第5章 量纲分析和相似原理
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1 确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式 2 从n 个物理量中找出m个基本量（不可压缩运 动取3）列量纲公式为 dim q1 M 1 L1T 1
dim q2 M 2 L2T 2
dim q3 M 3 L3T 3
且据基本量纲独立，应满足：
1 1 1 2 2 2 0 3 3 3
某一物理过程包含n个物理量， f (q1q2q3...... qn ) 0
若其中有m个基本量（量纲独立，不只是基本量 纲），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m） 个无量纲项所表达的关系式来描述，即可合并n个 物理量为（n-m）个无量纲数（π） ，再列方程
F (1...... nm ) 0
应用步骤
如伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
引申：
1、反正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成 由无量纲项组成的无量纲方程。
2、量纲和谐原理规定了一个物理过程中各物理量 之间的关系
量纲和谐原理的重要性
其应用为： a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公 式的正确性和完整性。 b.可用来建立物理方程式的结构形式。 c.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 比如，在剪切流中，牛顿流体的方程为
2 选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话 说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次 要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化， 甚至要重新求解。
直径对压力降的影响，在其它四个参数保持不变的情况下， 取10 种不同直径的圆管进行压力降的测量。如果再加上管 道长度的影响，也取10 种管道的长度，需要进行实验的组 合数增加为102 。如果同时考虑5 个参数的影响，每个参 数变化10 次的话，需要进行实验的组合数为 105 。如果 每次实验需要进行半个小时，每天按工作8 小时计，完成 全部实验需要的时间是25 年。问题是能否通过为数不多的 几次实验就得到所需的结果？
常用物理量量纲： dim A L2 dim ML－3
dim LT 1 dim a LT 2 dim F MLT2 dim ML－1T 1
量纲公式： dim q M LT
量纲指数： a、 ß、ｒ
分类 dim q M LT
几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0， 运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0 动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0
其中切应力τ、速度u 和空间坐标y 的量纲是已知的，根
据量纲齐次性原理，由此可知流体动力粘性系数μ的量纲
为
dim ML－1T 1
根据量纲和谐原理，量纲不同的物理量之间只能进行乘除， 不能进行加减。
只有量纲相同的项才可以相加减。 对或错
对
5.2量纲分析法
量纲分析法是根据量纲和谐原理发展起来的
包括两种： 瑞利法，适于简单问题，一般情况下，要求相关 变量未知数n小于等于4~5个。 定理，普遍方法
量纲分析和相似原理可以用定性的理论分析方法 建立物理量之间的联系，是解决实际工程问题的 有力工具
而且在求解流体力学基本方程组时，对于某些流 动问题，利用量纲分析有可能将原来的偏微分方 程简化为常微分方程，使流动的数学求解得到极 大的简化。
5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
5.1.1 量纲（dimension）的概念 物理量：属性dimq 量纲（因次）
(LT 1)L L2T 1
1
由于流体力学问题的复杂性，无量纲量有数百个 之多
特点：
1、客观性 客观的方程式应由无量纲量组成
2、不受运动规模的影响
3、可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理（theory of dimensional homogeneity）： 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲是 一致的。该原理是量纲分析的基础。
3 基本量纲依次与其余物理量组成 项
1
q4
q q q a1 b1 c1
1
23
2
q5 q q q a2 b2 c2
1 23
……
q qq q n3
an3 1
n
bn3 2
cn3 3
4 满足 为无量纲项，定出各 项基本量的指数
abc
5 整ຫໍສະໝຸດ Baidu方程式
选择基本量时的注意原则
1 基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲 （M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个； 倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须 选择两个。
5.2.1 瑞利法
某一物理过程与几个物理量有关 f (q1q2q3 qn ) 0
则其中某一物理量qi可表示为其他物理量的指数
乘积
qi Kq1aq2b qnp1
写出量纲式 dim qi dim( q1aq2b qnp1)
据量纲和谐原理，确定指数a，b …p，就可得出 该物理过程的方程式
5.2.2 定理
第五章 量纲分析和相似原理
对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方 程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于 实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研 究的基本理论和方法，包括量纲和谐原理及 量纲分析方法流动，相似原理，相似准则等。
实验是研究流体运动的重要手段。在一段直圆管中流体作 定常运动时所需的压力降，它与流体的粘性系数μ、密度ρ、 管道的长度L、管道的直径d 和平均流速u 有关。为了给出 它们之间的规律，需要进行一系列的实验。可先研究管道
基本量纲的选择具有一定的任意性，除了质量 （M ）、长度（ L ）和时间（T ） 我们也可以选用力（ F ）、长度（ L ）和时间 （T ）来作为基本量纲。这时质量的量纲作为导 出量纲可以表示为
dim M FL1T 2
5.1.2 无量纲量
无量纲量：量纲指数均为零的物理量
如雷诺数：
dim
Re
dim d
量度单位 单位（unit）：量度各种物理量数值大小的 标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。 一个物理量的量纲只描述它的性质而不包含 它的数量 L代表长度量纲，M代表质量量纲，T代表时 间量纲，如： 不具量纲的量称d为im无A量 纲L2量，是纯数。
I I
基本量纲和导出量纲
基本量纲（fundamental dimension）：无任何联 系且相互独立的量纲 导出量纲（fundamental dimension）：可由基本 量纲导出的量纲 采用：M-L-T- 基本量纲系（不可压缩流体无 ）
dim q2 M 2 L2T 2
dim q3 M 3 L3T 3
且据基本量纲独立，应满足：
1 1 1 2 2 2 0 3 3 3
某一物理过程包含n个物理量， f (q1q2q3...... qn ) 0
若其中有m个基本量（量纲独立，不只是基本量 纲），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m） 个无量纲项所表达的关系式来描述，即可合并n个 物理量为（n-m）个无量纲数（π） ，再列方程
F (1...... nm ) 0
应用步骤
如伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
引申：
1、反正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成 由无量纲项组成的无量纲方程。
2、量纲和谐原理规定了一个物理过程中各物理量 之间的关系
量纲和谐原理的重要性
其应用为： a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公 式的正确性和完整性。 b.可用来建立物理方程式的结构形式。 c.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 比如，在剪切流中，牛顿流体的方程为
2 选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话 说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次 要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化， 甚至要重新求解。
直径对压力降的影响，在其它四个参数保持不变的情况下， 取10 种不同直径的圆管进行压力降的测量。如果再加上管 道长度的影响，也取10 种管道的长度，需要进行实验的组 合数增加为102 。如果同时考虑5 个参数的影响，每个参 数变化10 次的话，需要进行实验的组合数为 105 。如果 每次实验需要进行半个小时，每天按工作8 小时计，完成 全部实验需要的时间是25 年。问题是能否通过为数不多的 几次实验就得到所需的结果？
常用物理量量纲： dim A L2 dim ML－3
dim LT 1 dim a LT 2 dim F MLT2 dim ML－1T 1
量纲公式： dim q M LT
量纲指数： a、 ß、ｒ
分类 dim q M LT
几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0， 运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0 动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0
其中切应力τ、速度u 和空间坐标y 的量纲是已知的，根
据量纲齐次性原理，由此可知流体动力粘性系数μ的量纲
为
dim ML－1T 1
根据量纲和谐原理，量纲不同的物理量之间只能进行乘除， 不能进行加减。
只有量纲相同的项才可以相加减。 对或错
对
5.2量纲分析法
量纲分析法是根据量纲和谐原理发展起来的
包括两种： 瑞利法，适于简单问题，一般情况下，要求相关 变量未知数n小于等于4~5个。 定理，普遍方法
量纲分析和相似原理可以用定性的理论分析方法 建立物理量之间的联系，是解决实际工程问题的 有力工具
而且在求解流体力学基本方程组时，对于某些流 动问题，利用量纲分析有可能将原来的偏微分方 程简化为常微分方程，使流动的数学求解得到极 大的简化。
5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
5.1.1 量纲（dimension）的概念 物理量：属性dimq 量纲（因次）
(LT 1)L L2T 1
1
由于流体力学问题的复杂性，无量纲量有数百个 之多
特点：
1、客观性 客观的方程式应由无量纲量组成
2、不受运动规模的影响
3、可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理（theory of dimensional homogeneity）： 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲是 一致的。该原理是量纲分析的基础。
3 基本量纲依次与其余物理量组成 项
1
q4
q q q a1 b1 c1
1
23
2
q5 q q q a2 b2 c2
1 23
……
q qq q n3
an3 1
n
bn3 2
cn3 3
4 满足 为无量纲项，定出各 项基本量的指数
abc
5 整ຫໍສະໝຸດ Baidu方程式
选择基本量时的注意原则
1 基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲 （M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个； 倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须 选择两个。
5.2.1 瑞利法
某一物理过程与几个物理量有关 f (q1q2q3 qn ) 0
则其中某一物理量qi可表示为其他物理量的指数
乘积
qi Kq1aq2b qnp1
写出量纲式 dim qi dim( q1aq2b qnp1)
据量纲和谐原理，确定指数a，b …p，就可得出 该物理过程的方程式
5.2.2 定理
第五章 量纲分析和相似原理
对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方 程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于 实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研 究的基本理论和方法，包括量纲和谐原理及 量纲分析方法流动，相似原理，相似准则等。
实验是研究流体运动的重要手段。在一段直圆管中流体作 定常运动时所需的压力降，它与流体的粘性系数μ、密度ρ、 管道的长度L、管道的直径d 和平均流速u 有关。为了给出 它们之间的规律，需要进行一系列的实验。可先研究管道
基本量纲的选择具有一定的任意性，除了质量 （M ）、长度（ L ）和时间（T ） 我们也可以选用力（ F ）、长度（ L ）和时间 （T ）来作为基本量纲。这时质量的量纲作为导 出量纲可以表示为
dim M FL1T 2
5.1.2 无量纲量
无量纲量：量纲指数均为零的物理量
如雷诺数：
dim
Re
dim d
量度单位 单位（unit）：量度各种物理量数值大小的 标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。 一个物理量的量纲只描述它的性质而不包含 它的数量 L代表长度量纲，M代表质量量纲，T代表时 间量纲，如： 不具量纲的量称d为im无A量 纲L2量，是纯数。
I I
基本量纲和导出量纲
基本量纲（fundamental dimension）：无任何联 系且相互独立的量纲 导出量纲（fundamental dimension）：可由基本 量纲导出的量纲 采用：M-L-T- 基本量纲系（不可压缩流体无 ）