第09讲各向同性弹性体
各向同性材料弹性常数间的关系推导
各向同性材料弹性常数间的关系推导*§8－8 各向同性材料弹性常数之间的关系在建⽴应⼒和应变间的关系时，对于各向同性材料，引⽤了三个弹性常数，它们是E 、G 、µ。
§3－3中曾经提到，三个弹性常数之间存在着以下关系2(1)E G µ=+ (8-21) 现在就证明这个关系。
图8－22 变⼀纯剪切应⼒状态下的单元体。
根据倒8－3的分析，主应⼒σ1存在于α0＝－45°的主平⾯上，σ3存图8－22在于α0＝－135°的主平⾯上，且σ1＝－σ3＝τ。
将σ1和σ3代⼊公式（8－18）1123223133121[()]1[()]1[()]E E E εσµσσεσµσσεσµσσ??=-+=-+=-+????(8－18)（单元体的周围六个⾯皆为主平⾯时，⼴义胡克定律）并令σ2＝0，得出σ1⽅向的线应变为1131()(1)E Eτεσµσµ=-=+ (a) 此外，由剪切胡克定律，可以求得直⾓xoy 的剪应变xy λ为xy xy G G ττλ== （b ）对单元体abcd 来说，由于0x y z σσσ===，故有0x y εε==。
将所求出的x ε、y ε、xy γ代⼊公式（8－11），c o s 2s i n 2222x y x y x y αεεεεγεαα+-=+- （8－11）（平⾯应变状态分析），并令45α=- ，再次求得沿σ1⽅向的应变为12xyγε=将（b ）式代⼊上式，得12G τε= （c ）令（a ）,(c) 两式相等，便可得到需要证明的关系式2(1)E G µ=+，因为⼴义胡克定律只适⽤于各向同性材料，因⽽由⼴义胡克定律导出的以上关系式，也只适⽤于各向同性材料。
以上参考《材料⼒学》刘鸿⽂主编第⼆版上册§8－9 复杂应⼒状态下的变形⽐能这⼀章能过变形⽐能推导。
如果应⼒和应变关系是线性的，变形⽐能的公式12u σε=。
在体积力作用下横观各向同性弹性体的平衡问题
在体积力作用下橫觀各向同性弹性体的平衡问题以《在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题》为标题，本文首先介绍了体积力的概念，然后探讨了弹性体的特性和性质，并重点介绍了在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题。
体积力，也称为压强力或吸引力，是指通过对物质分子施加一定的力量和压强，使其从表面排斥变为吸引的过程中作用的力。
它包括恒定体积弹性、弹性比和弹性模量，能够使物体压缩或延展，保持物质表面的稳定性。
此外，体积力还可以将物体的有效横截面变为较小的值，以达到均衡的效果。
弹性体的特性和性质可以分为两大类：各向同性弹性体和各向异性弹性体。
各向同性弹性体的特性在全向中是可以均衡的，它们可以使物体在外力作用下保持均衡，物体的压缩和拉伸均能够保持均衡。
而各向异性弹性体则容易随外力作用方向出现不平衡，比如在弹性体表面的欠宁和撞击都可能导致物体的不平衡。
在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题是一个复杂的且具有重要意义的物理问题。
其中，体积力作用的程度有助于物体的均衡：当体积越大，则物体的均衡性越显著，而当体积减小，则物体的均衡性越弱。
因此，在体积力作用下实现各向同性弹性体的均衡，可以采取减少体积、增加弹性模量、减小弹性比等措施来降低物体的不平衡程度。
此外，在体积力下实现各向同性弹性体的均衡，还可以通过使物体表面拥有特殊状态，如弹性状态、动力状态以及弹性屈曲状态，来实现稳定的均衡。
例如，当物体的外力适时的给予，可以使物体的弹性稳定在一定的位置；而当物体的动力量足够大时，物体就能够实现自动均衡；而当物体的弹性模量发生变化时，它的弹性屈曲的效果也可以使物体处于动态的均衡状态。
总之，在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题是一个具有重要意义的物理问题，通过减小体积、增加弹性模量、减小弹性比以及使物体表面拥有特殊状态，不仅能实现物体的均衡，而且还能有效地提高物体的稳定性和弹性性。
该问题的研究将有助于更好地理解物质的机理，为物理研究者们提供一个很好的参考。
各向同性、各向异性
各向同性、各向异性理解1、orthotropic和anis otrop ic的区别isotro pic各向同性orthot ropic正交各向异性的anisot ropic各向异性的uniaxi al单轴的我只说一下o rthotropic和anis otropi c的区别:orthot ropic主要是材料在不同垂直方向上有着不同的物理性质和参数,意思就是如果处在同一个角度的平面上,那么同平面的材料是具有着相同的物理性质的.anisot ropic则是完全有方向角度决定的物理参数,只要方向有不同,物理性质则完全不同.2、各向同性和各向异性物理性质可以在不同的方向进行测量。
如果各个方向的测量结果是相同的,说明其物理性质与取向无关,就称为各向同性。
如果物理性质和取向密切相关，不同取向的测量结果迥异，就称为各向异性。
造成这种差别的内在因素是材料结构的对称性。
在气体、液体或非晶态固体中，原子排列是混乱的,因而就各个方向而言,统计结果是等同的，所以其物理性质必然是各向同性的。
而晶体中原子具有规则排列，结构上等同的方向只限于晶体对称性所决定的某些特定方向。
所以一般而言，物理性质是各向异性的。
例如，α－铁的磁化难易方向如图所示。
铁的弹性模量沿[111]最大(7700kgf/mm),沿[100]最小(6400kg f/mm)。
对称性较低的晶体（如水晶、方解石）沿空间不同方向有不同的折射率。
而非晶体(过冷液体)，其折射率和弹性模量则是各向同性的。
晶体的对称性很高时，某些物理性质(例如电导率等)会转变成各向同性。
当物体是由许多位向紊乱无章的小单晶组成时，其表观物理性质是各向同性的。
一般合金的强度就利用了这一点。
倘若由于特殊加工使多晶体中的小单晶沿特定位向排列（例如金属的形变“织构”、定向生长的两相晶体混合物等），则虽然是多晶体其性能也会呈现各向异性。
§4.4各向同性弹性体
§4.4 各向同性弹性体学习思路:各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数λ，μ 表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G 表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：1. 各向同性弹性体；2. 各向同性弹性体的应力和应变关系；3. 应变表示的本构关系；4. 弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。
因此C11=C22=C33, C12=C23=C31,C44=C55=C66于是其应力应变关系简化为其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z 轴旋转任一角度ϕ。
新旧坐标系之间的关系如下所示：x y zx'l1=cosϕm1=sinϕn1=0y' l2=-sinϕm2=cos ϕn2=0z'l3=0m3=0n3=1根据应力分量转轴公式，可得根据应变分量转轴公式将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则因为，所以。
根据应力应变表达式，可得。
比较上述两个公式，可得，2C44 = C11-C12。
所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
第09讲各向同性弹性体
§4.4 各向同性弹性体学习思路:各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数λ，μ 表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G 表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：1. 各向同性弹性体；2. 各向同性弹性体的应力和应变关系；3. 应变表示的本构关系；4. 弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。
因此C11=C22=C33, C12=C23=C31,C44=C55=C66于是其应力应变关系简化为其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z 轴旋转任一角度ϕ。
新旧坐标系之间的关系如下所示：根据应力分量转轴公式，可得根据应变分量转轴公式将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则因为，所以。
根据应力应变表达式，可得。
比较上述两个公式，可得，2C44 = C11-C12。
所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
其应力和应变关系为其中，。
为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令则同性材料的本构关系公式可以简化为或写作张量表达式上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定理，λ，μ称为拉梅（Lamé）弹性常数。
材料力学弹性体平衡知识点总结
材料力学弹性体平衡知识点总结材料力学是研究物体应力、应变及其内在关系的一门学科。
在材料力学中，弹性体平衡是一个重要的知识点。
弹性体平衡指的是物体在受到外力作用下，各个点之间不发生相对位移，且物体内部没有产生剪切力。
本文将从弹性体的基本概念、平衡条件、一维力学模型和弹性体力学性质四个方面对材料力学中的弹性体平衡知识点进行总结。
1. 弹性体的基本概念弹性体是指在一定范围内具有一定形变能力的物体。
它可以根据受力情况经历弹性变形，当外力撤离后可以恢复到原本的形状和大小。
弹性体的特点包括可逆性、线性关系和各向同性等。
2. 弹性体平衡条件弹性体平衡的条件是物体受到的外力和外力矩对各个点之间的相对位移和物体内部的剪切力无影响。
平衡条件可分为静平衡和动平衡两类。
静平衡条件要求物体受力平衡和力矩平衡；动平衡条件要求物体对于任意一个静止的惯性参考系，物体的线动量和角动量都为零。
3. 一维力学模型一维力学模型是弹性体平衡中常用的模型之一。
它假设物体只沿一个方向发生形变，适用于柱体、梁等长条形物体的平衡分析。
一维力学模型可以通过应力和应变之间的线性关系来描述，其中应力是单位面积上的受力大小，应变是物体在长度或角度上的相对变化。
4. 弹性体力学性质弹性体力学性质是材料力学中研究的重要内容。
其中包括弹性模量、泊松比和黏弹性等。
弹性模量是描述材料刚度的物理量，反映了物体受力时的形变程度。
泊松比是描述物体横向收缩和纵向伸长之间的关系，用于表征材料的变形特性。
黏弹性是指物体在受力时同时表现出黏性和弹性的特性，即在一段时间内存在延迟变形的现象。
综上所述，材料力学中的弹性体平衡是一个重要的知识点。
通过掌握弹性体的基本概念和平衡条件，运用一维力学模型进行分析，并了解弹性体力学性质，可以更好地理解和应用弹性体平衡的知识。
在实际工程中，弹性体平衡的理论知识对于材料选择、结构设计和力学计算等方面都具有重要的指导意义。
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
各向同性、各向异性
各向同性、各向异性理解1、orthotropic和anisotropic的区别isotropic各向同性orthotropic正交各向异性的anisotropic各向异性的uniaxial单轴的我只说一下orthotropic和anisotropic的区别:orthotropic主要是材料在不同垂直方向上有着不同的物理性质和参数,意思就是如果处在同一个角度的平面上,那么同平面的材料是具有着相同的物理性质的.anisotropic则是完全有方向角度决定的物理参数,只要方向有不同,物理性质则完全不同.2、各向同性和各向异性物理性质可以在不同的方向进行测量。
如果各个方向的测量结果是相同的,说明其物理性质与取向无关,就称为各向同性。
如果物理性质和取向密切相关，不同取向的测量结果迥异，就称为各向异性。
造成这种差别的内在因素是材料结构的对称性。
在气体、液体或非晶态固体中，原子排列是混乱的,因而就各个方向而言,统计结果是等同的，所以其物理性质必然是各向同性的。
而晶体中原子具有规则排列，结构上等同的方向只限于晶体对称性所决定的某些特定方向。
所以一般而言，物理性质是各向异性的。
例如，α－铁的磁化难易方向如图所示。
铁的弹性模量沿[111]最大(7700kgf/mm),沿[100]最小(6400kgf/mm)。
对称性较低的晶体（如水晶、方解石）沿空间不同方向有不同的折射率。
而非晶体(过冷液体)，其折射率和弹性模量则是各向同性的。
晶体的对称性很高时，某些物理性质(例如电导率等)会转变成各向同性。
当物体是由许多位向紊乱无章的小单晶组成时，其表观物理性质是各向同性的。
一般合金的强度就利用了这一点。
倘若由于特殊加工使多晶体中的小单晶沿特定位向排列（例如金属的形变“织构”、定向生长的两相晶体混合物等），则虽然是多晶体其性能也会呈现各向异性。
硅钢片就是这种性质的具体应用。
介于液体和固体之间的液晶，有的虽然分子的位置是无序的，但分子取向却是有序的。
第09讲各向同性弹性体
§4.4各向同性弹性体学习思路：各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅（Lam© ）弹性常数4表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：1.各向同性弹性体；2.各向同性弹性体的应力和应变关系；3.应变表示的本构关系；4.弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关, 任意一个平面都是弹性对称面。
因此C l1=C 22=C33, C l2=C23=C 31, C44=C 55=C 66于是其应力应变关系简化为其独立的弹性常数仅为C l1，C12和C44但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z轴旋转任一角度「。
新旧坐标系之间的关系如下所示：根据应力分量转轴公式，可得=^（＜r? -cyjsin2^ + ^ cos2^根据应变分量转轴公式5* 二（亏「耳）晶2卩+ cos2^将以上两式代入应力应变关系公式的第四式」L 11 ^ ■■,则cos2p = q斗[（為-^）sin2^+ cos2^] 因为住厂G馮，所以= 孔）。
根据应力应变表达式，可得J- " H -1一丄"： '1O比较上述两个公式，可得，2C44 = C l1-C l2o所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
§4.4各向同性弹性体
§4.4 各向同性弹性体学习思路:各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数λ，μ 表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G 表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：1. 各向同性弹性体；2. 各向同性弹性体的应力和应变关系；3. 应变表示的本构关系；4. 弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。
因此C11=C22=C33, C12=C23=C31,C44=C55=C66于是其应力应变关系简化为其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z 轴旋转任一角度ϕ。
新旧坐标系之间的关系如下所示：x y zx'l1=cosϕm1=sinϕn1=0y' l2=-sinϕm2=cos ϕn2=0z'l3=0m3=0n3=1根据应力分量转轴公式，可得根据应变分量转轴公式将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则因为，所以。
根据应力应变表达式，可得。
比较上述两个公式，可得，2C44 = C11-C12。
所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
各向同性材料弹性常数间的关系推导
*§8－8 各向同性材料弹性常数之间的关系在建立应力和应变间的关系时，对于各向同性材料，引用了三个弹性常数，它们是E 、G 、μ。
§3－3中曾经提到，三个弹性常数之间存在着以下关系2(1)E G μ=+ (8-21) 现在就证明这个关系。
图8－22 变一纯剪切应力状态下的单元体。
根据倒8－3的分析，主应力σ1存在于α0＝－45°的主平面上，σ3存图8－22在于α0＝－135°的主平面上，且σ1＝－σ3＝τ。
将σ1和σ3代入公式（8－18）1123223133121[()]1[()]1[()]E E E εσμσσεσμσσεσμσσ⎧⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎬⎪⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎩⎭(8－18)（单元体的周围六个面皆为主平面时，广义胡克定律）并令σ2＝0，得出σ1方向的线应变为1131()(1)E Eτεσμσμ=-=+ (a) 此外，由剪切胡克定律，可以求得直角xoy 的剪应变xy λ为xyxy G G ττλ== （b ）对单元体abcd 来说，由于0x y z σσσ===，故有0x y εε==。
将所求出的x ε、y ε、xy γ代入公式（8－11），cos 2sin 2222x y x y xy αεεεεγεαα+-=+- （8－11）（平面应变状态分析），并令45α=-o ，再次求得沿σ1方向的应变为12xyγε=将（b ）式代入上式，得12G τε= （c ）令（a ）,(c) 两式相等，便可得到需要证明的关系式2(1)E G μ=+，因为广义胡克定律只适用于各向同性材料，因而由广义胡克定律导出的以上关系式，也只适用于各向同性材料。
以上参考《材料力学》刘鸿文 主编 第二版 上册§8－9 复杂应力状态下的变形比能这一章能过变形比能推导。
如果应力和应变关系是线性的，变形比能的公式12u σε=。
于是三向应力状态下的应变能为112233111222u σεσεσε=++，以应变的广义胡克定律 1123223133121[()]1[()]1[()]E E E εσμσσεσμσσεσμσσ⎧⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎬⎪⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎩⎭（8－18）代入上式，整理得2221231223311[)2()]2u Eσσσμσσσσσσ=++-++ 8-24以上参考《材料力学》刘鸿文 主编 第三版 上册。
在体积力作用下横观各向同性弹性体的平衡问题
在体积力作用下橫觀各向同性弹性体的平衡问题以《在体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题》为标题，本文旨在讨论各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题。
首先，我们应先了解各向同性弹性体的数学定义及概念。
弹性体是一种能够在承受外力后保持原状态的介质，可分为各向异性弹性体和各向同性弹性体。
各向同性弹性体是指材料在经历各向同性变形后所具有的特性，其刚度系数均为常数，在任一方向上都具有相同的抗变形能力，而不会发生任何各向异性的变形。
其次，我们要讨论的是各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题。
体积力（Volume Force）是指一种封闭体系内的内力，受到体积力作用的弹性体需要满足一定的条件来维持它的平衡状态。
通常将体积力分为外力和内力，外力来源于外界，而内力来源于内部。
当各向同性弹性体受到最小量内力和外力作用时，它会达到平衡，它的状态不会变得更加复杂。
再次，我们来分析下体积力作用下各向同性弹性体的平衡问题。
在一个各向同性的弹性体中，其力的平衡可以由以下公式表示：σi = o + p i，其中σi为外力在某一方向i上的应力，σo为内力，pi为体积力。
当外力和体积力之和等于内力时，各向同性弹性体将达到平衡状态。
此外，为了维持平衡，受到其他任何形式的外力或体积力作用时，弹性体都应该满足σi = o + p i，即弹性体内外力之和必须等于体积力。
最后，我们来总结。
本文讨论了体积力作用下的各向同性弹性体的平衡问题。
其中，各向同性弹性体的数学定义及概念被先容，体积力的分类、各向同性弹性体在其作用下的平衡条件及其分析被介绍。
经过讨论，体积力作用的各向同性弹性体的平衡问题，可以由σi = o + p i来表示，弹性体内外力之和必须等于体积力，才能维持其平衡状态。
因此，在理解和认识各向同性弹性体及体积力作用下的平衡问题，有助于我们更好地掌握理论，从而为未来运用和改善弹性体提供参考和建议。
各向同性、各向异性
各向同性、各向异性理解1、orthotropic和anisotropic的区别isotropic各向同性orthotropic正交各向异性的anisotropic各向异性的uniaxial单轴的我只说一下orthotropic和anisotropic的区别:orthotropic主要是材料在不同垂直方向上有着不同的物理性质和参数,意思就是如果处在同一个角度的平面上,那么同平面的材料是具有着相同的物理性质的.anisotropic则是完全有方向角度决定的物理参数,只要方向有不同,物理性质则完全不同.2、各向同性和各向异性物理性质可以在不同的方向进行测量。
如果各个方向的测量结果是相同的,说明其物理性质与取向无关,就称为各向同性。
如果物理性质和取向密切相关，不同取向的测量结果迥异，就称为各向异性。
造成这种差别的内在因素是材料结构的对称性。
在气体、液体或非晶态固体中，原子排列是混乱的,因而就各个方向而言,统计结果是等同的，所以其物理性质必然是各向同性的。
而晶体中原子具有规则排列，结构上等同的方向只限于晶体对称性所决定的某些特定方向。
所以一般而言，物理性质是各向异性的。
例如，α－铁的磁化难易方向如图所示。
铁的弹性模量沿[111]最大(7700kgf/mm),沿[100]最小(6400kgf/mm)。
对称性较低的晶体（如水晶、方解石）沿空间不同方向有不同的折射率。
而非晶体(过冷液体)，其折射率和弹性模量则是各向同性的。
晶体的对称性很高时，某些物理性质(例如电导率等)会转变成各向同性。
当物体是由许多位向紊乱无章的小单晶组成时，其表观物理性质是各向同性的。
一般合金的强度就利用了这一点。
倘若由于特殊加工使多晶体中的小单晶沿特定位向排列（例如金属的形变“织构”、定向生长的两相晶体混合物等），则虽然是多晶体其性能也会呈现各向异性。
硅钢片就是这种性质的具体应用。
介于液体和固体之间的液晶，有的虽然分子的位置是无序的，但分子取向却是有序的。
§4各向同性弹性体
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
在体积力作用下横观各向同性弹性体的平衡问题
在体积力作用下橫觀各向同性弹性体的平衡问题近年来，各向同性弹性体的平衡问题受到越来越多的关注。
这是因为各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题是一个具有挑战性的研究领域，也是当今社会发展和科学研究进步的重要组成部分。
本文将探讨各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题，以期为后续研究和应用提供参考。
首先，让我们了解一下各向同性弹性体的基本概念。
弹性体是指任何在承受外力作用时具有可逆力学性质的物体结构，而各向同性弹性体则是指任何在任何方向上具有相同弹性变形特性的弹性体，其扩张系数和拉伸系数相等。
各向同性弹性体存在于大多数机械和航空构件中，是结构力学中重要的一类物体。
其次，让我们来研究各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题。
体积力是通过外界外力或材料内部的变形力等造成的某种力的作用，其中可能包括快速运动或静止时的惯性力、湿度变化和温度变化等，都会影响各向同性弹性体的平衡。
通常情况下，当各向同性弹性体的体积受到影响时，物体的平衡会发生变化，而各向同性弹性体在体积力作用下的平衡也随之而变化。
第三，我们将讨论各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题的测量方法。
常见的测量方法有动态测量和静态测量，其中动态测量主要通过对弹性体的振动来探测它的体积变形情况，而静态测量则是通过体积变形LED灯来检测它的体积变形情况。
此外，能够准确测量弹性体体积变形的还有一种新技术，即电容测量技术。
最后，我们将讨论各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题的应用。
由于各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题，其广泛应用于社会发展和科学研究，特别是在航空航天、石油天然气处理、矿物加工、汽车制造、核能发电等行业中，都能看到其广泛而重要的应用，这些应用的成功完全依赖于对各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题的精确掌握和理解。
综上所述，各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题是当今社会发展和科学研究进步的重要组成部分，本文讨论并总结了各向同性弹性体在体积力作用下的平衡问题，相关技术和应用，为后续研究和应用提供了参考。
各向异性弹性力学
图2－1
斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：
则有
cos(N , x) 1 cos(N , y) m cos(N , z) n
(dF )x ldF (dF )y mdF (dF )z ndF
得到方程如下：
PNx PNy
xl xyl
yx y
m m
zx zy
n n
PNx
xzl
yz
m
z
n
写成矩阵形式
PNx
PNy
xxy
yx y
zx zy
l m
PNz xz yz z n
（2－8）
也就是说，若应力张量为已知，则任一斜面上的应 力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
i Cij j
3 4
CC3411
C32 C42
C33 C34 C43 C44
C35 C45
C36 C46
3 4
5 6
C51 C61
C52 C62
C53 C63
C54 C64
C55 C65
C56 C66
5 6
或
变形协调方程(3/6)
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
( xz xy yz ) 2 2 x
x y z x zy
2 y 2 z 2 zy
z2 y2 zy
( xy zy xz ) 2 2 y
y z x y zx
2 z
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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§4.4各向同性弹性体
学习思路：
各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅（Lam© ）弹性常数4表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：
1.各向同性弹性体；
2.各向同性弹性体的应力和应变关系；
3.应变表示的本构关系；
4.弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关, 任意一个平面都是弹性对称面。
因此
C l1=C 22=C33, C l2=C23=C 31, C44=C 55=C 66
于是其应力应变关系简化为
其独立的弹性常数仅为C l1，C12和C44
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任
意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z轴旋转任一角度「。
新旧坐标系之间的关系如下所示：
根据应力分量转轴公式，可得
=^（＜r? -cyjsin2^ + ^ cos2^
根据应变分量转轴公式
5* 二（亏「耳）晶2卩+ cos2^
将以上两式代入应力应变关系公式的第四式」L 11 ^ ■■,则
cos2p = q斗[（為-^）sin2^+ cos2^] 因为住厂G馮，所以= 孔）。
根据应力应变表达式，可得J- " H -1一丄"： '1O
比较上述两个公式，可得，2C44 = C l1-C l2o所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
其应力和应变关系为
二込+ q店二c詔4©-気比二c吃® + + Ci?码=G卫+（c tl-
=気耳 + q迅+ C n% = CJ+ （C n- 各
专©-务）打
弓G】-尙）八
其中, 总=耳十勺十寻
为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令
匕12=兄，—
^13
=
2 产
则同性材料的本构关系公式可以简化为
二久召+ 2“弓，» %
或写作张量表达式
上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke ）定理，人，4称为 拉梅（Lam e ）
弹性常数。
如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应 力分量
均应为零。
根据各向同性材料的本构关系的后三式可见， 此时所有的切应 变分量也为零。
根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，
应力主方向和应变主
方向是一致的。
因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于 各向同性
弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。
设体积应力为;
”
J
‘
1
,将拉梅公式的前三式相加，可得
® = （3Z + 2^
上式称为体积应变的胡克定理。
如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数 有
S 二*［込,-心’ + 耳）］二*［（1 + 卩）碍-v&\
iL
1L
£［碍-心+碍）］二秒［Q +叽-呵
也
也
这里E 为弹性模量，又称为 杨氏模量；G 为切变弹性模量；v 为横向变 形系数，简
称泊松比。
E ，-, G 表示胡克定律,
心J 込）］VlQ+叽一嗣］
G
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为，
/z(32 + 2/1) 2 …
E = —------------------ f v -------------- ------------------ , G-u
A + /J2(Z + 门)
由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此
2(1 + v)
各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量
E，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。
其余的弹性常数可以通过上述公式计
算得到。
4.5各向同性弹性体的应变能
学习思路：
本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
将本构关系表达式代入应变能函数公式，则
可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。
由于泊松比恒小于1所以应变能函数是恒大于零的。
这就是说，单位体积的应变能总是正的。
学习要点：
1.各向同性弹性体应变能。
弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
根据应变能函数表达式，
% =扌9店2启+ 咲十£办+ + 口入)
对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应
变能
6=
屈+
2卩耳,『紳=“打
bj 二兄0 + 2"弓，%
将本构关系表达式「—代入上式，则可以
写作应变分量表达的应变能函数
5 =亍（2 + 2#）（左/ + 弓2 4- £「）+#（£”£』+
氐卉+ 玉占）+ 彳&: + 厂；+卩7）
乙二音［耳-“（弓十碍）］二2心3）6 -v&］
碍=云［巧一也十碍）】=云【Q *讨）弓~v&\
s 二 m耳-二+［（13）碍-v&］
达的应变能函数
% =詁厂+ff/ +* -2巩M + 弓丐十
£FQ H2Q2)(2■: +<+rt)
由于「恒小于1，所以，根据应变能函数表达式可知Uo恒大于零。
这就是说，单位体
积的应变能总是正的。
或者利用本构方程，写作应力分量表
G。