第二章第5节函数的微分22042

则
d yf(x )d.x
如y ex2 , dy2xex2dx.
dy f(x). dx
故此导数也叫 " 微商 ".
8
四、微分的几何意义
几何意义(如图) y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
对应的增量.
）
o
x0 x0x
x
当x很小,时 在点 M的附,近
例4 yearcta1nx2,求dy. 解 dyearct1axn2d(arc1 t axn 2)
earct1 ax2 n
1 d1x2
1( 1x2)2
earc1 txa 2n 2 1 x221 1 x2d(1x2)
xea rct a n1x2
dx.
(x2 2) 1 x2
14
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
24
思考题解答
说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引
出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.
25
练习题
一、填空题：
1、 已 知 函 数 f ( x ) x 2 在 点x 处 的 自 变 量 的 增 量 为
0 . 2 ， 对 应 的 函 数 增 量 的 线 性 全 部 是 dy = 0 . 8 ， 那
22
习2 题 5 P122
3(单数)，（ 4 做在书上）
总习题二P124
5(1),6,7(2,4),8(2), 9(2)1, 0,11(2)1, 2,13.
23
思考题
因 为 一 元 函 数 yf(x)在 x0的 可 微 性 与
可 导 性 是 等 价 的 ， 所 以 有 人 说 “ 微 分 就 是 导 数 ， 导 数 就 是 微 分 ” ， 这 说 法 对 吗 ？
3、dy1d1dxx2xx,2,10xx01； 4、 2x dx；
1x4 5、3dx； 6、ydx.
x
29
而(t)dtdx, 故 dyf(x)d.x 结论 无论 x是自变量还是中 , 函间数变量
y f(x)的微分形式总是 d yf(x)dx
微分形式的不变性
13
例3 设 y si2 x n 1 ) (求 ,d.y 解 dycous du c2 o x 1 ) s d ( 2 ( x 1 )
co 2xs 1 ()2 d x2co 2xs 1 ()d.x
10
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 xlna
dx
d(arcsinx) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1 dx x
d(arccosx) 1 dx 1 x2
d(arctanx)
1 1 x2
dx
d(arccot) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
第五节 函数的微分
一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义
五、微分的求法 六、微分形式的不变性
七、微分在近似计算中的应用
八、小结及作业
1
一、问题的提出
实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边 x0变 长 x0 到 由 x,
正 方 形 面 A积x02,
A(x0x)2x0 2
数f(x)在点 x0处可, 导 且Af(x0). 证 (1) 必要性 因f为 (x)在x点 0可,微 所以
yA xo( x),
即
yA o ( x), x x
则 lim yA lim o ( x)A.
x 0 x x 0 x
故 f ( x ) 函 在 x 0 可 数 , 点 且 A 导 f ( x 0 ).
6
(2) 充分性 由 函f(数 x)在x0 点 可,得 导
lxi m 0 xyf(x0),
即
x yf(x0) ,
从 y 而 f(x 0 ) x ( x )（x0时 ,0）
f(x 0 ) x o ( x ), 故 f ( x ) 在 函 x 0 可 , 点 数 且 f ( 微 x 0 ) A .
3 x 0 2 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
(2)
当x很小,时(2)是x的高阶无 o(穷 x), 小
y3x02x.
既容易计算又是较好的近似值
问题 这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
3
二、微分的定义
定义 设 y f ( x )在某区间内有定义 , x0及 x0 x
即
d y A x .
4
如y2x21在 x点
y 2 (x x )2 1 (2 x 2 1 ) 4xx2(x)2,
称y2x21在点 x处可微，且
dy4xx.
如果 x1 , 取 x0 .0,则 1
d y410.0 10.0.4 问题 A?
5
三、可微的条件
定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条件
18
常用近似公式 ( x很小时)
(1)n1x11x; (2)sinxx(x为弧);度 n
(3)taxnx(x为弧);(度 4)ex 1x;
(5)ln1(x)x.
证明
(1 )设 f(x )n1 x ,
f(x)1(1x)n 11, n
f(0)1, f(0)1. n
f( x ) f( 0 ) f( 0 ) x 1 x . n
一、1、-2；
2、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3、高阶；
4、 1 cos x C ；
5、 1 e 2x C ； 2
6、 1 tan 3 x C ； 3
7、 x 2 ,e 2x；
二、1、(
x
2
3
1) 2
dx
；
8
、
2 2
2e e4
x x
.
2、 2 ln( 1 x ) dx ； x1
28
可 可 导 ,且 A 微 f(x 0 ).
d y f(x ) x .
7
例1 求函 yx 3当 数 x2 , x0 .0时 2 的 . 微
解 dy(x3)x3x2x.
d|y 3x2x| 0.2.4
x2
x2
x0.02
x0.02
通常把自 x的变增量 x量 称为自变量 , 的微 记作 dx, 即dxx.
cx o ( 3 s e 1 3 x )d e x 1 3 x ( sx i)d nx
e 1 3 x(3 co x s six )n d.x
12
六、微分形式的不变性
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数 (1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x (2)若x是中间变 , 即量为时另一 t的变 可量 微函x数 (t),则 d yf(x) (t)d,t
么 自 变 量x 的 始 值 为 __________.
2、 微 分 的 几 何 意 义 是 __________.
3、 若 y f (x)是 可 微 函 数 ， 则 当 x 0时 ，
y dy 是 关 于 x 的 _ _ _ _ _ _ _ _ 无 穷 小 .
4 、 d __________ __ sin xdx .
d(sinx2) d( x)
2xco 1
sx2dx
4x
dx
xcox2s,
2x
d (sx 2 i) n (4 xx cx o 2 )d s (x ).
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七、微分在近似计算中的应用
1、计算函数增量的近似值
若 yf(x)在x0处 点的 f(x0 导 )0,且 数 x很小 , 时
yxx0 dyxx0 f(x0) x.
5 、 d __________ __ e 2 x dx .
6 、 d __________ __ sec 2 3 xdx .
7 、 Y x 2 e 2 x , dY e 2 x d ______ x 2 d ______ .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8 、 d (arctan
e 2x )
_________
， de x ________
在这区间内 , 如果函数增量 y f (x0 x) f (x0) 可表示为
y A x o(x ),
其 中 A是 与 x无 关 的 常 数 , o(x )是 比 x高 阶 的 无 穷
小,则称 y f ( x )在点 x0可微 , A x为 y f ( x )在点 x0相 应 于 x增 量 x的 微 分 , 记作 dy或 df(x),
2x 0 x( x)2.
(1)
(2)
x0
x0x
x (x )2
x
Ax02
x0x x 0
(1) x的线,性 且 函 为 A 的数 主;要部分
( 2 ) x的高阶,当 无 x很 穷小 小时. 可忽略
2
再例如, 设函y数 x3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改 y.变量
y (x 0 x )3 x 0 3
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 (1 )因 d (为 s it)n c o td s , t
所c以 otsdt1d(s itn )d(1sint);
故 d(1si n tC )co tsd. t
(2)
d(uv)d udv d(C)u Cdu d(u)vvdu udv d(u v)vdv2udv
11
例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解 由y 1x2xexe2x2 ， 得
dy
12xex2 xex2
dx.
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y
解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可.微
21
近似计算的基本公式 当x很小,时 yxx0 dyxx0 f(x0) x. f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ), 当x0时, f ( x ) f ( 0 ) f( 0 ) x .
例1 计c算 o6so030的近.似值
解 设 f(x)cox,s f(x)six n ,(x为弧 ) 度
x03,
x , 360
17
f()1, f()3. 32 3 2
co6so0 30cos()cossin 3 360 3 3 360
1 3 0.49.24 2 2 360
2.求 f(x)在点 x0附近的近 ; 似值 令 x 0 0 , xx . f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x , f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x .
例1 半径 10厘米的金属圆,半 片径 加伸 热长 后了 0.05厘米 ,问面积增大? 了多少
解 设Ar2, r 1厘 0, 米 r0 .0厘 5. 米 A d 2 r r 2 1 0 0 .05 (厘米 2).
16
2、计算函数的近似值
1.求 f(x)在x点 x0附近的;近似值 y f ( x 0 x ) f ( x 0 )f(x0) x. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x .(x很小时 )
.
2
26
二、求下列的函数的微分： 1、y x ； x2 1 2、y [ln(1 x)]2； 3、y arcsin 1 x2 ； 4、y arctan1 x2 ； 1 x2 5、y e3x cos3x，求dyx ；
3
6、求由方程cos(xy) x2 y2 所确定的 y 微分.
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练习题答案
切线M 段可 P 近似代替M 曲N.线段
9
五、微分的求法
d yf(x)dx
求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
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例2 计算下列各数的近似值. (1 )39.5 9 ; 8 (2 )e 0 .0.3
解 (1 )39.9 5 8 3101 0 .50 3 100(01 1.5 ) 13010.0015 1000 10(110.001) 59.99. 5 3
(2)e0.0310.03 0.9.7
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八、小结