4-3矩阵乘积

A R非退化 ( A) n A 0 R( A) n A 0 注：n 级方阵
n 级方阵 R( A退化 ) n A 0. R( A) n A 0. A
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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推论 设 A, B为数域 P上的 n 级矩阵，则
AB 非退化 A, B 都非退化
ci 1 , ci 2 ,, cis Ci , i 1,2,, n
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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即有
Ci = , ai 1 B1 ai 2 B2 aim Bm i 1,2,, n
故 C1 , C2 ,, C n 可由 B1 , B2 ,, Bm 线性表出. 所以 R(C ) R( B ) ． 证C 的列向量组可由 同理，R(C ) R( A). A的列向量组线性表出.
c11 c n1 0 0

c1n cnn 0 0
c11 c1n ( 1)(1) n 11 ( 1)(1) 2 n n | C || AB | c n1 c nn
□
推广 A1 , A2 ,, At 为 n 级方阵，则
由 AA E , 有 | A || A || E |, A 1, 而 A 0,
A 1,
2
于是有
A E A E ,
所以
A E 0.
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§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
三、非退化矩阵
定义 设 A 为数域 P 上的 n 级方阵，
若 A 0，则称 A为非退化的； (非奇异) 若 A 0，称 A为退化的． (奇异)
| A1 A2 At || A1 || A2 | | At | .
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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例2．设A为n级方阵，且 AA E , A 0,
证明： A E 0.
证明：A E A AA A( E A ) A E A
| A || ( E A) | A E A
bnn
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a11 a n1 | A || B | 1 0
a1n c11 a nn cn1 0 0 1 0

0 c1n 0 cnn 1 0 0 0
0 0 0 1
r3≤ 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, m 的秩
≤ r 1 +r 2
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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令 A (aij )nm , B (bij )ms , AB C (cij )ns .
设 B 的行向量组为 B1 ,, Bm ,
C 的行向量组为 C1 ,, Cn .
an1b11 a a nn ann b ann21b21 a a 0 nn 11b11 n 2 b21 a nn bn1 | A || B | 1 0 0 b1n
0 1
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
0
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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二、矩阵乘积的行列式
定理2 设 A, B为数域 P 上的 n 级矩阵，则
AB A B .
证明： 构造2n级的行列式
a11 a1n a n1 a nn 0 0
0 0

0 0
b11 b1n
记AB = C = (cij)
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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例1 设 , 是3维列向量, A
证明: R( A) 2. 证明: R( A) R( ) R( )
R( ) R( )
而 R( ) 1, R( ) 1 所以 R( A) 2. 作业: 设 , 是3维列向量, A 证明: 若 , 线性相关,则 R( A) 2.
0 0
第一列乘b11，第二列乘
b11 b1n
b21，… …，第n列乘bn1，
加到第n+1列
1 bn1 bnn
c11
c n1
0

a11b11 a b a 1a bn 1 a12 11 21 n 1n a 11b11 a12 b21 a1 n bn1
R( AB ) min R( A), R( B ) .
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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一、矩阵乘积的秩
定理1 设 Anm , Bms 为数域 P上的矩阵，则
R( AB ) min R( A), R( B ) .
推广 如果 A A1 A2 At ，则
R( A) min{ R( A1 ), R( A2 ),, R( At )}.

0 0 b11 b1n a b a b a b n1 11 n 2 21 nn n1 bn1 bnn
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
ຫໍສະໝຸດ Baidu9/14
a11 a1n a n1 a nn 1 0 0
0 0

则向量组合 ai 1 B1 ai 2 B2 aim Bm
ai 1b11 ai 2b21 aim bm1 , , ai 1b1 s ai 2b2 s aim bms
m m m aik bk 1 , aik bk 2 ,, aik bks , k 1 k 1 k 1
|A||B|= 1
1 bn1 bnn
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§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
要证：
|A||B|
a11 a1n an1 ann 1 0 0 1 0 0
=| C |= |AB|
a11b11 a12 b21 a1n bn1
m×n矩阵A的行向量组: 1 , 2 ,, m R(A)=r1 m×n矩阵B的行向量组: 1 , 2 ,, m R(B)=r2 矩阵A+B的行向量组: 1 1 ,2 2 ,,m m R(A+B)=r3 作新的行向量组: 1 , 2 ,,m , 1 , 2 ,, m . 则 1 1 ,2 2 ,,m m 可由向量组 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, m 线性表出,
AB 退化
A 或 B 退化

证： AB 非退化 AB 0 A B 0
A 0 且 B 0 A, B 都非退化 .
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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一、矩阵乘积的秩 二、矩阵乘积的行列式
三、非退化矩阵
思考:
R( A) R( A)
R( kA) = R( A) k 0
R( A B) R( A) R( B)
R( AB)
R( A) R( B)
?
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
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R( A B ) R( A) R( B )