平行四边形分类讨论问题

平行四边形分类讨论问题

上海市松江区中考

如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan ∠ABO 的值；

（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．

图1

（1）将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得

1,164 3.

c b c =⎧⎨

-++=⎩ 解得9

2b =，c ＝1． 所以抛物线的解析式是29

1

2

y x x =-+

+． （2）在Rt △BOC 中，OC ＝4，BC ＝3，所以OB ＝5． 如图2，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ．

在Rt △AOH 中，OA ＝1，4sin sin 5

AOH OBC ∠=∠=，

所以4

sin 5

AH OA AOH =⋅∠=

． 图2 所以35OH =，22

5

BH OB OH =-=．

在Rt △ABH 中，4222

tan 5511AH ABO BH ∠==÷=．

（3）直线AB 的解析式为1

12y x =+．

设点M 的坐标为29(,1)2x x x -++，点N 的坐标为1

(,1)2

x x +，

那么2291

(1)(1)422

MN x x x x x =-++-+=-+．

当四边形MNCB 是平行四边形时，MN ＝BC ＝3．

解方程－x 2＋4x ＝3，得x ＝1或x ＝3．

因为x ＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M 的坐标为9

(1,)2

（如图3）．

图3 图4

第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．

那么求点M 的坐标要考虑两种情况：MN ＝y M －y N 或MN ＝y N －y M ．

由y N －y M ＝4x －x 2，解方程x 2－4x ＝3，得2x =（如图5）．

所以符合题意的点M 有4个：9

(1,)2，11

(3,

)2

，(2，(2+．

图5

福州市中考第21题

如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长

度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．

（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；

（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．

图1 图2

（1）QB ＝8－2t ，PD ＝4

3

t ．

（2）如图3，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形． 过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8． 在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 图3

在Rt △APE 中，23cos 5AE A AP t =

==，所以10

3

t =． 当PQ //AB 时，

CQ CP CB CA =，即10

638

6

CQ -

=

．解得329CQ =．

所以点Q 的运动速度为

321016

9315

÷=． （3）以C 为原点建立直角坐标系．

如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)． 如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)． 直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．

如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62

t

-，t ）在直线EF 上．

所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF

＝

图4 图5 图6

第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．

设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，

得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩

解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6． 所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．

烟台市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．