. 2k k∈Z

C. 2k或2k−1

4k∈Z D. 2k或2k+1

4

k∈Z

5.已知函数y=f x是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f x+4=f x+f2成立，当x1，x2∈0,2且x1≠x2时，都有f x1−f x2

x1−x2

<0，给出下列四个命题：

①f−2=0；

②直线x=−4是函数y=f x的图象的一条对称轴；

③函数y=f x在4,6上为增函数；

④函数y=f x在−8,6上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为．

7.若函数f x=x x−1x+a为奇函数，则a=．

8.若f x是偶函数，且当x∈0,+∞时，f x=x−1，则f x−1<0的解集是．

9.已知f x为奇函数，当x≥0时，f x=x2−2x．

（1）求f−1的值；

（2）当x<0时，求f x的解析式．

10..已知函数f x=x2+∣x−a∣+1，x∈R．

（1）判断函数f x的奇偶性，并说明理由；

（2）当a=0时，求函数f x的单调区间；

（3）求函数f x的最小值g a．